第二章 一元二次方程（知识清单）数学北师大版九年级上册

第二章 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有 ，并且未知数的 的 叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ① ，即 ；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ② 未知数； ③未知数的 ． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做 ，a叫做 ；bx叫做 ；c叫做 ． 和 可取任意实数， 的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程 是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程- 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程- （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程- （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程- （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ① ；② ；③令 ，得到两个一元一次方程；④ ，它们的解就都是原方程的解． 四、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是： ， ， ， ． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1） ：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2） ：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3） ：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 易错点1 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 1.易错点总结：在利用一元二次方程定义求参数时，常因仅关注未知数最高次数为2，忽略二次项系数不能为0的条件。例如，在方程(m-1)x2+3x-5=0中，直接由x次数为2得出m的值，而未考虑m - 1≠0，导致解出增根。 2.注意事项总结：求解含参一元二次方程问题时，必须先明确二次项系数不为0这一前提条件，再结合未知数最高次数为2列方程或不等式求解参数，最后对所得结果进行检验，确保方程符合一元二次方程的完整定义。 例题1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为 ． 易错点2 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0” 1.易错点总结：在已知一元二次方程的解求参数时，容易只将解代入方程求解，忽略二次项系数不为0的条件。比如已知x = 1是方程(a - 2)x2+3x-1 = 0的解，直接代入得到关于a的等式，却未验证a - 2≠0，可能会把使方程降次为一次方程的参数值误当作答案。 2.注意事项总结：将方程的解代入含参方程后，必须先检查二次项系数是否为0。若二次项系数含参数，需单独讨论其不为0的情况，再结合解的条件求解参数，最后检验所得参数值是否符合一元二次方程的定义。 例题2．关于的一元二次方程有一个根为0，的值是 ． 易错点3 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0” 1.易错点总结：使用判别式△= b2 - 4ac求字母值或取值范围时，常因直接套用公式而忽略二次项系数a≠0的前提。例如，在方程(m - 1)x2 + 2x + 1 = 0中，仅根据△与0的关系求解m，未考虑m - 1 = 0时方程变为一次方程，导致结果错误或漏解。 2.注意事项总结：运用判别式前，需先明确方程二次项系数不为0，再结合△的情况列等式或不等式求解参数；若二次项系数含参数，应分二次项系数为0（一次方程情况）和不为0（二次方程情况）两种情形讨论，最后综合得出符合条件的参数值或范围。 例题3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 易错点4 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0” 1.易错点总结：在利用根与系数关系（韦达定理）x1 + x2 = -，x1x2 = 求值时，易直接代入系数计算，忽略一元二次方程二次项系数a≠0的条件。例如，对含参方程(k - 1)x2 + 3x - 2 = 0，未判断k - 1≠0就使用韦达定理，可能将使方程变为一次方程的k值作为正确答案。 2.注意事项总结：使用根与系数关系前，必须先确定方程二次项系数不为0；若系数含参数，需分二次项系数为0（方程为一次方程，不存在韦达定理应用条件）和不为0（二次方程）两种情况讨论，最后检验所得参数值是否符合要求 。 例题4．已知关于x的方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 4．已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 5．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若方程有解，则的取值范围是 ． 8．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 9．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 10．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 11．定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 12．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 三、解答题 13．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 15．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 16．已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 17．一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 18．如图，在四边形中，，点是上一点，连接，，已知，． (1)求证：； (2)已知，，，以，，为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于的一元二次方程，称为勾股方程． ①若勾股方程有两个相等的实数根，求证：； ②若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 四、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 易错点1 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 1.易错点总结：在利用一元二次方程定义求参数时，常因仅关注未知数最高次数为2，忽略二次项系数不能为0的条件。例如，在方程(m-1)x2+3x-5=0中，直接由x次数为2得出m的值，而未考虑m - 1≠0，导致解出增根。 2.注意事项总结：求解含参一元二次方程问题时，必须先明确二次项系数不为0这一前提条件，再结合未知数最高次数为2列方程或不等式求解参数，最后对所得结果进行检验，确保方程符合一元二次方程的完整定义。 例题1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程． ∴且，解得∶． 故答案为：． 易错点2 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0” 1.易错点总结：在已知一元二次方程的解求参数时，容易只将解代入方程求解，忽略二次项系数不为0的条件。比如已知x = 1是方程(a - 2)x2+3x-1 = 0的解，直接代入得到关于a的等式，却未验证a - 2≠0，可能会把使方程降次为一次方程的参数值误当作答案。 2.注意事项总结：将方程的解代入含参方程后，必须先检查二次项系数是否为0。