精品解析：江西省宜春市高安市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学

2024—2025学年度下学期期末质量监测 七年级数学试卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟 2．请在答题卡上答题，否则不给分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数与无理数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有理数与无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故A选项不符合题意； B、，是整数，属于有理数，故B选项不符合题意； C、是无理数，故C选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，掌握平面直角坐标系的特点是关键． 根据芍药园的坐标，月季园的坐标 ，确定平面直角坐标系，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示， ∴牡丹园的坐标为． 故选：A 3. 一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： ， 故选：B． 4. 2025年高安市有12478名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，计划从中抽取1200名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 12478名考生是总体 B. 每位考生的数学成绩是个体 C. 这1200名考生是总体的一个样本 D. 1200名学生是样本容量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念．总体是研究对象的全体，即所有考生的数学成绩；个体是每个考生的数学成绩；样本是抽取的考生的数学成绩；样本容量是样本中个体的数量，为一个数值．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：总体是12478名考生的数学成绩，而非考生本身，故此选项不符合题意． B：每位考生的数学成绩是总体中的一个个体，描述正确，故此选项符合题意． C：样本应为被抽取的1200名考生的数学成绩，而非考生，故此选项不符合题意． D：样本容量是抽取的数量1200，不带单位，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 某种洗衣液售价是每瓶20元，购买2瓶以上（包括2瓶）者可享受优惠．优惠办法有两种：①一瓶洗衣液按原价，其余按原价的7折销售；②全部按原价的8折销售．在购买相同数量洗衣液的情况下，若第一种方法比第二种方法得到的优惠多，则购买洗衣液的数量至少是（ ） A. 5瓶 B. 4瓶 C. 3瓶 D. 2瓶 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 设购买x瓶洗衣液时，第一种方法比第二种方法得到的优惠多，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设购买x瓶洗衣液时，第一种方法比第二种方法得到的优惠多， 根据题意得：， 解得：， ∴最少需要买4瓶洗衣液． 故选：B． 6. 如图，点E是四边形外一点，连接交BC于点F，连接，已知，，，，点G是上的一点，连接，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定及角的和差关系，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，证明，可判断故A，B，C正确，然后排除选项D即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，故A，B，C正确； 由于的度数无法求出，所以由并不能得到； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义，若，则叫做的算术平方根，由算术平方根的定义求解即可得到答案．熟记算术平方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：的算术平方根是， 故答案为：． 8. 如果，则是________命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查判断命题真假，通过举反例说明命题的真假即可得出结论． 【详解】解：当，时，则且， ∴如果，则是假命题． 故答案为：假． 9. 如图，将沿射线平移得到，连接，若的周长为，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求四边形周长，涉及平移性质、三角形周长等知识，先由平移性质得到，再由题意得到，最后数形结合表示出，进而与的周长中的线段联系起来求解即可得到答案．熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：将沿射线平移得到，连接， 由平移性质可得， 的周长为， ， ， 故答案为：． 10. 《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为___. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．设甲有只羊，乙有只羊，根据甲对乙说：可得，乙对甲说：可得：，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 由题意得，， 故答案为： 11. 已知点在第二象限，点到轴的距离是点到轴的距离的3倍，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征，由点在第二象限，可知，再由点到轴的距离是点到轴的距离的3倍，列方程求解即可得到答案．熟记坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点在第二象限，点到轴的距离是点到轴的距离的3倍， ， ， 解得， ， 故答案为：． 12. 已知直线，点分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转，若射线先转45秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为_____秒时，． 【答案】15或63或135 【解析】 【分析】分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间． 【详解】解：①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′=4t°，∠CQC′=45°+t°， ∵AB∥CD，PB′∥QC′， ∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′， 即4t=45+t， 解得，t=15（s）； ②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′=（4t）°-180°，∠CQC'=t°+45°， ∵AB∥CD，PB′∥QC′， ∴∠APB′=∠PED=180°-∠CQC′， 即4t-180=180-（45+t）， 解得，t=63（s）； ③当67.5s＜t≤135s时，如图4，则∠BPB′=（4t）°-360°，∠CQC′=t°+45°， ∵AB∥CD，PB′∥QC′， ∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′， 即4t-360=t+45， 解得，t=135（s）； 综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′． 