22.1.4二次函数 y＝ax²＋bx＋c的图象和性质(第1课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 22.1.4 二次函数的图象和性质 第 一 课时 22.1二次函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 会将二次函数转化为的形式,确定二次函数的顶点坐标，对称轴； 会画二次函数图象,掌握二次函数 的性质 进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 知识回顾 二次函数 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 二次函数、、 、的图象特点 向上 向下 x y O y x O x y O y x O 直线x=0 直线x=0 直线x=h （y轴） （y轴） （0,0） （h,0） （0,k） x y O y x O x y O y x O (3)顶点坐标是(h,k) (1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h 直线x=h （h,k） 知识回顾 二次函数 图象 增减性质 最值 增减性质 最值 x y O x y O 在对称轴的左侧， y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧， y随x的增大而增大 y x O y x O x y O y x O 在对称轴的左侧， y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧， y随x的增大而减小 当x=0时， y最小值=0． 当x=0时， y最小值=k． 当x=h时， y最小值=0． 当x=0时， y最大值=0． 当x=0时， y最大值=k． 当x=h时， y最大值=0． x y O y x O 当x=h时， y最小值=k． 当x=h时， y最大值=k． 二次函数、、 、的函数性质 左降右升 左升右降 4 知识回顾 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k图象关系 y=ax2 y O x y=ax2 y=a(x-h)2+k h k 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k 向下平移k个单位（k<0） 向上平移k个单位（k>0） 向左平移h个单位（h<0） 向右平移h个单位(h>0) y=ax2 y= ax2 +k 𝑦=𝑎𝑥−ℎ2 y=ax2 -|k| 𝑦=𝑎𝑥+|ℎ|2 1.抛物线y=(x-2)²+1是由y=x²平移得到的，下列对于抛物线y=x²的平移过程叙述正确的是( ） A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 2.二次函数y=(x-1)²+2的最小值是（ ） A.-2 B. 2 C.-1 D. 1 知识回顾 练一练 3.将抛物线y＝(x－1)2＋3向左移1个单位长度，向下移3个单位长度，所得抛物线为（ 　） A.y＝(x－2)2 B.y＝(x－2)2＋6 C.y＝x2＋6 D.y＝x2 4.对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④当x＞0时，y的值随x的增大而减小.其中结论正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D B D C 导入新课 探究点1 二次函数 图象和性质 二次函数 二次函数一般形式 形 式 二次函数 改形式 图象和性质 图象和性质 (3)顶点坐标是(h,k) (1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h 如何将二次函数变为y=a+k的样式？ 方法是什么？ 新课探究 探究点1 二次函数 图象和性质 练一练 把方程0=配方，化为(x＋m)2＝n的形式. 解：移项，得 .________ ＝ 二次项系数化为1，得 . _______ 配方，得 ＋______＝-42＋_____. ∴（x－_______）2＝_______. -21 -42 2 2 将二次函数化为y=a+k的样式 第一步：提取二次项系数 第二步：配方 第三步：整理化简 配完全平方式 向上平移3个单位长度， 向右平移6个单位长度 新知探究 探究点1 二次函数 图象和性质 议一议 画出二次函数 图象 配方 向右平移6个单位长度 向上平移3个单位长度 方法一：平移法 (3)顶点坐标是(6 ，3) (1)抛物线的开口向上 (2)对称轴是直线x=6 (4)抛物线形状与相同 新知探究 探究点1 二次函数 图象和性质 议一议 画出二次函数 图象 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 向右平移6个单位长度 向上平移3个单位长度 y x 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 4 2 0 新知探究 探究点1 二次函数 图象和性质 做一做 在平面直角坐标系里直接画出二次函数 图象 ∴抛物线开口向上，顶点为（6，3)，对称轴为直线x=6. （1）利用图象的对称性列表（请填表）： x … 3 4 5 6 7 8 9 … … … 7.5 7.5 5 5 3.5 3.5 3 (2)描点画图. 解： 方法一：描点法 典例分析 探究点1 二次函数 图象和性质 例1.用配方法将二次函数化为y=a+k的形式，再写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解： 开口方向： 向下， 对 称 轴： 直线x＝1， 顶点坐标：(1，4)． 第一步：提取二次项系数 第二步：配方 加上并同时减去一次项系数一半的平方 第三步：整理 前三项化为平方形式,后两项合并同类项 第四步：化简 去掉中括号，化为顶点式 配方法过程 二次函数顶点式 新知探究 探究点2 二次函数图象和性质 将二次函数配方化成 形式（一般称为顶点式） 练一练 提取a 配方 整理化简 新知探究 探究点2 二次函数图象和性质 你能求出二次函数对称轴及顶点坐标？ 练一练 由配方得： 对称轴：直线； 顶点坐标：(， ) 二次函数对称轴和顶点坐标公式 新知探究 探究点2 二次函数图象和性质 你能归纳出二次函数特征和性质吗？ 议一议 y=ax2+bx+c y O x （a>0） y O x （a<0） 增减性 最小值 最大值 新知探究 探究点2 二次函数图象和性质 你能归纳出二次函数特征和性质吗？ 议一议 a＞0 a＜0 图 形 顶点坐标 对 称 轴 开口方向 增 减 性 最 值 x y O y x 直线 x = - 向上 向下 在对称轴左侧即当x< -时y 随 x的增大而减小. 在对称轴右侧即当x> -时,y随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧即当x< -时, y 随 x的增大而增大， 在对称轴右侧即当x> -时,y随 x 的增大而减小. 当x=-时,y最小值= 当x=-时,y最大值= 16 典例分析 探究点2 二次函数图象和性质 例2．已知抛物线的对称轴是直线，求的值及顶点坐标． 解： ∵图象的对称轴为直线 ， ∴ ， 解得： ， ∴， ∴抛物线顶点坐标为（1,1） ． 拓展提升 1．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． (1)将 化成 的形式； (2)求点A、B、C的坐标； (3)观察图象直接写出不等式 的解集． 的解集是函数时自变量的取值范围，由图象得 （1）解： （2）解：令，则， ∴该抛物线与轴的交点 C坐标是（0，-3） ， 令，则 ， 解方程得：， 所以该抛物线与轴的交点坐标： A（-1,0）、B （3,0） （3）解： 或 的解集是： 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）y=3x2+2x； （2）y=－x2－2x；   巩固练习 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=3x2+2x y=－x2－2x y=－2x2+8x－8 y= x2－4x+3 教材P39练习 向上 向下 向下 向上 （-，） (-1, 1). (2, 0). (4, -5). 直线 x= - 直线x=-1 直线x =2 直线x =4 （1）y=3x2+2x =3（x-）2+ （3）y=－2x2+8x－8； （4）y= x2－4x+3. （2）y = －x2－2x =3（x+）2+ （3）y= －2x2+8x－8 = -2（x-）2 （4）y = x2－4x+3 = （x-）2- 2.用配方法将二次函数配方化成 形式并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 巩固练习 解： ∴开口方向向上，对称轴为x＝－3，顶点坐标(－3，－4) 真题感知 1．(2025•福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　) A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 解：∵y＝3x2＋bx＋1，∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点(0，1)， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于B(1，y2)到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， A 真题感知 2．(2025•河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 解：（1）由题意，结合表格数据可得， 二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋k． 又∵图象过(0，－2)，(1，1)， ∴－2＝a(0＋1)2＋k，且1＝a(1＋1)2＋k． ∴a＝1，k＝－3． ∴二次函数为y＝(x＋1)2－3， 即y＝x2＋2x－2． 真题感知 2．(2025•河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． （2）由题意，结合（1）y＝(x＋1)2－3， ∴顶点坐标为(－1，－3)． x … -3 －2 -1 0 1 … y … 1 －2 -3 －2 1 … 真题感知 2．(2025•河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． （3）由题意， ∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝(x＋1－n)2－3． ∴此时对称轴是直线x＝n－1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n－1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为(1－n)2－3； 当x＝3时，y取最小值为(4－n)2－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(1－n)2－3－(4－n)2＋3＝5． ∴n4，不合题意． 真题感知 2．(2025•河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． （3） ∴ n=1+或n=1- (不合题意，舍去) ②当0＜n－1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时 y取最大值为(1－n)2－3或(4－n)2－3； 当x＝n－1时，y取最小值为－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(1－n)2－3＋3＝5或(4－n)2－3＋3＝5． 新函数为y＝(x＋1－n)2－3． y＝(x＋1)2－3 ③当n－1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为(1－n)2－3； 当x＝3时，y取最大值为(4－n)2－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(4－n)2－3－(1－n)2－3＝5． ∴n1，不合题意． ∴综上 n=1+ 1.二次函数图象 y O x a>0 y O x a<0 课堂小结 当x< -时y 随 x的增大而减小. 当x> -时,y随 x 的增大而增大. 当x< -时, y 随 x的增大而增大， 当x> -时,y随 x 的增大而减小. 2.二次函数 性质 当a>0时 当a<0时 课堂小结 y=ax2+bx+c(a≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 公式法 对称轴是 ，顶点坐标为 . 3.二次函数一般式图与顶点式的关系 课后练习 探究性作业 1.如图，在直角坐标系中，已知函数 (1)完成以下列表： … -2 -1 0 1 2 3 4 … …               … (2)画出这个函数的图象； (3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴． 5 0 0 5 -3 -3 -4 如图所示 解：(2) -1 3 1 -4 （3）由图可知： 与x轴交于（-1 , 0） ，（3 , 0） ， 与y轴交于（0 , -3） ， 顶点坐标（1，-4） ， 对称轴：直线 -3 感谢聆听! $$