2.2 圆的对称性（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.2　圆的对称性（2） 第2课时　圆的轴对称性 学习目标 1．进一步探索圆的对称性，理解圆是轴对称图形； 2．掌握垂径定理，并能运用此定理解决相关问题. 2 问题导学 圆是轴对称图形吗？ 1. 在纸上画⊙O，把⊙O剪下. 操作与思考 · O · O 4 (1)在⊙O上画一条直径，沿直径将圆形纸片折叠，你有什么发现？ 操作与思考 O 折痕过圆心O (2)再画一条直径试试看. 5 新知归纳 圆是轴对称图形， 过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. 注意：直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是圆的对称轴．圆有无数条对称轴. 1. 如何确定圆形纸片的圆心？说说你的想法. 将圆形纸片对折，确定圆的一条直径(折痕)；用同样的方法，再确定圆的另一条直径.两条直径的交点就是圆形纸片的圆心. 新知应用 7 新知应用 2. (1)下列图形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是轴对称图形，指出它的对称轴；如果是中心对称图形，指出它的对称中心. ① ② ③ ④ ⑤ 轴对称图形， 对称轴是直径CD所在的直线. 中心对称图形， 对称中心是圆心O. 既是轴对称图形， 又是中心对称图形，过圆心O垂直于弦AB或垂直于弦AD的直线是它的对称轴，圆心O是它的对称中心. 既是轴对称图形， 又是中心对称图形，过圆心O的任意一条直线都是它的对称轴，圆心O是它的对称中心. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形. 新知应用 2. (2)当图①中的弦AB为直径(AB与CD互相垂直的条件不变)时，图形具有怎样的对称性？ 既是轴对称图形， 又是中心对称图形. ① ② ③ ④ ⑤ 新知应用 2. (3)当图②中的点B在⊙O上运动到什么位置时，图形成为轴对称图形？ ① ② ③ ④ ⑤ 当图②中的弦AB弦AC (AB不与AC重合)时，图②成为轴对称图形. 归纳总结 如果某个图形与圆有共同的对称中心或对称轴，那么这个图形与圆组合而成的图形也是中心对称图形或轴对称图形. 操作与思考 2. 在剪下的⊙O上任意画一条弦CD，过O点作AB⊥CD，垂足为P. (1)将圆形纸片沿AB折叠，你有什么发现？结合图形将结论写下来. O C D P A B PCPD 点C与点D重合； PC与PD重合； 与重合； 与重合. 直径AB平分弦CD，且平分， . 叠合法 12 操作与思考 2. 在剪下的⊙O上任意画一条弦CD，过O点作AB⊥CD，垂足为P. (2)你能尝试用不同的方法证明你的猜想吗？ 将图中的沿直径AB翻折，因为圆是轴对称图 形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以将 图中与重合. O C D P A B 又因为∠APD∠APC90°， 所以射线PD与射线PC重合，于是点D与点C重合.所以 PCPD，，. 叠合法 13 操作与思考 2. 在剪下的⊙O上任意画一条弦CD，过O点作AB⊥CD，垂足为P. (2)你能尝试用不同的方法证明你的猜想吗？ O C D P A B 证明：连接OC、OD. 在△OCD中， ∵OC=OD，OP⊥CD， ∴PC=PD， ∠BOC=∠BOD. ∴∠AOC=∠AOD. ∴ (在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等). 14 操作与思考 2. 在剪下的⊙O上任意画一条弦CD，过O点作AB⊥CD，垂足为P. (3)请尝试用文字语言概况你的发现. O C D P A B 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 15 操作与思考 (4)小亮在进行上述操作时，如果所画的CD的垂线AB没有经过圆心O，还能得到上述结论吗？ O C D P A B 2. 在剪下的⊙O上任意画一条弦CD，过O点作AB⊥CD，垂足为P. 小亮无法得到上述的结论. 16 新知归纳 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ① ② 条件 ③ ④ 结论 垂径定理 直径 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的劣弧 平分弦所对的优弧 知二推三 新知归纳 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ① ② 条件 ③ ④ 结论 垂径定理 ①AB是⊙O的直径， ②AB⊥CD于点P 可推得 ③PC＝PD， ④， ⑤. O C D P A B 新知应用 1. 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明理由. 是 不是， 因为没有垂直 是 不是， 因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？ 归纳1 垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. 19 2. 在⊙O中，若CDAB于P，AB为直径，则下列结论不正确的是( ) 新知应用 A. B. C. OP＝PB D. CP＝DP C · O C D A B P ∟ 20 ∟ · 例题讲解 例1 如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE＝3. 求弦CD的长. O A B E 解：连接OC. ∵直径AB＝10， ∴OC＝5. 在Rt△OEA中，由勾股定理，得 CE＝＝＝4. ∵弦CD⊥AB， ∴CD＝2CE＝8. C D 归纳2 解决有关弦的问题时，连半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算. 21 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则OC的长 为点O到AB的距离. 连接OA. ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝AB＝4. 在Rt△AOC中，由勾股定理，得 OC＝＝＝3. ∴OP的取值范围3≤OP≤5. ∟ 例题讲解 例2 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AB上运动.求OP的取值范围. · O A B C P 归纳3 在圆中，解决与弦有关的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形.求弦的长度时，常利用垂径定理和勾股定理来求. 22 归纳总结 O A B . C P D d a r 1.垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. 2.在圆中，解决与弦有关的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形. 求弦的长度时，常利用垂径定理和勾股定理来求. h d+h=r 弦心距 23 例题讲解 A C D B O 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D. AC与BD相等吗？为什么？ 你能想到哪些证明方法？ 说说你的思路. 24 └ P 例题讲解 A C D B O 方法1：连接OA，OB，OC，OD． 证明△OAC≌△OBD(或证明△OAD≌△OBC)． 方法2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OP⊥AB于点P，根据等腰三角形的性质． 方法3：过点O作OP⊥AB于点P，根据垂径定理． 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D. AC与BD相等吗？为什么？ 25 └ 例题讲解 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D. AC与BD相等吗？为什么？ A C D B O P 解：AC与BD相等. 过点O作OP⊥AB，垂足为P. ∵OP⊥AB， ∴AP＝BP，CP＝DP (垂直于弦的直径平分弦). ∴ AP－CP＝BP－DP 即AC＝BD 26 N M 拓展与延伸 如图，AB、CD是⊙O的两条弦， AB∥CD， 有什么关系？ . A C D B O └ 解：作垂直于弦AB的直径MN. ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD. ∵MN⊥AB，MN⊥CD. ∴ ＝， (垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧). ∴ 即. 27 └ 新知巩固 1. 如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点. · O P A B · 解：如图，连接OP，过点P作弦AB⊥OP. 28 新知巩固 2. 如图，AB、AC为是⊙O的两条弦，且AB⊥AC，AB＝8，AC＝6. 求⊙O的半径． · O A B C 解：过圆心O作AB、AC的垂线，垂足 分别为D、E，连接OA. D E └ └ 在矩形ADOE中， 在Rt△OAD中，由勾股定理得， OD＝AE＝AC＝3， AD＝AB＝4. OA＝＝＝5. ∴⊙O的半径为5. 29 新知巩固 · O A B 解：过O点作半径OD⊥AB于点C，连接OA. ∵直径为650mm， ∴OA＝325mm. ∵OD⊥AB， ∴AC＝AB＝300mm， 在Rt△ACO中，由勾股定理得， OC＝＝＝125mm. ∴CD＝OD－OC＝325－125＝200mm. 答：油的最大深度是200mm. 3. 在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图. 若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度. └ C D 30 思维提升 如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ · O C E A B D 31 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 两条辅助线： 连半径，作弦心距. 课堂总结 构造直角三角形利用垂径定理和勾股定理计算或证明. 当堂检测 基础过关 1. 下列说法正确的是 ( ) D A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 33 当堂检测 基础过关 2.如图， OE⊥AB于E，⊙O的半径为5cm， OE=3cm， 则AB的长为________. · O A B E 8cm 34 变式1 如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为_______. 当堂检测 基础过关 · O A B E 5cm 35 当堂检测 变式2 在⊙O中，弦CDAB于P，AB为直径，若CD10， BP1，则⊙O的半径为 . P A O C D B r 1 5 r1 (r－1)2＋52＝r2 13 基础过关 36 当堂检测 基础过关 3.（2023·陕西·中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，求的半径. 解： 是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中， ， ， ， 即的半径为． 37 当堂检测 综合提升 1．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ． 下列判断正确的是 (　 ) A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在 D 38 当堂检测 综合提升 2.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，且AB=8cm，则AC的长为 (　 ) A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm C ∟ · O C D P A B (D) (C) 两种情况 39 当堂检测 综合提升 3. 已知⊙O的半径为10cm，弦CD∥AB，且CD＝12cm，AB＝16cm，求AB和CD之间的距离. AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧. A O C D B F E F O A C D B E 40 当堂检测 综合提升 3. 已知⊙O的半径为10cm，弦CD∥AB，且CD＝12cm，AB＝16cm，求AB和CD之间的距离. 解：作OF⊥CD交CD于点F，交AB于点E，连接OB、OD. ∵AB∥CD，OF⊥CD， ∴OE⊥AB. ∴BE＝AB＝ ×16＝8cm，DF＝CD＝×12＝6cm. 在Rt△OBE中，由勾股定理得： cm， 同理，cm. EF＝OF－OP＝8－6＝2cm， EF＝OF＋OP＝8＋6＝14cm. A O C D B F E F O A C D B E 41 当堂检测 综合提升 4. (2024·内蒙古通辽·中考真题) 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，求拱门所在圆的半径. 解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的 圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为. 42 2021 Blues 4800.0 $$