故答案为：15或63或135． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，于点C，，求证： 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用乘法分配律、立方根化简，再合并即可； （2）根据垂直的定义得到，再由得出，再根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】（1）解： ； （2）略 14. 解不等式组并在数轴上表示解集． 【答案】解集表示在数轴上如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解集表示在数轴上的方法，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质，分别解不等式，并把解集表示在数轴上，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 15. 如图，直线，交于点，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案； （2）得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案． 【小问1详解】 平分， ， ， ， ． 【小问2详解】 ，， ， ， ． 16. 在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知O、A、B都是方格纸上的格点，仅利用无刻度直尺完成下列作图（注：下列求作的点都是格点）． （1）画线段、，使得； （2）过点O画线段，使得． 【答案】（1）如图，线段AB，AC即为所求． （2）如图，线段OD即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据线段的定义以及垂线段的定义，结合格点，画出图形即可； （2）取格点D，连接OD，线段OD即为所求． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图−垂直，平行等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用格点的特征是解决问题的关键． 17. 解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_____（填“甲”或“乙”）； （2）请你参照乙的解题思路，解下面的方程组． 【答案】（1）甲 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键． （1）结合题意即可求解； （2）参照乙的解题思路解方程组即可． 【小问1详解】 解：②①得，， ∴过程出现错误的同学是甲， 故答案为：甲； 【小问2详解】 解： 将方程②变形，得③． 把方程①代入③，得， 解得：． 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 高安市为了打造文明城市，提升市民文明素质，启动了“一盔一带，安全行动”活动．此活动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔．某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要190元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要210元． （1）购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ （2）如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 【答案】（1）购进1个A型头盔需要30元，购进1个B型头盔需要50元 （2）至少购进A型头盔20个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元， 由题意得，解得 答：购进1个A型头盔需要30元，购进1个B型头盔需要50元． （2）解：设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个， 由题意得， 解得：， ∴a的最小值为20， 答：至少购进A型头盔20个． 19. 某初中学校为了让中午值班的老师获得较好的休息，特购进一种躺椅．下图为这种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，靠背与交于点，． （1）试说明：； （2）当与正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时的度数． 【答案】（1） 解：说明如下： ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质求角度，读懂题意，数形结合，由平行线的判定与性质，准确得到相关角度关系是解决问题的关键． （1）由，，得到，根据同位角相等两直线平行即可得证； （2）由平行线的性质，数形结合表示出各个角度之间的关系即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． （1）判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】（1） x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 书法，不仅可以让青少年认识美、发现美和感受美，而且可以让青少年培养专注力和耐心．为了解学生每周的练字情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周的练字时间（单位：），并对数据进行整理、描述和分析，以下是根据调查结果绘制的不完整的统计图表． 平均每周练字时间频数统计表 平均每周练字时间 频数 频率 4 0.1 14 10 0.25 0.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）此次调查的样本容量为______，表格中的______，_____； （2）补全频数分布直方图； （3）①若该校有1600名学生，请估计平均每周练字时间在范围内的学生人数； ②为了加强练字教育，促进学生增加每周练字时间，请你站在学校的角度上，提出一条合理化建议． 【答案】（1）40，0.35，12 （2） 补全直方图如图： （3）①平均每周练字时间在范围内的学生人数约为720人；②落实书法课的开展，将书法练习常态化，从而提高书法练习的时间 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和直方图，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键： （1）根据频数，总数，频率之间的关系进行计算即可； （2）根据（1）中结果补全直方图即可； （3）①利用样本估计总体的思想进行求解即可；②根据统计图表，提出建议即可． 【小问1详解】 解：样本容量：； ； ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①（人）； 答：平均每周练字时间在范围内的学生人数约为720人； ②落实书法课的开展，将书法练习常态化，从而提高书法练习的时间（答案不唯一，合理即可） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． （1）填空：_____，______，三角形的面积是______； （2）如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】（1）3，2，3 （2）①；②，， 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根与绝对值的非负性、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值、完全平方式的非负性得到，，求出的值，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可； （2）①利用三角形的面积公式即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； 故答案为：3，2，3； 【小问2详解】 解：①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述：，，． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． （1）如图1，在边上任取一点（不同于点），过点作，若，求的度数； （2）如图2，过点作，若，求的度数； （3）探究：将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：①当点在直线的上方时，过点作，如图3-1所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点在直线与直线之间时，由（2）可得； ③当点在直线的下方时，过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上所述，①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据平行线的性质可知，结合∠2＋∠FGE＋∠EGB＝180°，，，可求出的度数； （2）过点作，如图2所示，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可得到答案； （3）分三种情形：①如图3−1中，点在直线的上方时；②当点在直线与直线之间时；③当点在直线的下方时，分别利用平行线的判定与性质解决问题即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 过点作，如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期末质量监测 七年级数学试卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟 2．请在答题卡上答题，否则不给分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 4. 2025年高安市有12478名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，计划从中抽取1200名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 12478名考生是总体 B. 每位考生的数学成绩是个体 C. 这1200名考生是总体的一个样本 D. 1200名学生是样本容量 5. 某种洗衣液售价是每瓶20元，购买2瓶以上（包括2瓶）者可享受优惠．优惠办法有两种：①一瓶洗衣液按原价，其余按原价的7折销售；②全部按原价的8折销售．在购买相同数量洗衣液的情况下，若第一种方法比第二种方法得到的优惠多，则购买洗衣液的数量至少是（ ） A. 5瓶 B. 4瓶 C. 3瓶 D. 2瓶 6. 如图，点E是四边形外一点，连接交BC于点F，连接，已知，，，，点G是上的一点，连接，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的算术平方根是________． 8. 如果，则是________命题． 9. 如图，将沿射线平移得到，连接，若的周长为，则四边形的周长为______． 10. 《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为___. 11. 已知点在第二象限，点到轴的距离是点到轴的距离的3倍，则点的坐标为_____． 12. 已知直线，点分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转，若射线先转45秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为_____秒时，． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，于点C，，求证： 14. 解不等式组并在数轴上表示解集． 15. 如图，直线，交于点，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 16. 在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知O、A、B都是方格纸上的格点，仅利用无刻度直尺完成下列作图（注：下列求作的点都是格点）． （1）画线段、，使得； （2）过点O画线段，使得． 17. 解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_____（填“甲”或“乙”）； （2）请你参照乙的解题思路，解下面的方程组． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 高安市为了打造文明城市，提升市民文明素质，启动了“一盔一带，安全行动”活动．此活动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔．某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要190元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要210元． （1）购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ （2）如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 19. 某初中学校为了让中午值班的老师获得较好的休息，特购进一种躺椅．下图为这种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，靠背与交于点，． （1）试说明：； （2）当与正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时的度数． 20. 定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． （1）判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 书法，不仅可以让青少年认识美、发现美和感受美，而且可以让青少年培养专注力和耐心．为了解学生每周的练字情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周的练字时间（单位：），并对数据进行整理、描述和分析，以下是根据调查结果绘制的不完整的统计图表． 平均每周练字时间频数统计表 平均每周练字时间 频数 频率 4 0.1 14 10 0.25 0.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）此次调查的样本容量为______，表格中的______，_____； （2）补全频数分布直方图； （3）①若该校有1600名学生，请估计平均每周练字时间在范围内的学生人数； ②为了加强练字教育，促进学生增加每周练字时间，请你站在学校的角度上，提出一条合理化建议． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． （1）填空：_____，______，三角形的面积是______； （2）如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． （1）如图1，在边上任取一点（不同于点），过点作，若，求的度数； （2）如图2，过点作，若，求的度数； （3）探究：将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $