精品解析：河南省许昌市禹州市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 

YZS2024～2025学年下学期期末质量检测 八年级数学 （满分120分，时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个三角形的三边长分别为1，2，，则这个三角形的最小内角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，的度数之比可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 24 5. 正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为( ) A. B. C. D. 6. 某商场上月空调的销售情况如下表所示： 品牌 A B C D 销售量/台 260 140 300 480 商场经理决定本月增加库存时多加一些D品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 8. 已知一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交边于点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 某生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线如图所示，观察曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 在12时时，该植物的呼吸作用强度逐渐减弱 B. 该植物24小时内进行光合作用的时间为16小时 C. 在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 D. 在4时时，该植物的光合作用强度逐渐增强 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 将两个大小一致的含角的直角三角板按如图所示摆放，点和点重合，点在上，若，则的长为______． 13. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线（）相交于点，则关于的方程组的解为______． 14. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则______． 15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图①是一款婴儿推车，图②是其调整后的侧面示意图．已知，支架，，，且点D是的中点，求两轮圆心A，B之间的距离． 18. 2025年6月5日是第54个世界环境日，我国的主题是“美丽中国我先行”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，增强全社会生态环境保护意识，共建美好家园．为了庆祝第54个世界环境日，某校举办了环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小华的各项成绩（单位：分，百分制）： 项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护 小亮 90 93 85 95 小华 80 92 100 92 如果将上述四个项目的成绩按的比确定综合成绩，则小亮和小华谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 19. 2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“擦剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示： 信息四：七、八年级抽取学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 93 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：所对应的扇形圆心角______，______，______； （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由； （3）已知七、八年级共有800名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（）的学生总人数． 20. 如图，对角线，相交于点，，．请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使是矩形：①；②；③． （1）你添加的条件是_____；（填序号） （2）在（1）的条件下，求证：是矩形． 21. 如图，是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．已知该圆柱体的重力为，高度为．小马将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下表： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 15 13.5 12 105 9 （1）观察表中数据，推测弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中深度之间满足的函数关系是______函数关系；（填“正比例”或“一次”） （2）根据上述推测，求出弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式； （3）请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，弹簧测力计的示数． 22. 如图，直线与轴交于点，直线（）与轴交于点，与直线交于点． （1）求的值及直线的解析式； （2）求面积； （3）若点在线段上，点在直线上，则的最大值为______． 23. 【问题情境】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图2，过点，分别作，的平行线，并交于点，作射线．在【问题情境】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）求的度数和线段长度的最小值． 【方法应用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，是等腰三角形，四边形是矩形，，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请直接写出钢丝绳长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ YZS2024～2025学年下学期期末质量检测 八年级数学 （满分120分，时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数（即不含平方因子）；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解： A、不是最简二次根式； B、不是最简二次根式； C、符合最简二次根式条件； D、，不是最简二次根式； 故选：C 2. 已知一个三角形的三边长分别为1，2，，则这个三角形的最小内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理，等边三角形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，先判断三角形是否为直角三角形，再运用斜边上的中线等于斜边的一半，证明是等边三角形，则，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为1，2，， ∴， ∴如下图所示：为直角三角形，，直角边为1和，斜边为2； 取的中点，连接， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴三角形的最小内角度数为， 故选：B． 3. 在中，，，，的度数之比可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的两组对角分别相等判定即可求解． 【详解】解：在中，，， 观察四个选项，只有D选项中，符合题意， 故选：D． 4. 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 5. 正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象可知点（3，4）在函数图像上，因此将此点代入函数解析式即可求得k值 【详解】由图知，点（3，4）在函数y＝kx上， ∴3k＝4， 解得：k＝ 故选B． 【点睛】本题考查用待定系数法求正比例函数解析式，为基础题．关键在于通过读函数图象得到图象上点的坐标代入求解即可． 6. 某商场上月空调的销售情况如下表所示： 品牌 A B C D 销售量/台 260 140 300 480 商场经理决定本月增加库存时多加一些D品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用众数做决策，众数代表一组数据中出现次数最多的数值．虽然本题中各品牌的销售量均不同，严格来说没有众数，但D的销售量最大，可视为“最畅销”的，因此用众数来解释这一决策最为合适． 【详解】解：根据表格数据，D品牌销售量（480台）显著高于其他品牌．众数用于表示数据中出现次数最多的值，而在此情境下，D的销售量最高，可理解为“最畅销”，因此经理的决定可用众数来解释．其他统计量如平均数、中位数、方差均无法直接反映销售量最高的特征． 故选：C． 7. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 8. 已知一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵一次函数的图象经过点，，且， ∴， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交边于点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据已知条件，易证是等边三角形，则，得，由勾股定理得，由平分交边于点，得，则，得，由即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分交边于点， ， ， ， ， 故选C． 10. 某生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线如图所示，观察曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 在12时时，该植物的呼吸作用强度逐渐减弱 B. 该植物24小时内进行光合作用的时间为16小时 C. 在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 D. 在4时时，该植物的光合作用强度逐渐增强 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，正确的识别图象是解题的关键． 根据图象中提供的信息即可得到结论． 【详解】A．在12时时，该植物的呼吸作用强度逐渐减弱，正确； B．该植物24小时内进行光合作用的时间为16小时，正确； C．在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大，正确； D．在4时时，该植物的光合作用强度先增强，再减弱，故错误． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 12. 