1.3.2基本不等式（第1课时）（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

3 不等式 3.2 基本不等式 （第一课时） 第一章 预备知识 北师大版2019·必修第一册 学 习 目 标 2 3 通过折纸拼图的教学实验，从中概括出不等关系，发展学生的数学建模素养. 掌握基本不等式的证明、明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”. 初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学运算素养和逻辑推理素养。 1 读教材 阅读课本P27-P28，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“基本不等式”吧！ 1.基本不等式是什么？该如何证明？ 2.使用基本不等式时需要注意什么？ 3.基本不等式的几何解释是什么？ 新课引入 请同学们拿出两张大小不同的正方形的纸,将他们分别沿对角线对折成两个等腰直角三角形,用来自不同正方形的两个等腰三角形拼接出一个矩形. 新课引入 (2)设两个正方形的面积分别是a和b,由(1)中的发现你能得到什么数量关系吗？ (1)对比该矩形的面积与两个等腰直角三角形的面积和,你有什么发现呢？ 新课引入 (3)当两个正方形面积相等时,即时,你又能得到什么数量关系？ 学习过程 01 03 02 目录 1 基本不等式的内容 3 题型训练 2 基本不等式的几何解释 新知探究 知识点一、基本不等式的内容 算术平均值 几何平均值 均值不等式 基本不等式也可以表述为： 两个非负数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 你能用文字语言表述基本不等式吗？ 基本不等式： ,当且仅当,等号成立. 新知探究 知识点二、基本不等式的证明 因为= = ≥0 所以 (当且仅当,等号成立) 思考：你能利用上节课的知识来证明基本不等式吗？ 基本不等式： ,当且仅当,等号成立. 典例分析 例1：（1）已知,求最小值. （2）已知,求的最小值. 解：因为 所以 （当且仅当） 因此最小值为2. “一正” “二定” “三相等” ①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值； ③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可． 使用基本不等式求最值要注意三点： 提分笔记 典例分析 例1：（1）已知,求最小值. （2）已知，求的最小值. 解:（2）因为 （当且仅当时,等号成立） 故的最小值为. 典例分析 例2：已知,求证：. 解： 因为所以由基本不等式,得： 当且仅当时,等号成立， 当且仅当时,等号成立， 当且仅当时,等号成立， 上面三式相加,得, 即,当且仅当时,等号成立. ⑴直接应用基本不等式（一次或多次）,多次应用基本不等式时特别要注意取得等号条件是否同时成立. ⑵通过加减项、拆项、配凑等方法将问题转化为基本不等式的形式 使用基本不等式证明不等式的方法： 提分笔记 学习过程 01 03 02 目录 1 基本不等式的内容 3 题型训练 2 基本不等式的几何解释 新知探究 知识点三、基本不等式的几何解释 如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在 AB 上,且AC=a,CB =b.过点 C 作 AB 的垂线,交弧 AB 于点 D ,连接 AD、OD、BD. A B O C D a b (1)和分别等于多少？ OD=OA=, CD= (2)和数量关系？ OD≥CD,当且仅当点 C 与圆心 O 重合时,等号成立. 即“半径大于等于半弦”. 所以. 14 学习过程 01 03 02 目录 1 基本不等式的内容 3 题型训练 2 基本不等式的几何解释 题型探究 例1： 解： 利用基本不等式求最值 题型1 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 若则,并指出等号成立的条件． 题型探究 利用基本不等式求最值 题型1 例2： 已知且则的最小值是 . ，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 解： 题型探究 例1： 解： 证明不等式 题型2 已知求证：. 因为,所以由基本不等式得： , 当且仅当时，等号成立.所以. ∵,, ∴,, (当且仅当时,等号成立). ∴； 例2： 题型探究 证明不等式 题型2 已知求证： 解： 19 课堂小结 一、基本不等式的内容 ,当且仅当,等号成立. 注：(1)基本不等式也可以表述为：两个非负数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. (2)使用基本不等式求最值需注意： ①“一正”——各项为正数； ②“二定”——“和”或“积”为定值； ③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可． 二、基本不等式的几何解释 A B O C D a b “半径大于等于半弦”： 课堂小结 如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在 AB 上,且AC=a,CB =b.过点 C 作 AB 的垂线,交弧 AB 于点 D ,连接 AD、OD、BD. OD≥CD,当且仅当点 C 与圆心 O 重合时,等号成立. 感谢聆听! $$