精品解析：湖北省咸宁市通城县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2025年春季期末教学质量监测 七年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷分试题卷（共6页）和答题卷；全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟． 2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置，同时认真阅读答题卷上的注意事项．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效． 试题卷 一、精心选—选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于，的二元一次方程的解．则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 为提高学生的消防安全意识，学校进行消防安全知识测试，为了解某学校七年级1000名学生消防安全知识的测试情况，从中随机抽取了100名学生的测试成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 样本是被抽取的100名学生 B. 样本容量是100名学生 C. 1000名学生是总体 D. 该学校七年级每名学生的消防安全知识测试成绩是个体 6. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题是真命题的有（ ）个 ①如果两直线被第三条直线所截，那么同位角相等； ②如果，那么； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； ④的算术平方根是； ⑤经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． A B. C. D. 9. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行． A. 65 B. 50 C. 60 D. 70 10. 关于的不等式组的解集为，则，的值是（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 11. 写出一个小于2的无理数：____． 12. 若且则的取值范围为________． 13. 在平面直角坐标系中，点坐标，点为轴上一动点，当的长度最短时，其长度为________． 14. 2023年4月22日是第54个世界地球日，为提倡节能减排、保护环境，光明中学举办了环保知识竞赛．竞赛中共有道试题，答对题得分，不答或答错题扣分．若皓皓本次竞赛的得分不低于分，则他至少答对_______道题． 15. 如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为________． 三、专心解—解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如图，，，，将证明的过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（ ） ∴（ ）． ∵（已知）， ∴________________（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（ ）． ∵（已知） ∴（ ）． 18. 如图，，，，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）在（1）的条件下，点在线段上，若，直接写出点的坐标________； （3）在轴上找一点，使三角形与三角形的面积相等，直接写出点的坐标________． 19. 解不等式组：．请结合题空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 21. 根据下表素材，完成表中的两个任务 背景 在中国传统节日“端午节”期间，某爱心企业准备购买粽子慰问敬老院老人． 素材1 某商场开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打六折，乙品牌粽子打八折． 素材2 已知打折前，买2盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子共需300元； 打折后，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需520元． 问题解决 任务1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ 任务2 拟定方案 在商场促销期间，某爱心企业准备为敬老院购买甲、乙两种品牌粽子共80盒，总费用不超过4000元，问最少要购买多少盒甲品牌粽子？ 22. 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，且和，，，． （1）在图1中，求的度数； （2）如图2，创新小组同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现与存在怎样的数量关系，请说明理由； （3）创意小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 23. 规定：形如关于、方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共二元一次方程组，则________，________； 【深入探究】 （2）若方程中，的值满足下表 1 2 1 则这个方程的共轭二元一次方程是________； （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为________；的解为________； 【延伸发现】 （4）若共轭二元方程组解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 24. 已知点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足． （1）直接写出、、三点的坐标________，________，________； （2）如图1，若点在线段上，证明：； （3）如图2，连接，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动，若经过秒，三角形的面积是三角形的面积的2倍，试求的值及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期末教学质量监测 七年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷分试题卷（共6页）和答题卷；全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟． 2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置，同时认真阅读答题卷上的注意事项．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效． 试题卷 一、精心选—选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：因为点P（-1，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数， 所以点P在平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标的符号特征，解题的关键是掌握第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个判断即可． 【详解】A．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； C．，此选项计算正确，故此选项符合题意； D．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 若是关于，的二元一次方程的解．则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，将给定的解代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程中，得： 化简得： 解得： 故选：C． 4. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 5. 为提高学生的消防安全意识，学校进行消防安全知识测试，为了解某学校七年级1000名学生消防安全知识的测试情况，从中随机抽取了100名学生的测试成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 样本是被抽取的100名学生 B. 样本容量是100名学生 C. 1000名学生是总体 D. 该学校七年级每名学生的消防安全知识测试成绩是个体 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本和样本容量的定义，总体是研究对象的全体，个体是总体中的每个对象，样本是总体中被抽取的部分，样本容量是样本中个体的数量． 【详解】A、样本是被抽取的100名学生的测试成绩，而非学生本身，则选项A错误； B、样本容量是数量，不带单位，应为100而非“100名学生”，则选项B错误； C、总体是1000名学生的测试成绩，而非学生，则选项C错误； D、个体指总体中的每个对象，即每名学生的测试成绩，则选项D正确； 故选：D． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，从而可求得不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：解第一个不等式得：；解第二个不等式得：， 则不等式组的解集为：； 在数轴上表示如下： 故选：B． 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数，并建立方程，即可得出答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀和六只燕共重两， 故； ∵交换一只雀和一只燕后，剩余只雀加只燕的重量等于只燕加只雀的重量， ∴； 故． 故选：B． 8. 下列命题是真命题的有（ ）个 ①如果两直线被第三条直线所截，那么同位角相等； ②如果，那么； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； ④的算术平方根是； ⑤经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，不等式的性质，点到直线的距离的定义，算术平方根的定义逐一判断各命题的真假，即可得出答案． 【详解】解：①如果两平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，，那么，故原命题是假命题； ③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故原命题是假命题； ④，的算术平方根是，即的算术平方根是，故原命题是假命题； ⑤经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，该命题真命题； 综上，真命题只有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，平行线的性质，不等式的性质，点到直线的距离的定义，算术平方根的定义等． 9. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行． A. 65 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，结合角平分线，易得，结合已知条件，得到，根据内错角相等，两直线平行的判定方法，可得到结果． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 当时，， 即时，． 故选：A． 10. 关于的不等式组的解集为，则，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查不等式组和二元一次方程组的解法，解题关键在于要灵活运用运算法则． 首先分别解两个不等式，得到关于a和b的方程，再联立求解方程组，最后验证解是否符合条件． 【详解】解：解不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 由题意，解集为， 因此：， 第一个方程整理得：（方程1） 第二个方程整理得：（方程2） 联立方程1和方程2： 解得：，， 故选：C． 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 11. 写出一个小于2的无理数：____． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数的大小判断即可； 【详解】∵＜2； 故答案为（不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 12. 若且则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据题意得到，结合不等式的性质计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点坐标，点为轴上一动点，当的长度最短时，其长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，点到坐标轴的距离，根据垂线段最短，得到当轴时，的长度最短，即为点纵坐标的绝对值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：当轴时，的长度最短， ∵点A坐标为， ∴轴时，的长度最短，为4； 故答案为：4． 14. 2023年4月22日是第54个世界地球日，为提倡节能减排、保护环境，光明中学举办了环保知识竞赛．竞赛中共有道试题，答对题得分，不答或答错题扣分．若皓皓本次竞赛的得分不低于分，则他至少答对_______道题． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式关系．设皓皓至少答对了答题，根据“皓皓本次竞赛的得分不低于分”列出不等式，即可求解． 【详解】解：设皓皓至少答对了答题， 根据题意得：， 解得：， 皓皓至少答对答题， 故答案为：． 15. 如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为________． 【答案】或140度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 先延长，交于点F，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可． 【详解】解：如图，延长，交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、专心解—解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查立方根，平方根，绝对值 ，幂的乘方，实数的混合运算；根据立方根，平方根，绝对值 ，幂的乘方的定义再结合实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 17. 如图，，，，将证明的过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（ ） ∴（ ）． ∵（已知）， ∴________________（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（ ）． ∵（已知） ∴（ ）． 【答案】；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；等式的基本事实或等量代换 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质；根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行） ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（同角的补角相等）， ∵（已知）， ∴．（等式的基本事实或等量代换） 18. 如图，，，，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）在（1）的条件下，点在线段上，若，直接写出点的坐标________； （3）在轴上找一点，使三角形与三角形的面积相等，直接写出点的坐标________． 【答案】（1）见解析， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化，平移； （1）根据平移的特点作图即可； （2）根据的关系得出结论即可； （3）求出，得到，解出，再结合坐标与图形变化得出结论即可． 