专题6.1 数列的概念与简单表示法（三类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题6.1 数列的概念与简单表示法 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 2 【课程标准】 2 【考情分析】 2 【2026考向预测】 3 三、知识点•逐点夯实 3 知识点1、数列的概念 3 知识点2、数列的分类 3 知识点3、数列的表示方法 3 四、重点难点•分类突破 4 考点1 由数列的前几项归纳出通项公式 4 考点2 由与的关系求 5 考点3 数列的性质 7 命题点1数列的周期性 7 命题点2 数列的单调性 7 命题点3数列的最大（小）项 8 五、必考题型•分层训练 9 A、基础保分 9 B、综合提升 10 一、5年高考•真题感悟 1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 3．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.掌握数列的有关概念和表示方法 2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式 3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 由递推关系证明等比数列 一般 2024年全国甲卷，第18题,12分 利用an与sn关系求通项 一般 2023年全国甲卷（理科）， 第17题,10分 利用与关系求通项或项 一般 【2026考向预测】 高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性. 三、知识点•逐点夯实 知识点1、数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点2、数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 知识点3、数列的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （3）若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． （4）在数列中，若最大，则若最小，则 四、重点难点•分类突破 考点1 由数列的前几项归纳通项公式 例1、（2023·贵州毕节·模拟预测）将正整数排成如图所示的数阵，其中第行有个数，如果2023是表中第行的第个数，则 . 例2、（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【变式训练1】、（2023·江西·模拟预测）如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）。记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式 【变式训练2】、古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是 ． 考点2 由与的关系求 例3、（2024·河北·模拟预测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 例4、（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 【变式训练3】、（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 【变式训练4】、（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 考点3 数列的性质 命题点1 数列的周期性 例5、（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，，则（   ） A． B． C． D． 例6、（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【变式训练5】、（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 【变式训练6】、（2025·全国·模拟预测）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 命题点2 数列的单调性 例7、（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例8、（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 . 【变式训练7】、（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8】、能说明命题“若无穷数列满足，则为递增数列”为假命题的数列的通项公式可以为 ． 命题点3 数列的最大（小）项 例9、（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 例10、在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【变式训练9】、（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 【变式训练10】、已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（   ） A．23 B．12 C．20 D． 五、分层训练 一、单选题 1．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 2．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知数列中，，，则数列前2024项的和为 . 5．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 6．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是 . 7．（2024·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为 . 8．（2024·重庆·二模）记正项数列的前项和为，若，则的最小值为 . 三、解答题 9．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 10．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和.. 11．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国·模拟预测）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（    ） A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 数列的概念与简单表示法 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 6 【课程标准】 6 【考情分析】 6 【2026考向预测】 7 三、知识点•逐点夯实 7 知识点1、数列的概念 7 知识点2、数列的分类 7 知识点3、数列的表示方法 7 四、重点难点•分类突破 8 考点1 由数列的前几项归纳出通项公式 8 考点2 由与的关系求 11 考点3 数列的性质 16 命题点1数列的周期性 16 命题点2 数列的单调性 18 命题点3数列的最大（小）项 20 五、必考题型•分层训练 22 A、基础保分 22 B、综合提升 31 一、5年高考•真题感悟 1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列不等式恒成立问题、累加法求数列通项 【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出． 【详解】∵，易得，依次类推可得 由题意，，即， ∴， 即，，，…，， 累加可得，即， ∴，即，, 又， ∴，，，…，， 累加可得， ∴， 即，∴，即； 综上：． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.  2．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 3．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、等比数列的定义、利用an与sn关系求通项或项 【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.