若二次项系数含参数，需单独讨论其不为0的情况，再结合解的条件求解参数，最后检验所得参数值是否符合一元二次方程的定义。 例题2．关于的一元二次方程有一个根为0，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一个根为0，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， ∴把代入， 得， 解得， 故答案为： 易错点3 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0” 1.易错点总结：使用判别式△= b2 - 4ac求字母值或取值范围时，常因直接套用公式而忽略二次项系数a≠0的前提。例如，在方程(m - 1)x2 + 2x + 1 = 0中，仅根据△与0的关系求解m，未考虑m - 1 = 0时方程变为一次方程，导致结果错误或漏解。 2.注意事项总结：运用判别式前，需先明确方程二次项系数不为0，再结合△的情况列等式或不等式求解参数；若二次项系数含参数，应分二次项系数为0（一次方程情况）和不为0（二次方程情况）两种情形讨论，最后综合得出符合条件的参数值或范围。 例题3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 易错点4 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0” 1.易错点总结：在利用根与系数关系（韦达定理）x1 + x2 = -，x1x2 = 求值时，易直接代入系数计算，忽略一元二次方程二次项系数a≠0的条件。例如，对含参方程(k - 1)x2 + 3x - 2 = 0，未判断k - 1≠0就使用韦达定理，可能将使方程变为一次方程的k值作为正确答案。 2.注意事项总结：使用根与系数关系前，必须先确定方程二次项系数不为0；若系数含参数，需分二次项系数为0（方程为一次方程，不存在韦达定理应用条件）和不为0（二次方程）两种情况讨论，最后检验所得参数值是否符合要求 。 例题4．已知关于x的方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1)的取值范围为： (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，则，即，利用因式分解法解得，，然后由（1）中的的取值范围即可得到的值， 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ，即，解得， 的取值范围为：； （2）解：方程有两个实数根，， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当判别式小于0时，方程无实数根．根据题意表示出判别式并小于0，则可列出不等式，解出即可判别． 【详解】解：一元二次方程 无实数根， ， 解得． 选项中只有满足 ， 故选：A． 2．关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式． 通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解： ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 4．已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C 5．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6．若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 二、填空题 7．若方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 8．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；由题意可知，得，解方程即可确定答案．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系，得出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 9．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 10．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 11．定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为，然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可． 【详解】∵， ∴可变为， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 12．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 三、解答题 13．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知，从而可得：． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 由可得：， 由可得：， ． 14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 由可得或，然后分和，两种情况分别根据方程的解以及一元二次方程的判别式解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 当时，将代入方程可得：，解得：， 此时方程为：，即， ∴，即方程有两个不等的实数根， ∴符合题意； 当时，方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 综上，k的值为或． 15．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 16．已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 【答案】(1) (2)，， (3)当时， 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判别根的情况是关键． （1）根据题意列式得到，代入求值即可； （2）根据方程有实数根得到，再根据为正整数和一元二次方程的定义即可求出答案； （3）利用因式分解法解得到的方程即可． 【详解】（1）解：依题意得： 整理得： ∴ ∴ （2）∵方程有实数根 ∴ 整理得： 解得： ∵取正整数值 ∴，，， 又∵ ∴ ∴满足条件的的正整数值为：，， （3）当时， 原方程可化为： ∴，即 解得： 17．一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握了一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用表示，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：∵一元二次方程两根分别为，其中一根为， ∴将代入，则， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 解得：，； （3）解：当，且， ① ② ①－②得： 即 因， ∴， ∴ 由题知： ∴即，故． 18．如图，在四边形中，，点是上一点，连接，，已知，． (1)求证：； (2)已知，，，以，，为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于的一元二次方程，称为勾股方程． ①若勾股方程有两个相等的实数根，求证：； ②若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②16 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，一元二次方程的解的定义，根的判别式，熟知相关知识是解题的关键。 （1）可证明，据此可利用证明； （2）①由根的判别式得到．由勾股定理可得．则，据此得到，则可得． ②由全等三角形的性质得到，，，则．根据一元二次方程的解的定义得到．根据四边形周长计算公式可得．则，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ． 又， ∴． （2）解：①方程有两个相等的实数根， ． ，，，， ，即． 把代入，得． ． ， ∵， ． ②由（1）知， ，，， ∴． 当时，，则． 四边形的周长是， ． ． ． ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$