【小问1详解】 解：三角形如图： 【小问2详解】 解：∵点在线段上，且， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：， ∴， 解得：， ∵点在轴上 ∴或， 故答案为：或． 19. 解不等式组：．请结合题空，完成本题解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集； （1）按照步骤解一元一次不等式即可； （2）按照步骤解一元一次不等式即可； （3）把解集在数轴上表示出来即可； （4）根据不等式组解集在数轴上表示得出结论即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴解不等式①得：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ∴解不等式②得：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：把①和②的解集在数轴上表示为： 【小问4详解】 解：由（3）得， 原不等式组的解集为：． 故答案为：． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 【答案】（1）200， （2）见解析 （3）336人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体， （1）根据喜爱哪吒的有72人，占36%，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有30人除以此次调查的学生数乘以360度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数； （2）用此次调查的学生总人数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数； （3）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有56人除以此次调查的学生人数乘以1200即可． 【小问1详解】 解：此次调查的学生人数为：（人）， 扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为：， 故答案为：200，． 【小问2详解】 解：喜欢殷夫人的人数为：， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为336人． 21. 根据下表素材，完成表中的两个任务 背景 在中国传统节日“端午节”期间，某爱心企业准备购买粽子慰问敬老院老人． 素材1 某商场开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打六折，乙品牌粽子打八折． 素材2 已知打折前，买2盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子共需300元； 打折后，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需520元． 问题解决 任务1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ 任务2 拟定方案 在商场促销期间，某爱心企业准备为敬老院购买甲、乙两种品牌粽子共80盒，总费用不超过4000元，问最少要购买多少盒甲品牌粽子？ 【答案】任务1：甲品牌粽子每盒80元，乙品牌粽子每盒70元 任务2：最少购60盒甲品牌粽子 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，理解题意、找出数量关系、列出方程组或不等式是解题的关键． 任务1：设打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元和y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买盒甲品牌粽子，则需购买盒乙品牌粽子，再根据题意可列出关于a的一元一次不等式，求出a的取值范围，然后再确定a的最小值即可． 【详解】解：任务1：设打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为元和元， 根据题意有：，解得：． 答：甲品牌粽子每盒80元，乙品牌粽子每盒70元． （2）设购买盒甲品牌粽子，则需购买盒乙品牌粽子， 根据题意有： 解得 ∴最少购60盒甲品牌粽子． 22. 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，且和，，，． （1）在图1中，求的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现与存在怎样的数量关系，请说明理由； （3）创意小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质，同位角的定义进行计算即可； （2）过点B作，得到，求出，根据，得到，即可求出结果． （3）根据对顶角相等，三角形内角和定理即可得出结论． 本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，邻补角的定义，三角形内角和定理是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 解：，理由如下， 如图，过点B作， 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【小问3详解】 解：如图3， ∵，而 ∴， ∴． 23. 规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共二元一次方程组，则________，________； 【深入探究】 （2）若方程中，的值满足下表 1 2 1 则这个方程的共轭二元一次方程是________； （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为________；的解为________； 延伸发现】 （4）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）3，1，（2），（3），，（4），理由见解析 【解析】 【分析】本题以新定义共轭二元一次方程为背景，考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组， （1）根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程的常数项相等，且方程组的形式为，通过对比系数和常数项列方程求解即可； （2）代入列出方程组先求和，再结合定义写共轭二元一次方程； （3）消元法求解； （4）利用整体思想求解即可． 【详解】解：（1）由定义可得：，， 解得，， 故答案为：3，1． （2）将，和，分别代入，得： ，解得：， 二元一次方程为：， 共轭二元一次方程为：， 故答案为： ． （3）解方程组，解得， 解方程组，解得； （4）． 理由如下： ∵是共轭方程， ∴， 整理得 ∵ ∴ ∵的解为， ∴． 24. 已知点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足． （1）直接写出、、三点的坐标________，________，________； （2）如图1，若点在线段上，证明：； （3）如图2，连接，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动，若经过秒，三角形的面积是三角形的面积的2倍，试求的值及点的坐标． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用非负数的性质求出，的值，可得结论A，B的坐标，结合平移的性质即可求得点C的坐标； （2）连接，根据的面积的面积的面积，构建关系式，可得结论； （3）分两种情形：①当点在线段上，②当点在的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 小问1详解】 解：①， 又，， ，， ，， ，， 点A与点对应，点与点对应， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：∵动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动． ①当点在线段上时，，， ∵三角形与三角形面积的2倍， ∴ 解得：，此时； ②当点在的延长线上时，，， ∵三角形与三角形面积的2倍， ∴ 解得；此时； 综上所述，当时，； 当时，． 综上，当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$