2.2 圆的对称性（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.2　圆的对称性（1） 第1课时　圆的旋转不变性 学习目标 1．经历探索圆的中心对称性的过程，理解圆的旋转不变性； 2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算. 2 问题导学 圆是中心对称图形吗？ 问题导学 一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合. 观察右图，你有什么发现？ 轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合. 圆的这种性质称为旋转不变性(圆特有的性质). 4 新知归纳 圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心. 操作与思考 O A B A' B' (A') (B') ABA'B' 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. 1. 在⊙O中，当圆心角∠AOB∠A'OB'时，它们所对的弧和， 弦AB和A'B'相等吗？ AB与A'B'重合； 与 重合. 叠合法 6 操作与思考 2. (1)在两张透明纸片上，分别画半径相等的⊙O和⊙O'. (2)在⊙O和⊙O'中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'，连接AB、A'B'. ● ● A B A' B' O O' 猜想：在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？ 7 操作与思考 (3) 将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合. ● A B O ● A' B' O' 当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴OB与O′B′重合. 又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′， ∴点A与点A′重合，点B与点B′重合. ∴ 重合，AB与A′B′重合， 即＝ ，AB＝A′B′ . 8 新知归纳 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. ● ● A B A' B' O O' 符号语言： ∵ ⊙O 和⊙O′ 是同圆(或等圆) 且∠AOB=∠A′O′B′， ∴ AB＝A'B'， ＝ . 思考与探索 1.“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？ B' A' O B A AB＝A′B′ ＝ ∠AOB ＝∠A′O′B′ 10 思考与探索 2.在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ O A B A' B' (A') (B') ＝ 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ABA'B' ∠AOB∠A'OB' 如果圆心角所对的弦相等呢？ ABA'B' 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ＝ ∠AOB∠A'OB' 11 新知归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知一求二 圆心角、弧、弦的相等关系 新知归纳 O A B A' B' AB＝A′B′ ＝ ∠AOB ＝∠ A′O′B′ ＝ AB＝A′B′ ∠AOB ＝∠A′O′B′ AB＝A′B′ ∠AOB＝∠ A′O′B′ ＝ ● ● A B A' B' O O' 13 新知归纳 1.运用圆心角、弧、弦的相等关系时，必须满足条件“在同圆或等圆中”； 2.弦所对的弧是指同为优弧或同为劣弧. 注意： 思考与探索 弧的度数如何表示呢？ 15 思考与探索 将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角. O ● C D A B A B 1°的圆心角 1°的弧 C D n°的圆心角 n°的弧 n° 1° 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份. 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧. 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角. 16 新知归纳 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 1.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，并不是角和弧相等，它们是两类不同的图形； 注意： ∠AOB＝ 2.度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧，等弧的特征是能够互相重合. 1．如图，OA、OB、OC、OD是⊙O的半径，   (1)如果∠AOB＝∠COD，那么_________，____＝____，∠AOC____∠BOD； (2)如果AB＝CD，那么_____＝_____，________________； (3)如果，那么_________，_______________，____． 新知应用 C D A B O AB＝CD ＝ ∠AOB＝∠COD AB＝CD ∠AOB＝∠COD ＝ 18 新知应用 2. 如图，在⊙O中： (1)若∠AOC=∠BOC，BC=5，则AC= . (2)若AC=BC，∠BOC=70°，则 ∠AOC= . (3)若，BC=5，则AC= . 5 70° O A B C 5 19 例题讲解 例1 如图， AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC. ∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 解：∠ABC与∠BAC相等. 