将两个大小一致含角的直角三角板按如图所示摆放，点和点重合，点在上，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理依次计算出和长解答即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线（）相交于点，则关于的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：． 14. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律． 根据一次函数的平移规律求出m、n的值，即可求出的值． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度得： ， ∵平移后的函数图象与一次函数的图象重合， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 【答案】16或4##或16 【解析】 【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13． 由翻折的性质，得B′E=BE=13， ∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5， ∴B′G===12， ∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4， ∴DB′===； （2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）； （3）当CB′=CD时， ∵EB=EB′，CB=CB′， ∴点E、C在BB′的垂直平分线上， ∴EC垂直平分BB′， 由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去． 综上所述，DB′的长为16或． 故答案为：16或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先将括号里的两项进行通分，同时将能因式分解的进行因式分解，再将除法转变为乘法，约分后化简为最简分式，最后将x的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17. 如图①是一款婴儿推车，图②是其调整后的侧面示意图．已知，支架，，，且点D是的中点，求两轮圆心A，B之间的距离． 【答案】两轮圆心A，B之间距离为10 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的特点，勾股定理的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据线段中点的特点得到，利用勾股定理求出，进而求出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得． 答：两轮圆心A，B之间的距离为10． 18. 2025年6月5日是第54个世界环境日，我国的主题是“美丽中国我先行”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，增强全社会生态环境保护意识，共建美好家园．为了庆祝第54个世界环境日，某校举办了环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小华的各项成绩（单位：分，百分制）： 项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护 小亮 90 93 85 95 小华 80 92 100 92 如果将上述四个项目的成绩按的比确定综合成绩，则小亮和小华谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 【答案】小华，见解析 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据加权平均数的计算方法分别求出小亮和小华的综合成绩，然后可得答案． 【详解】解：小华的综合成绩高． 理由如下：小亮的综合成绩为：（分）， 小华的综合成绩为：（分）， ， 小华的成绩高． 19. 2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“擦剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示： 信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 93 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：所对应的扇形圆心角______，______，______； （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由； （3）已知七、八年级共有800名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）；94；96 （2）学校会从八年级中选择，见解析 （3）520人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数，众数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用360度乘以成绩在组所占的百分比，可求出，再根据中位数以及众数的定义，可求出m，n即可； （2）从平均数和方差的角度分析即可求解； （3）用800乘以测试成绩为优秀（）的学生所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 七年级10名学生的成绩从小到大排列后位于正中间的两个数为92，96， ∴中位数， ∵96出现的次数最多， ∴； 故答案为：；94；96 【小问2详解】 解：学校会从八年级中选择．理由如下： 因为七、八年级抽取的学生成绩的平均数均是， 而八年级抽取的学生成绩的方差为，小于七年级抽取的学生成绩的方差， 所以八年级学生的成绩比七年级学生的成绩更稳定， 所以学校会从八年级中选择． 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校参加此次测试成绩为优秀的学生总人数为520人． 20. 如图，的对角线，相交于点，，．请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使是矩形：①；②；③． （1）你添加的条件是_____；（填序号） （2）在（1）的条件下，求证：是矩形． 【答案】（1）①或②或③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）选一个条件即可； （2）利用平行四边形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可． 【小问1详解】 解：①或②或③； 【小问2详解】 证明：选①， ，， ， 在和中，， ， ． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形； 选②， 证明：，， ， 在和中，， ， ∴ ∴． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形． 选③， 证明：四边形为平行四边形， ，，，． ，， 在和中，， ， ， ， ， ， ． ，， ，即， 四边形是矩形． 21. 如图，是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．已知该圆柱体的重力为，高度为．小马将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下表： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 15 13.5 12 10.5 9 （1）观察表中数据，推测弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中深度之间满足的函数关系是______函数关系；（填“正比例”或“一次”） （2）根据上述推测，求出弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式； （3）请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，弹簧测力计的示数． 【答案】（1）一次 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据表格数据推测即可； （2）设解析式为，将相关数据代入计算即可； （3）求出时，值即可； 【小问1详解】 解：由表格可知，每增加1，减少1.5， ∴推测弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足的函数关系是一次函数关系， 故答案为：一次； 【小问2详解】 由（1）知，弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足一次函数关系， 设解析式为，把，与，代入解析式， 得，解得， 弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式为； 【小问3详解】 由题意，当时，． 当圆柱体完全浸入水中时，弹簧测力计的示数为． 22. 如图，直线与轴交于点，直线（）与轴交于点，与直线交于点． （1）求的值及直线的解析式； （2）求的面积； （3）若点在线段上，点在直线上，则的最大值为______． 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）将代入，求出m的值，利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）将转化为t的一次函数，利用一次函数的增减性进行求解即可． 解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 【小问1详解】 解：把代入得到， ∴点C的坐标为， 把，代入得： ，解得， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由题可得，， ∴， ∵， ∴y随t的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大为． 23. 【问题情境】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图2，过点，分别作，的平行线，并交于点，作射线．在【问题情境】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）求度数和线段长度的最小值． 【方法应用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，是等腰三角形，四边形是矩形，，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请直接写出钢丝绳长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． （1）先证四边形是平行四边形得到； （2）利用等腰三角形可得，再将转化成，时有最小值，即可求解； （3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴； （2）∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当最小时，线段也有最小值， 此时， ∴线段的最小值是； （3）解：如图，连接，过M、D作、的平行线，则四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 即长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$