精品解析：安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年八年级 下学期6月期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题、每小题4分，满分40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可解答． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得． 所以这个多边形是五边形． 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程求得，然后根据即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 则， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 4. 的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可． 【详解】解：A、∵∠A=∠B-∠C， ∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°， 解得∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； B、∵a：b：c=5：12：13， 设a=5x，b=12x，c=13x， ∴a2+b2=169x2=c2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=75°， ∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意； D、∵a2=（b+c）（b-c）， ∴a2=b2-c2， ∴a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，在中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边得出，，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ∵平分交于点，平分交于点， ，， ，， ，， ， 又， 即， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识，得出与的长是解题的关键． 7. 在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ） A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】先将分数从小到大依次排序，然后分别求解各量，最后比较即可． 【详解】解：将分数从小到大依次排序为：87，87，89，93，95，97，99； 平均分为：， 众数为：87， 中位数为：93， 方差为：， 去掉一个最高分和一个最低分后从小到大依次排序为：87，89，93，95，97； 平均分为：， 众数不存在， 中位数为：93， 方差为：， ∴去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数， 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、方差．解题的关键在于正确的运算． 8. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作于，并延长，交于点，由题意易得，，，则有四边形，四边形都是矩形，，，然后可得，又，所以，又根据中位线定理有，，然后问题可求解． 【详解】连接，过点作于，并延长，交于点， ∵， ∴， 四边形是矩形，， ，，，， ，， 四边形，四边形都是矩形， 为的中点， ∴，， ， ∵， ， ∵四边形，四边形都是矩形， ∴，， ， ∵， ， ∵点E是的中点，， ， 为的中点， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质及三角形中位线是解题的关键． 9. 已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得，根据得，则，即可得，综上，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法． 10. 如图，在中，，点为边上一动点，于，于，点为中点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，矩形的判定和性质，点到直线垂线段最短等知识的综合，根据题意可得是直角三角形，结合矩形的判定和性质可得四边形是矩形，由此可得，当时，的值最小，也就是的值最小，根据等面积法可得的值，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∵，即， ∴是直角三角形，，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∵点是中点，且， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴，且四边形是矩形， ∴点共线， ∴， 当最小时，的值最小，即的值最小时，的值最小， 如图，过点作，此时的值最小， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 方程的解是______． 【答案】##2或##或2 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根求解方程的解，根据求出结果即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出即可． 详解】解：如图，连接． 直线垂直平分， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键． 分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， 点 、是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， 点、是线段勾股分割点， ． 综上所述：的长为或5． 故答案为：或5． 14. 如图，中，，，点是的中点． （1）当时，则______； （2）点在上，且，过点分别作于点，于点，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点，由平行四边形的性质得出，得出，然后利用含度角的直角三角形和勾股定理即可解决问题； （2）过点作延长线于点，连接，设，则，由直角三角形的性质和勾股定理求出，，由三角形的面积关系得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 在中， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ∵， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 故答案为：； （2）过点作延长线于点，连接， 平行四边形中，，，， ， ， 设，则， ，， 是的中点， ， ， ， ∵， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形面积公式、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；涉及知识点较多，综合性强，难度较大，合理添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 16. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 ． 先将给定的方程化为一般形式，然后通过因式分解将方程左边转化为两个一次因式的乘积，再根据若两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0的原理，分别求解两个一次方程，从而得到原一元二次方程的解． 【详解】解： 移项得： 采用十字相乘法：分解为与，分解为与，交叉相乘再相加可得， 或， 解得：或． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点． （1）在图1中，以格点为顶点画，使三边长分别为 （2）如图2，各顶点均在格点上，求的面积和点到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）7， 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理和数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求解． 【小问1详解】 解：，，， 则如图即为所求； 【小问2详解】 设点A到的距离为h， ， ， ， ． ∴点A到的距离为． 18. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【小问1详解】 根据规律可知，第个等式： ， 故答案为：； 【小问2详解】 根据规律猜想第个等式为：， 证明： ， 故猜想成立，即． 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 【答案】（1）且 （2）另一个根是， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得到，再由方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出的范围，即可得出答案； （2）代入到，求出的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出另一个根． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为且； 【小问2详解】 解：代入到，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得：，， ∴另一个根是， ∴综上所述，另一个根是，． 20. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识； （1）根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，则，根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形可出四边形是平行四边形，然后结合邻边相等即可得证； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据菱形的性质求出、，根据勾股定理求出，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 为了解某校八年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 12 10 学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）表中______，______； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）跳远成绩大于等于为优秀，若该校八年级共有1300名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）8；20 （2）见解析 （3）780人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，读懂统计图表获取必要的信息是解题的关键． （1）根据频数分布直方图可知，再结合抽取的学生人数即可求出的值； （2）结合（1）中的值即可补全频数分布直方图； （3）用八年级学生的人数乘以跳远成绩大于等于的学生占比，即可解答． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知，， ∴， 故答案为：8；20； 【小问2详解】 解：补充频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有780人． 七、（本题满分12分） 22. 项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 【答案】任务一：千克；任务二：降低2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：先根据表格数据得到每千克的售价每降低元，一天可多售出千克，再利用每天的销售量，即可用含的代数式表示出一天的销售量； 任务二：利用总利润每千克的销售利润每天的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：解：根据表格数据：每千克的售价每降低元，一天可多售出千克 若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是千克； 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故商店需将水果每千克的售价降低元． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在正方形中，相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作于点，证明，进而结论可知； （2）①如图2，延长交于点，证明点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； ②如图3，证明，是等腰直角三角形，，则，设，则，，由勾股定理得，得出，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，过点作于， 则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图2，延长与的延长线相交于点， ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴； ②解：如图3，连接，过作于，则于，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年八年级 下学期6月期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题、每小题4分，满分40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是：（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ） A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点为边上一动点，于，于，点为中点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 方程解是______． 12. 如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为______． 13. 定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为______． 14. 如图，中，，，点是的中点． （1）当时，则______； （2）点在上，且，过点分别作于点，于点，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在下面正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点． （1）在图1中，以格点为顶点画，使三边长分别为 （2）如图2，各顶点均在格点上，求的面积和点到的距离． 18. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 20. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为了解某校八年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩频数分布表 分组 频数 12 10 学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）表中______，______； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）跳远成绩大于等于为优秀，若该校八年级共有1300名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？ 七、（本题满分12分） 22. 项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在正方形中，相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $