精品解析：河南省安阳市安阳县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年第二学期八年级期末学情抽样调研 数学（人教版） 考试时间：100分钟，满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的． 1. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 若点，在一次函数的图像上，且．则下列的取值符合条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( ) A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 新考向】 7. 数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A. 小明和小红正确，小刚错误 B. 小红和小刚正确，小明错误 C. 小明和小刚错误，小红正确 D. 小明和小红错误，小刚正确 8. 图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（ ） A 3尺 B. 3.75尺 C. 4尺 D. 4.25尺 9. 电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示．下列说法不正确的是（ ） A. B. 可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C. 当踏板上人质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D. 当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：2___5．（填“＞”、“＜”或“＝”） 12. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 13. 智能机器人可以从识别能力、决策能力、运动能力和交互能力四个维度来进行测评，如果满分分，某款机器人以上四个维度的测评分数分别为分，分，分，分，若四项得分依次按，，，的比例计算测评成绩，则该机器人测评成绩为_______． 14. 若将点向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点．则直线的函数解析式为___________． 15. 如图，已知线段，点是线段上的一动点，于点，于点，且，若，由勾股定理可知，，当时，_______；的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知两个实数和． （1）计算：； （2）求的值． 17. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点，，，；过点作射线，过点作于，连接． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）求的长． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 19. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 20. 已知直线分别与轴、轴交于两点． （1）求点和点坐标； （2）将直线向上平移6个单位长度后得到直线，画出平移后的直线的图形； （3）平面内有一动点，点的坐标为，当点在内部（不含边界），求的取值范围． 21. 我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． （1）计算：； （2）比较：与的大小； （3）化简：． 22. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． （1）求、两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 23. 问题呈现如图是李老师在一节课中的例题内容． 例：已知：如图，在中，、是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：四边形是平行四边形， （平行四边形的对边相等），（平行四边形的定义）． ． 又， ≌． ． 【结论应用】 如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，连接、，请判断四边形的形状，并证明； 【拓展提升】 如图，点是正方形对角线上的两点且，；、分别是、的中点； （1）则四边形的形状为______ ； （2）若正方形的面积为．则四边形的面积为______ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期末学情抽样调研 数学（人教版） 考试时间：100分钟，满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的． 1. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，有，将二次根式转化为绝对值问题，结合绝对值的性质求解． 【详解】由题意得， 即，， 故选：B． 2. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 4. 如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、估算无理数的大小、实数与数轴，先根据二次根式混合运算的法则得出，再估算出的大小，结合数轴即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， ， 由数轴可得：点在到之间， 故选：C． 5. 若点，在一次函数的图像上，且．则下列的取值符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由点，在一次函数的图像上，且，可知：， ∴， 故选A． 6. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( ) A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可． 【详解】解：换人前平均身高为：， 换人后平均身高为：， 换人前的方差为： ， 换人前的方差为： ， ∵，， ∴平均数不变，方差变大，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方差和平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差． 【新考向】 7. 数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A. 小明和小红正确，小刚错误 B. 小红和小刚正确，小明错误 C. 小明和小刚错误，小红正确 D. 小明和小红错误，小刚正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，正方形的判定，等边三角形的判定与性质，由菱形的性质证明，，由作图可得：，可得，再进一步的分析即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴，， 由作图可得：， ∴， ∴四边形为菱形；为等边三角形， ∴， ∴， ∴小明认为：只有当时，四边形是菱形；说法错误； 小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，说法正确； 当时，而， ∴四边形不是正方形， 小红认为：当时，四边形是正方形，说法错误； 故选D 8. 图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（ ） A. 3尺 B. 3.75尺 C. 4尺 D. 4.25尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 9. 电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示．下列说法不正确的是（ ） A. B. 可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C. 当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D. 当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出一次函数的解析式，再结合图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将，代入得， 解得：， ∴， 故，可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小，当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧，故ABC正确； 当时，， 解得：， 故当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为75千克，D错误， 故选：D． 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故①正确；根据正方形的性质得到推出，得到，求得，故③④正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故②错误． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ， ∴矩形为正方形；故①正确； ∵， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：2___5．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】把根号外的系数平方后移入根号内，再比较根号内被开方数的大小即可． 【详解】2＝＝，5＝＝， ∵20＜50， ∴2＜5， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，两个含有算术平方根的正数比较大小，两种处理方法：一是把根号外的系数平方后移入根号内，再比较根号内被开方数的大小即可；二是平方法，两个数分别平方，比较平方后的数大小即可． 12. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到． 【详解】解：如图，过作垂直于地面， ∵O是中点，垂直于地面，垂直于地面， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为， 故答案为：60． 13. 智能机器人可以从识别能力、决策能力、运动能力和交互能力四个维度来进行测评，如果满分分，某款机器人以上四个维度的测评分数分别为分，分，分，分，若四项得分依次按，，，的比例计算测评成绩，则该机器人测评成绩为_______． 【答案】86.5分 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．根据加权平均数的计算公式，计算求解即可． 【详解】解：机器人测评成绩为分， 故答案为：86.5分． 14. 若将点向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点．则直线的函数解析式为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，求一次函数的解析式．根据点的平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”确定点的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：点向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点， 点的坐标为， 设直线的函数解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 15. 如图，已知线段，点是线段上的一动点，于点，于点，且，若，由勾股定理可知，，当时，_______；的最小值为_______． 【答案】 ①. ## ②. 13 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求得，，即可求的值； 作点关于的对称点，连接交于点，则的长就是的最小值，过点作的平行线交的延长线于点， 【详解】解：当时，，， ∴； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，则的长就是的最小值，过点作的平行线交的延长线于点，利用勾股定理求得即可求解． ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理可知． 所以的最小值为13． 故答案为：；13． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知两个实数和． （1）计算：； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）代入后运用二次根式的运算法则计算即可； （2）将式子变形为，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：由题可知，， ∴． 17. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点，，，；过点作射线，过点作于，连接． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质． （1）由勾股定理逆定理判断出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，再由直角三角形的性质即可得解． 小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ． 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：平行四边形是矩形，， ∴，． ， ∴． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为； （2）滑块向左滑动的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的未知边的长度． 根据直角三角形中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和； 物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 19. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，9，； （2）见解析； （3）变大． 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 【小问1详解】 解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ， 即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，； 【小问2详解】 解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； 【小问3详解】 第6次为5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 20. 已知直线分别与轴、轴交于两点． （1）求点和点的坐标； （2）将直线向上平移6个单位长度后得到直线，画出平移后的直线的图形； （3）平面内有一动点，点的坐标为，当点在内部（不含边界），求的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与坐标交点问题，画一次函数平移后的图象，利用图象平移的规律是解答关键． （1）根据和时来分别计算求解； （2）根据图形平移的规律：左加右减，上加下减来求解； （3）根据点坐标为，得到点在上运动，再结合点在内部（不含边界）得到，解方程组即求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 所以点的坐标为； 当时，， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 解∶将直线向上平移6个单位后得到直线，直线的函数解析式为：，即； 直线的图象如图所示： 【小问3详解】 解∶ 因为点的坐标为， ∴点在上运动， 当时，； 由，解得， ∴的取值范围为． 21. 我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． （1）计算：； （2）比较：与的大小； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ∴； 【小问3详解】 解： ． 22. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． （1）求、两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元 （2）购进A配件100件，B配件300件获得利润最大，最大利润为10000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的3倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【小问1详解】 解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元； 【小问2详解】 解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵配件进货件数不低于配件件数的3倍， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元）， 此时需要购进A配件100件，B配件300件． 23. 问题呈现如图是李老师在一节课中的例题内容． 例：已知：如图，在中，、是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：四边形是平行四边形， （平行四边形的对边相等），（平行四边形的定义）． ． 又， ≌． ． 【结论应用】 如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，连接、，请判断四边形的形状，并证明； 【拓展提升】 如图，点是正方形对角线上的两点且，；、分别是、的中点； （1）则四边形的形状为______ ； （2）若正方形的面积为．则四边形的面积为______ ． 【答案】结论应用：平行四边形，证明见解析；拓展提升：（1）矩形；（2） 【解析】 【分析】结论应用：根据平行四边形的性质证明，可得，同理，可得，所以四边形是平行四边形，进而可得结论； 拓展提升：（1）如图，连接，交于点，根据正方形的性质得到，，得到，根据平行四边形的性质得到，推出▱是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，，得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据正方形性质得到，求得，由勾股定理得到，根据，求得四边形的面积的面积． 【详解】解：结论应用四边形是平行四边形， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 同理， ， 四边形是平行四边形； 拓展提升（1）矩形， 理由：如图，连接，交于点， 四边形是正方形， ，， 、分别是和的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ▱是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； 故答案为：矩形； （2）正方形的面积为， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 四边形的面积的面积． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形和平行四边形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握同高三角形面积的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $