精品解析：吉林省桦甸市第七中学2024-2025学年上学期九年级期中测试数学

2024——2025学年第一学期九年级期中学情检测试题数学 一、选择题 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，抛物线的顶点坐标为．根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 3. 方程的解是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解二元二次方程，根据因式分解法求解即可得出答案． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 4. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与平行线的性质，三角形内角和定理．首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 5. 如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得出，求得，，再利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， 故的长是． 故选：B． 6. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故选项A错误； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，故选项B错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故选项C正确； ∵二次函数图象过点，对称轴是直线， ∴二次函数图象过点， ∴，故选项D错误； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 8. 已知的半径为5cm，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是点A在__________（填“内”“外”或“上”）． 【答案】外 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．根据线段中点的性质，可得，根据当时点在圆外即可求解． 【详解】解：∵A为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴点A与的位置关系是点A在外， 故答案为：外． 9. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：由条件可知：， ． 故答案为：． 10. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_______度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：， ∴图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：． 11. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是___________． 【答案】##116度 【解析】 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质． 由是的直径，得，求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 12. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是_____________． 【答案】100（1+x）2=121 【解析】 【分析】根据题意给出的等量关系即可求出答案． 【详解】由题意可知：100（1+x）2=121 故答案为100（1+x）2=121 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型． 13. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 14. 如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 根据函数图象可得：当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 15. 用合适的方法解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据题意得到，运用求根公式“”，代入计算即可求解． 【详解】解：， ， ∴，． 16. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法解二次函数，掌握二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 已知顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点代入即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为． 17. 某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关键是熟练运用垂径定理． 先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， 则， ∵， ∴， 设半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 答：这个圆形截面的半径是. 18. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及这个方程的根． 【答案】m＝－2；，. 【解析】 【分析】根据根的判别式△＝b2−4ac＝9，求得m的值；进而得到原方程，再解方程求出方程的根即可． 【详解】解：由题意得：（2m-1）2−4×m2＝9， 解得m＝－2， 当m＝－2时，原方程为：， 解得：，. 【点睛】本题考查根的判别式以及解一元二次方程，熟知根的判别式△＝b2−4ac是解题关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】（1）图见解析；图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． 【小问2详解】 解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心M的坐标为． 20. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边．在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使． （1）求a的值： （2）求点F的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于抛物线过点，可将A的坐标代入抛物线中即可求出a的值； （2）点F的横坐标与点A的横坐标相同，纵坐标等于，因为，因此求出的长是解题的关键，可先根据抛物线的解析式求出D的横坐标（D的纵坐标是的长），然后根据即可得出的值，也就求出了的长，即可得出点F的坐标． 【小问1详解】 解：依题意得：把点代入中， 得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴， 则， 四边形是矩形，且， 所以， ∴， ∴点F的坐标为． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点，（2）题中根据抛物线的解析式求得D点的坐标是解题的关键． 21. 如图，是的直径，与相交于点E，弦与弦相等，且． （1）求的度数； （2）如果，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理， 圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得， 从而可得然后利用等量代换可得从而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可解答； （2）连接，根据垂径定理可得从而可得再利用直角三角形的两个锐角互余可得然后利用圆周角定理可得 再在. 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， 等边三角形， ； 【小问2详解】 连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ． 22. 如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设花圃的宽为，则， 根据题意得： ∵， ∴． 【小问2详解】 ， ，， 当时，． 答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 23. 如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）连接，利用得到，然后利用角度的代换可证明，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）利用圆周角定理得到，求出，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：， ， ， 在中，， ， 阴影部分的面积 ． 24. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 25. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． （1）当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； （2）当点O在的内部时，求t的取值范围； （3）求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）当时；当时， （2）当点O在的内部时，t的取值范围是，且 （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后根据题意分和两种情况分别表示即可； （2）首先由（1）可得，当时，点P和点O重合，然后求出当时，点O在线段上，然后当线段经过点O时，利用勾股定理和正方形的性质得到，然后求出此时，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况：和时，然后分别根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质和三角形面积公式表示即可． 【小问1详解】 解：∵O为对角线的中点， ∴ ∵动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度 ∴当点P在线段上运动时，即时时，； 当点P在线段上运动时，即时时，； 【小问2详解】 解：当点P在线段上运动时， 由（1）可得，当时，点P和点O重合， 当时， ∴此时点P和点C重合，点Q和点B重合，点M和点D重合， ∴此时点O在线段上， 如图所示，当点P在线段上运动时，当线段经过点O时， ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 综上所述，当当点O在的内部时，t的取值范围是，且； 【小问3详解】 解：如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵四边形正方形 ∴ ∵，将线段绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴正方形的面积 ∴与重叠部分图形的面积为； 如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵， 同理可得，，，是等腰直角三角形，四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴正方形的面积 ∴的面积 ∴与重叠部分图形的面积为． 【点睛】此题考查了二次函数和几何动点问题，旋转的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是正确分情况讨论． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若点P是该抛物线的顶点时，求的长； （3）当的面积是3时，求点P的坐标： （4）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式是，顶点坐标为 （2） （3） （4）m的值为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求函数解析式，然后问题可求解； （2）根据两点距离公式可进行求解； （3）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可分情况讨论，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可令，则有， ∴， ∵点P是该抛物线的顶点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问4详解】 解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线； ①当时，最高点为，最低点是； ， （舍； 当最高点为时，最低点是， ， 解得（舍）或； ②当时， 为最高点，为最低点时，， 解得（舍）或； 为最高点，为最低点时，，方程无解； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年第一学期九年级期中学情检测试题数学 一、选择题 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C D. 4. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 5. 如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数图象一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 8. 已知的半径为5cm，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是点A在__________（填“内”“外”或“上”）． 9. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 10. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_______度． 11. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是___________． 12. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是_____________． 13. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 14. 如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 15. 用合适的方法解方程：． 16. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 17. 某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 18. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及这个方程的根． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 20. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边．在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使． （1）求a的值： （2）求点F的坐标． 21. 如图，是的直径，与相交于点E，弦与弦相等，且． （1）求度数； （2）如果，求的长． 22. 如图，在一面靠墙空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 24. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 25. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． （1）当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； （2）当点O在的内部时，求t的取值范围； （3）求S与t之间的函数关系式． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若点P是该抛物线的顶点时，求的长； （3）当的面积是3时，求点P的坐标： （4）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $