精品解析：河南省郑州市金水区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期中学学业评价资料 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分． 2．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 太阳东升西落 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 手可摘星辰 D. 在装有3个红球的不透明盒子中摸出一球是白色 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了随机事件的定义， 根据随机事件的定义，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．分析各选项，判断其属于必然事件、不可能事件还是随机事件． 【详解】A．太阳东升西落是必然现象，属于必然事件； B．抛硬币的结果可能正面朝上或反面朝上，结果不确定，属于随机事件； C．手摘星辰在现实中不可能实现，属于不可能事件； D．盒中无白球，摸出白球不可能发生，属于不可能事件． 故选：B． 2. 2025年5月22日，我国在太阳能电池材料钙钛矿革新技术方面的研究成果发表在《科学》杂志上，该项技术实现了对钙钛矿薄膜厚度的精准控制，使0.79平方米面积上的钙钛矿薄膜厚度波动小于（）数据0.000003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于幂的运算法则，解决本题的关键是根据关于幂的运算法则计算出正确结果，再判断正误即可． 【详解】解：A选项：和不是同类项，不能合并，故A选项错误； B选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可得：，故B选项错误； C选项：根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，可得：，故C选项错误； D选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故D选项正确． 故选：D． 4. 某公司推出了如图1所示的护眼台灯，其侧面示意图如图2所示，其中灯柱与底座垂直，，，可以分别绕点C，D调节一定的角度．经使用发现：当且时，台灯光线最佳，则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，垂线的定义，过作，得到，由垂直的定义推出，由，推出，由平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：过作，     ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ， ∵， ， 故选：B． 5. 如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 6. 小华在离家不远的图书馆看书．下面哪一幅图能较好地刻画看书这段时间内她离家的距离与时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象的实际应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解答本题的关键．小华在离家不远的图书馆看书，离家的距离随时间的变化不变，据此解答即可． 【详解】解：小华在离家不远的图书馆看书，离家的距离随时间的变化不变，即C选项符合题意． 故选C． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式以及代数求值，由得到，然后将代数式化简代入求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 下列选项中能解释的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查基本尺规作图的应用、构成三角形的条件，熟练掌握尺规作线段是解答的关键．先在线段上截取长，再在上截取，从而逐项比较即可作出判断． 【详解】解：在线段上截取，再在上截取， ∵， ∴，故选项B符合题意； 选项A可以解释，不符合题意； 选项C可以解释，不符合题意； 选项D不能解释，不符合题意， 故选：B． 9. 在中，，，分别为的角平分线和高线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是三角形的高，角平分线的含义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质，先证明，求解，再进一步利用三角形的角平分线与外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，，为的高线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 10. 在河南方言中，“中”字无疑是最有丰富文化内涵的．小明在布置河南本土文化的黑板报时，设计了如图所示的一个“中”字，他以长方形的四条边为边分别向外作正方形，若“中”字外圈的周长为24，四个正方形的面积之和为18，则长方形的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 63 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，根据题意得到，，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】设长方形的边，， 根据题意可知，， 即，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴长方形的面积为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答． 【详解】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 12. 通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重，根据以上信息判断婴儿在1~6个月内，月份每增加一个月，体重增加______g． 【答案】700 【解析】 【分析】本题考查一次函数的函数值的求法，掌握知识点是解题的关键． 根据函数值的求法，先求出婴儿出生时的体重和1月的体重，再用1月的体重减去婴儿出生时的体重，即可解答． 【详解】解：当时，； 当时,． ∴． 故答案为：700． 13. 如图，，，请添加一个条件______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据全等三角形的判定定理添加合适的条件． 【详解】在和中， ∴添加一个条件（答案不唯一），使得． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 爱好数学的小明在“设计自己的运算程序”这一综合与实践课题的研究中，设计了这样一个运算程序，，，即从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数字之和，于是得到了这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…．则在这一列数的前2025个数中，能被3整除的数共有______个． 【答案】506 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，从第1个数开始，这列数中每4个数有1个数能被3整除，且这个数在最后一位，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得这一列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…， ∴从第1个数开始，每4个数字为一组，每个组中有1个数字能被3整除，且被3整除的数为每一组的最后一位 ∵， ∴在这一列数的前2025个数中，能被3整除的数共有506个， 故答案为：506． 15. 如图，中，，，点D是射线上一动点，将沿折叠，得到，当与的边平行时，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和，邻补角，平行线的性质，正确作出图形是解题的关键． 分类讨论：①当时，②当时，逐一分析，即可解答． 【详解】解：由沿折叠，得到，有 ，， ∴，， ∴， ①当时，如图， 有， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图， 有， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数幂及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数幂，再计算减法即可； （2）先计算括号内多项式乘多项式，单项式乘多项式，并合并，再计算多项式除以单项式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示是一个可以自由转动的转盘． （1）自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率． （2）小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用蓝色区域的扇形圆心角度数除以360度即可得到答案； （2）分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，指针落在蓝色区域的概率为， 【小问2详解】 解：不公平，理由如下： P（小颖获胜）=， P（小亮获胜）=， ∵， ∴游戏对双方不公平． 18. 某商场叠放的购物车如图所示，小航尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系． 下表是小航测得的一些数据． 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 6 车身总长/ 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量的增加，车身总长是怎样变化的？ （2）10辆购物车的总长大约是多少？50辆购物车的总长大约是多少？你是如何估计的？请写出你估计购物车总长的方法． 【答案】（1）购物车每增加一辆，车身总长增加 （2）10辆购物车的车身总长大约是米，50辆购物车的总长大约是是米．见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，求函数值，列出函数关系式是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论，可得车身总长与购物车辆数之间是一次函数的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：购物车每增加一辆，车身总长增加． 【小问2详解】 解：10辆购物车的车身总长大约是2．8米，50辆购物车的总长大约是是10．8米 我方法是：设购物车的数量是x辆，车身总长是y米． 由表格可知：． 当时， 当时， 所以10辆购物车的车身总长大约是米，50辆购物车的总长大约是是米． 19. 如图，是等腰三角形，，点D在的延长线上． （1）尺规作图：求作一点P，使得点P到的两边的距离相等，且（不写作法，只保留作图痕迹） （2）连接，请你判断．与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，只需作出的角平分线，的垂直平分线，它们的交点即为所求点P； （2）先根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，结合三角形的外角性质得到，再根据线段垂直平分线的性质，则，进而等量代换可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，点P即为所求作； 【小问2详解】 解：，理由如下： 因为 所以 由作图可知平分 所以 因为 所以 由作图可知为线段的垂直平分线，Q为垂足， 所以 所以 所以． 【点睛】本题考查尺规作基本图形、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，正确判断出作出的角平分线，的垂直平分线是解答的关键． 20. 三角形具有神奇的魅力，古今中外无数学者从未停止过对它的探索．我国最近发射的神舟二十号载人飞船的飞行任务标识就是以三角形为基，进行的大胆创新．善于学习的小明用等边三角形纸片对该标识进行了探究． （1）如图1，小明在等边三角形三条边上分别截取，连接，然后剪去，和，得到该标识对应的六边形，连接． ①小明发现该六边形______（填“是”或“不是”）轴对称图形，每个内角度数都相等为______； ②请判断与的位置关系，并说明理由． （2）小明继续探究，如图2，分别以点C，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点J和点K，作直线，交于点P，交于点M，连接．量得，，请直接写出的面积． 【答案】（1）①是；；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称图形的识别，线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据轴对称图形的定义可得第一空的答案；由等边三角形的性质可得，再证明是等边三角形，得到，则，同理可得，据此可得第二空答案； ②由等边三角形的性质得到，再证明是等边三角形，得到，则； （2）过点P作交延长线于H，证明 得到，则． 【小问1详解】 解：①由题意得，六边形是轴对称图形， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴六边形得到每个内角度数都相等为； ②，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作交延长线于H， 由（1）可得， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 21. 阅读材料：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16……这样的数称为“正方形数”，查阅资料可知第n个三角形数可以用表示． 发现：①，②，③，…… 结论：一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和． （1）请你写出第④个等式：______； （2）请你结合材料，用含的等式表示出上述结论，并加以证明； （3）我们知道，因此2025是正方形数．请直接写出2025可以看作哪两个相邻“三角形数”之和． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）2025可以看作990和1035这两个相邻“三角数”之和 【解析】 【分析】本题考查规律题的探究，找到规律是解题的关键． （1）根据等式规律，即可解答； （2）根据题意，分别进行化简，最后判定是否相等，即可解答． （3）根据题意列出方程，求出n的值，再代入三角形数公式，即可解答． 【小问1详解】 解：根据规律，可得 第④个等式为： 【小问2详解】 ，证明如下： ∵左边 右边； ∴． 【小问3详解】 由（2）得 解得（不合题意，舍去） ∴． ∴2025可以看作990和1035这两个相邻“三角数”之和． 22. 综合与实践 在学习全等三角形的过程中，我们探究了一些常见的全等模型，积累了一定的研究经验．下面是数学活动课上李老师给出的问题，请你解答： 已知在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，则，且．连接并延长交的延长线于点F，求的度数． 特殊情形】 （1）如图1，当点D与点B重合时，则的度数为______°． 【一般情形】 （2）如图2，当点D不与点C，点B重合时，求出的度数． ①小金同学想先求出，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②小水同学想先求出，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，．请以为直角边在右侧构造等腰直角三角形，连接，则的面积为______． 【答案】（1）45（2）见解析（3）8或4 【解析】 【分析】（1）利用已知条件得到为等腰直角三角形，即可求出的度数； （2）①选择小金的解题思路，过点E作交的延长线于点M，可得，证得为等腰直角三角形，即可求得的度数； ②选择小水的解题思路，在上截取，连接，可得，证得为等腰直角三角形，即可求得的度数； （3）以为直角边在右侧构造等腰直角三角形，可以分为直角顶点为B点和直角顶点为A点两种情况进行讨论，通过做辅助线分别构造出和，利用全等三角形的性质即可求得的面积． 【详解】解：（1）由题意得：，， ，， 为等腰直角三角形， ， ； 故答案为：． （2）①选择小金的解题思路， 证明：如图，过点E作交的延长线于点M， ， ， ， ， 交延长线于M， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②选择小水解题思路， 证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， ，， ，即， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ； （3）①当直角顶点为B点时， 此时，， 如图，过点D作， ， 又， ， ， 在和中 ， ， ， ； ②当直角顶点为A点时， 此时， 如图，过点D作的垂线，垂足为E，延长，过点A作的垂线，垂足为H， 则，， ∴， ∴， ， 又，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的面积为8或4． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期中学学业评价资料 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分． 2．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 太阳东升西落 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 手可摘星辰 D. 在装有3个红球的不透明盒子中摸出一球是白色 2. 2025年5月22日，我国在太阳能电池材料钙钛矿革新技术方面的研究成果发表在《科学》杂志上，该项技术实现了对钙钛矿薄膜厚度的精准控制，使0.79平方米面积上的钙钛矿薄膜厚度波动小于（）数据0.000003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司推出了如图1所示的护眼台灯，其侧面示意图如图2所示，其中灯柱与底座垂直，，，可以分别绕点C，D调节一定的角度．经使用发现：当且时，台灯光线最佳，则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小华在离家不远的图书馆看书．下面哪一幅图能较好地刻画看书这段时间内她离家的距离与时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 8. 下列选项中能解释的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，分别为角平分线和高线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在河南方言中，“中”字无疑是最有丰富文化内涵的．小明在布置河南本土文化的黑板报时，设计了如图所示的一个“中”字，他以长方形的四条边为边分别向外作正方形，若“中”字外圈的周长为24，四个正方形的面积之和为18，则长方形的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 63 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是______． 12. 通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重，根据以上信息判断婴儿在1~6个月内，月份每增加一个月，体重增加______g． 13. 如图，，，请添加一个条件______，使得． 14. 爱好数学的小明在“设计自己的运算程序”这一综合与实践课题的研究中，设计了这样一个运算程序，，，即从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数字之和，于是得到了这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…．则在这一列数的前2025个数中，能被3整除的数共有______个． 15. 如图，中，，，点D是射线上一动点，将沿折叠，得到，当与的边平行时，则的度数为______． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图所示是一个可以自由转动的转盘． （1）自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率． （2）小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 18. 某商场叠放的购物车如图所示，小航尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系． 下表是小航测得的一些数据． 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 6 车身总长/ 1.0 1.2 1.4 1.6 18 2.0 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量的增加，车身总长是怎样变化的？ （2）10辆购物车的总长大约是多少？50辆购物车的总长大约是多少？你是如何估计的？请写出你估计购物车总长的方法． 19. 如图，是等腰三角形，，点D在的延长线上． （1）尺规作图：求作一点P，使得点P到的两边的距离相等，且（不写作法，只保留作图痕迹） （2）连接，请你判断．与的大小关系，并说明理由． 20. 三角形具有神奇的魅力，古今中外无数学者从未停止过对它的探索．我国最近发射的神舟二十号载人飞船的飞行任务标识就是以三角形为基，进行的大胆创新．善于学习的小明用等边三角形纸片对该标识进行了探究． （1）如图1，小明在等边三角形三条边上分别截取，连接，然后剪去，和，得到该标识对应的六边形，连接． ①小明发现该六边形______（填“是”或“不是”）轴对称图形，每个内角度数都相等为______； ②请判断与的位置关系，并说明理由． （2）小明继续探究，如图2，分别以点C，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点J和点K，作直线，交于点P，交于点M，连接．量得，，请直接写出的面积． 21. 阅读材料：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16……这样的数称为“正方形数”，查阅资料可知第n个三角形数可以用表示． 发现：①，②，③，…… 结论：一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和． （1）请你写出第④个等式：______； （2）请你结合材料，用含的等式表示出上述结论，并加以证明； （3）我们知道，因此2025是正方形数．请直接写出2025可以看作哪两个相邻“三角形数”之和． 22. 综合与实践 在学习全等三角形的过程中，我们探究了一些常见的全等模型，积累了一定的研究经验．下面是数学活动课上李老师给出的问题，请你解答： 已知在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，则，且．连接并延长交的延长线于点F，求的度数． 特殊情形】 （1）如图1，当点D与点B重合时，则的度数为______°． 【一般情形】 （2）如图2，当点D不与点C，点B重合时，求出的度数． ①小金同学想先求出，从而给出如下解题思路：过点E作交延长线于点M． ②小水同学想先求出，从而给出如下解题思路：上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，．请以为直角边在右侧构造等腰直角三角形，连接，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$