在⊙O 中， ∵ ∠AOC＝∠BOC ， ∴ AC＝BC (在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等). ∴ ∠ABC=∠BAC ． O A B C 20 新知巩固 1. 如图，在⊙O中，，∠AOB＝50º，求∠COD的度数. 解：在⊙O中， ∵ ， ∴ ＝， 即 . ∴∠COD＝∠AOB＝50°. A B C D O 21 新知巩固 2. 如图，在⊙O中，，∠A＝40º，求∠ABC的度数. O A B C 解：在⊙O中 ∵ ， ∴ AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC. ∵ ∠A＝40º， ∴∠ACB＝∠ABC＝＝70°. 22 新知巩固 3.如图，在△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝28°,以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求、度数. E D C B A 解：连接CD， ∵∠ACB＝90°, ∠B＝28°, ∴∠A＝62°. ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠A＝62°, ∴∠ACD＝180°62°62°＝56°, ∴∠BCD＝90°56°＝34°. ∴ 的度数为56°， 的度数为34°. 23 思维提升 例3 已知AB、CD是同圆上的两段弧，且＝2，则弦AB与2CD的大小关系AB＝2CD，这种说法对吗？请说明理由． D C B A O E 解：如图，在⊙O上截取，连接CE. ∵＝2，＝＋＝2， ∴ ＝， ∴AB＝CE，CD＝DE. ∵在△CDE中， CD＋DE＞CE， ∴AB＜2CD. 思考：在同圆中，若＞，那么AB与CD的大小关系关系如何？ 24 思维提升 变式 如图，在同圆中，若∠AOC=2∠BOD，则AC______2BD．（“”“”或“”） ＜ D C B A O E 25 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 圆心角、弧、弦的相等关系 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 课堂总结 知一求二 当堂检测 基础过关 1．下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧相等则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 27 新知应用 2. 已知AB是⊙O的直径，，∠COD35°，则∠AOE的度数为_______． A O B C D E · 35° 35° 35° 75° 基础过关 28 当堂检测 基础过关 A O B C · 解：∵ ∴ABAC， ∴△ABC是等腰三角形 又∵∠ACB60° ∴△ABC是等边三角形，ABACBC ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC 60° 60° 3. 已知：在⊙O中， ，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC． 29 当堂检测 4.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且 ＝. AC与BD相等吗？为什么？ O A B C D 解：∵ ， ∴ ＋＝＋， 即＝. ∴ AC=BD． (在同圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等). 基础过关 30 当堂检测 变式1 如图, 在⊙O中, 弦AC、BD相交于点P, 且AB＝CD, 求证：AC＝BD. 解：∵ AB＝CD， ∴ ＝， (在同圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等). ∴ ＋＝＋， 即＝. ∴ AC=BD ． 基础过关 O A B C D 31 当堂检测 变式2 如图，在⊙O中，弦AC、BD相交于点P，且AB＝CD，连接 BC，作直线OP，求证：OP⊥BC. O A B C D P 证明：连接OB、OC． ∵AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB(易证)， ∴△ACB≌△DBC， ∴∠ACB＝∠DBC. ∴PB＝PC . ∵OB＝OC， ∴P、O都在BC的垂直平分线上． ∴OP⊥BC． 基础过关 32 当堂检测 综合提升 1．如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． C B C D A O 33 当堂检测 2．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB=40°，则∠A的度数是______°．   55 B C D A O 综合提升 34 当堂检测 综合提升 3. 如图，OA、OB、OC是⊙O的半径，且，D、E分别是OA、OB的中点. CD与CE相等吗？为什么？ O A B C D E 解：CD=CE，理由如下， 证明：， ， 点D、E分别是OA、OB的中点，OA=OB， OD=OE， 在和中， ， ， CD=CE． 35 当堂检测 变式：如图，在⊙O中，CD=CE，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E． 求证：； 证明：如图，连接， ∵，，， ∴是的角平分线， ∴， ∴． 综合提升 O A B C D E 36 当堂检测 综合提升 4．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，为40°，求∠AOC的度数． B C D A O E 证明：连接， ∵为40°， ∴∠COE=40°， ∵OC=OE， ∴∠C=∠E=70°， ∵CE∥AB， ∴∠AOC=∠C=70°. 37 当堂检测 综合提升 变式：如图，在中，是直径，弦CE∥AB且交圆于，求证：． 证明：连接， ∵CE∥AB， ∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E， ∵OC=OE， ∴∠C=∠E， ∴∠DOB=∠BOE， ∴． B C D A O E 38 2021 Blues 4800.0 $$