掌握数列的有关概念和表示方法 2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式 3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 由递推关系证明等比数列 一般 2024年全国甲卷，第18题,12分 利用an与sn关系求通项 一般 2023年全国甲卷（理科）， 第17题,10分 利用与关系求通项或项 一般 【2026考向预测】 高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性. 三、知识点•逐点夯实 知识点1、数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点2、数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 知识点3、数列的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （3）若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． （4）在数列中，若最大，则若最小，则 四、重点难点•分类突破 考点1 由数列的前几项归纳通项公式 例1、（2023·贵州毕节·模拟预测）将正整数排成如图所示的数阵，其中第行有个数，如果2023是表中第行的第个数，则 . 【答案】1001 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、求等比数列前n项和 【分析】根据题中的条件，及等比数列前项和的公式可求得2023所在行数，再根据第行有个数即可算出. 【详解】有题可知，第行有个数，由等比数列的求和公式，前行总个数为， 令，则， ，且第10行有个数，根据数的排列规律可得，2023是表中第10行，第个数，即. 故答案为：1001. 例2、（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【分析】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项. 【详解】六边形数从小到大排成一列，形成数列， 依题意，，归纳得， 所以. 故选：C 【变式训练1】、（2023·江西·模拟预测）如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）。记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据规律填写数列中的某项、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】可设图形的边长为，边数为3，的边长为边长的，边数是每一条边都扩大4倍，并且每一条都增加了一个小的等边三角形，由此规律可知的边长为，边数为，而曲线所围成图形的面积等于曲线所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，再利用累加法即可求出的通项公式. 【详解】设图形的边长为，由题意可知，，边数是3； 根据图形规律，图形边长为，边数为每一条边都扩大4倍，即； 图形边长为，边数为； 以此类推，图形边长为，边数为； 图形边长为，边数为； 而根据图形规律可知曲线所围成图形的面积等于曲线所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积， 每一个边增加的小等边三角形面积为， 则，整理后得， 又图形的面积， 由累加法可知，，，……，， 得， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到数列的递推公式，进而求出数列通项，常见的方法有：（1）由和的关系求通项公式；（2）累乘法，累加法，构造等差数列和等比数列法. 【变式训练2】、古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是 ． 【答案】55 【难度】0.94 【知识点】根据规律填写数列中的某项、求等差数列前n项和 【分析】根据图形特征找规律即可得解. 【详解】解析：根据题意，三角形数的每一项都是数列的前n项的和，即 故答案为:55 考点2 由与的关系求 例3、（2024·河北·模拟预测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据之间的关系计算； （2）由（1）可知，然后使用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由题可知：，当时，， 由①，当时，②； ①-②得：， 所以，即， 所以数列是以2为首项，2为公差得等差数列. 所以，即； （2）由（1）可知：， 所以， 所以， 则. 例4、（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）分别令，可计算出结果； （2）选①依题意得到，然后变形可得；选②依题意（3）得到当时，，然后得到，变形即可； 选择①、②由（2）可知，然后使用错位相减法求和. 【详解】（1）（1）令，得.又，所以. . 令，得.又，所以. 故. （2）若选择①：由已知，得. 故，所以，. 故是首项和公比均为2的等比数列. 若选择②：由已知，.故当时，. 两式相减，得. 化简并整理，得（，且）. 又，，所以. 故是以1为首项，2为公比等比数列. （3）若选择①：由（2）知，，故. 若选择②：由（2）知，，故. 所以. 所以. 则. 两式错位相减，得. 所以， 【变式训练3】、（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不能构成等比数列，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】等比中项的应用、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，求得；当时，利用，得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，结合等差数列的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可得到答案. （3）假设成等差数列，则，由构成等比数列，得到，化简得到，再由，得到，两边同除，求得，结合为奇数，为偶数，得出等式不成立，即可得到结论. 【详解】（1）由数列的前项和为，且， 当时，可得，解得； 当时，可得， 整理得，即，所以， 所以数列是首项，公比为的等比数列，则， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 设， 则 两式相减，可得 ， 所以， 又由，所以. （3）由题意，正整数成等差数列，则， 若构成等比数列，则满足， 因为，可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以，即 两边同除，可得， 因为，且，所以， 所以与均为偶数，则为奇数，为偶数， 所以等式不成立，所以不能构成等比数列. 【变式训练4】、（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)． (2)． 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）由条件，结合关系，求数列的通项， （2）由（1）可得，利用错位相减法求结论. 【详解】（1）因为， 取可得，又， 所以，解得， 当时，用替换可得， 所以， 即， 所以，又， 即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即． （2）因为， 所以，① ，② ①－②得 所以， 所以． 考点3 数列的性质 命题点1 数列的周期性 例5、（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列周期性的应用 【分析】首先令求出m的值，再求出数列的周期，结合周期即可求得，则答案可求. 【详解】令可得， 代入数据得：，解得， 所以， 令，解得，令，解得，令，解得，， 可得数列的周期为3，则， 故选：D. 例6、（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数列周期性的应用 【分析】求出该数列的周期和一周期内的乘积即可得到答案. 【详解】因为数列满足，，所以， 同理可得，所以数列{an}的周期为4，即， 且，而， 所以该数列的前2 025项的乘积是. 故选：C. 【变式训练5】、（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据已知有，由，则，，，依次类推有，再应用分组求和即可得. 【详解】当且为奇数，， 当且为偶数，，则， 而，则，，，依次类推有， 所以. 故选：B 【变式训练6】、（2025·全国·模拟预测）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】解法一：求出数列前四项的值，分析可知，数列是以为周期的周期数列，结合数列的周期性可求得的值； 解法二：利用迭代法推导出数列是以为周期的周期数列，结合数列的周期性可求得的值. 【详解】解法一：因为，，所以，即，同理可得，， 故数列是以为周期的周期数列，又，所以. 解法二：由，得，， 故数列是以为周期的周期数列，又，所以. 故选：C. 命题点2 数列的单调性 例7、（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断数列的增减性 【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 例8、（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据可得，再结合单调递增以及等比数列定义可求出，则由即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为单调递增，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以即， 则的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练7】、（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得. 【详解】由等差数列的公差为，得，则， 当时，，而，则，因此，为递增数列； 当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练8】、能说明命题“若无穷数列满足，则为递增数列”为假命题的数列的通项公式可以为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断数列的增减性 【分析】根据给定条件，数列首项为负并且是递减数列，写出符合该条件的一个通项作答. 【详解】因无穷数列满足，当时，，数列为递增数列，给定命题是真命题， 当时，，数列为递减数列，给定命题是假命题， 因此，取，显然有，， 所以. 故答案为： 命题点3 数列的最大（小）项 例9、（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项. 【详解】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得：. 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B 例10、在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 【变式训练9】、（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解. 【详解】令，得， 令，得， 所以当时，，当时，， 而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即数列的最小项的值为. 故答案为：. 【变式训练10】、已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（   ） A．23 B．12 C．20 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值. 【详解】由题意可知：， 当时，； 当时，， 两式相减可得：，整理得：， 所以，或， 当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大， 此时，解得，此时； 当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大， 此时，解得，此时； 综上所述：的最大值为. 故选：D. 五、分层训练 一、单选题 1．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据题意，得到数列的偶数项的通项公式为，即可求解. 【详解】由题意，大衍数列的偶数项为， 可得该数列的偶数项的通项公式为， 所以此数列的第30项为. 故选：C. 2．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】由递推关系求前几项的值，判断出数列是以4为周期的数列，利用周期性求出. 【详解】数列中，，且， 则，，，，，， 所以，即数列是以4为周期的数列， 所以， 故选：A． 3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 二、填空题 4．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知数列中，，，则数列前2024项的和为 . 【答案】2024 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】利用数列的周期性可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， ，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 且， 所以. 故答案为：2024. 5．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 【答案】6 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 6．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是 . 【答案】，答案不唯一. 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、有穷数列和无穷数列、判断数列的增减性 【分析】数列时特殊函数，利用函数的性质即可得出答案，答案不唯一. 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是：. 故答案为：，答案不唯一. 7．（2024·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】先由题可得当时的最大项，再由二次函数对称性可得，最后由是中唯一的最大项可得答案. 【详解】当时，由， 因此当或3时，取得最大值； 当时，， 时，， 则该代数式对应函数对称轴为直线，因为是中唯一的最大项， 所以，且，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛：对于数列最大项问题，常见思路为利用确定范围，再由确定最大项项数. 8．（2024·重庆·二模）记正项数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由，利用数列通项和前n项和的关系求得，再令，利用导数法求解. 【详解】当时，，则或（舍去）， 当时，由，得， 两式相减得，得， 因为，所以， 所以数列是等差数列，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由随的增大而增大，，， 则， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造函数判断得其单调性，从而考虑，的情况，从而得解. 三、解答题 9．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)8，15，24 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由已知可得，利用递推关系可求得； （2）利用累加法可求得通项公式； （3）利用裂项相消法可求. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以. （2）由（1）可知， 则时，， 则. 当时，，适合上式，所以数殉的通项公式为； （3）由（2）可得 则 . 10．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，即，① 则，② 由①②整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则， 所以. 11．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、根据数列的单调性求参数 【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 12．（2023·全国·模拟预测）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（    ） A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数列的概念及辨析、根据规律填写数列中的某项、递推数列的实际应用 【分析】根据题意依次求出，再判断哪一个等于即可. 【详解】因为数列满足，，，…，其中均为正整数： ，，，，，，…， 所以，，， ， ， 所以“年共闰个月”为第5级修正， 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$