精品解析：福建省福州市台江区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

台江区2024-2025学年第二学期期中适应性练习 八年级数学试卷 （全卷共6页．满分：150分．考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，满分40．每小题有且只有一个正确选项．） 1. 下列式子中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【详解】解：A．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； B．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； C．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； D．对于的每一个取值，都有两个确定的值与之对应，不是的函数，此项符合题意． 故选：D． 2. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．解题时，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A．，分母含根号，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意． B．，被开方数，无平方因子，且分母无根号，符合最简二次根式定义，符合题意． C．，被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意． D．，被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，8，9 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 4. 如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质、菱形性质，由平移性质可知，再由菱形四边相等可得，数形结合表示出从而得到答案，熟记平移的性质、菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段， ， 四边形为菱形， ， ， ， 故选：B． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形进而分析即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OD=OB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=2OA=8. 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现△AOB是等边三角形. 7. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A. 1.2米 B. 1.5米 C. 2.0米 D. 2.5米 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB−BE＝2.5−1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝==1.5（米） 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 8. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴．   故选：C． 9. 如图，中，点分别为边的中点，点为线段上一点，连接，且．若，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出MN，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出ME，计算即可． 【详解】解：∵点M，N分别为边AB，AC的中点，BC=16， ∴MN=BC=8， 在Rt△AFB中，点M为边AB的中点，AB=8， 则ME=AB=4， ∴EN=MN-ME=8-4=4， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 10. 荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．结合图象，下列结论正确的有（ ） ①变量是变量的函数； ②秋千静止时，最低点离地面的高度是； ③秋千摆第二个来回需； ④秋千离地面的高度随着摆动时间的增大而减小． A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由函数图象读取信息，由函数的定义，结合图象逐项分析判断即可. 【详解】解：由函数的定义，结合图象可知，变量是变量的函数，故①正确； 有图象可知，秋千静止时，最低点离地面的高度是，故②正确； 从最高点开始向前和向后，再返回到最高点，为一个来回，由图象可知，第二个来回需要的时长为，故③正确； 有图象可知，秋千离地面的高度随着摆动时间的变化而周期变化的，不是随着摆动时间的增大而减小，故④错误； 综上所述，正确的有：①②③， 故选：A. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 点在函数的图象上，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的性质，将直接代入函数，求出m的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是_________． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：由勾股定理得：， 故答案为：144． 14. 如图，在平行四边形中，是的平分线，，则平行四边形的周长是_________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．先由角平分线的定义得到，再由可得，由此可得为等腰三角形，根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质即可求得平行四边形的周长． 【详解】解：∵是的平分线， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又，， ， ， 则平行四边形ABCD的周长为20； 故答案为：20． 15. 正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，若，点是的中点，则长度为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，根据旋转得出，，，，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知：， ∴，，，， ∴， ∴G、B、E三点在同一直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 16. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上⼀动点，连接PC，当PC＋的值最小时，线段PD的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP=CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长． 【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP， 由菱形ABCD，∠A=120°， 可得AB=CB=AD，∠ABP=∠CBP=∠ADP=30°， ∴△ABP≌△CBP，BP=2PE， ∴AP=CP， ∴PC+=AP+PE， ∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短， ∴此时，PC+的值最小，AP⊥BC， ∵Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=30°， ∴BE=1，AE=， ∴Rt△BEP中，∠PBE=30°， ∴PE=PB，，即， ∴PE=， ∴AP=， ∵∠ADP=30°， ∴Rt△ADP中，PD=2AP=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则和完全平方公式，平方差公式，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，E，F为对角线上的点，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质的，，然后证明出，最后利用等角等补角相等证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等是解本题的关键． 19. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上． （1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”） （2）直接写出四边形的面积为______． （3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等． 【答案】（1）不是 （2）14 （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得； （2）利用分割法求解即可得； （3）先利用平行四边形的性质找到格点，再利用等高模型画出图形即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 不是直角， 故答案为：不是． 【小问2详解】 解：四边形的面积为， 故答案为：14． 【小问3详解】 解：如图，点和四边形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型． 20. 快递员张师傅从快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，到达小区后将快递投放到快递专柜，然后原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的倍，张师傅距离快递公司的路程（千米）与从公司出发所用时间（小时）的函数图象如图所示，根据图象回答问题： （1）合理解释线段表示的实际意义_________； （2）图中_________， （3）出发，快递员距离快递公司，求的值． 【答案】（1）张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，看清图象是解题的关键． （1）段张师傅未有路程行驶，表示张师傅在原地未动，根据题意，段表示张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜； （2）先求出张师傅从快递公司去小区的速度，再根据返回时的速度是返回前速度的倍，求出返回时的度数，再求出a的值即可； （3）分为两种情况：当出发至离公司时，当回公司至离公司时． 【小问1详解】 解：段张师傅未有路程行驶，表示张师傅在原地未动，因此段表示张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜； 故答案为：张师傅到达小区后将快递投放到快递专柜； 【小问2详解】 解：根据题意，表示张师傅从快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，其速度为：， 段表示原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的倍，故其速度为：， 所用时间为：， 故； 故答案为：3； 【小问3详解】 解：分为两种情况： 当出发至离公司时，， 当回公司至离公司时，． 综上，t的值为或． 21. 如图，在平行四边形中，是边上一点． （1）请只用无刻度的直尺在边上确定一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请证明你所作的点满足． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先连接，它们相交于点，再连接并延长交于点； （2）先根据平行四边形的性质得到，然后证明得到． 【小问1详解】 解：如图，点为所作： ； 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 【答案】（1）风筝的高度为米； （2）他应该往回收线8米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 23. （1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 【答案】（1）；；；（2）；证明见解析；（3）16 【解析】 【分析】本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键． （）把各组的值分别代入和中计算，即可判断它们的大小关系； （）由，利用完全平方公式展开，变形后即可得到 ； （）设长方形的长宽分别为，则，利用()中的结论得到，则，进而可确定花坛周长的最小值； 【详解】解：（）当时，，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故答案为：；；； （）． 证明：∵， ∴， ∴； （）设矩形花坛的长为，宽是，则， ∵， ∴， ∴， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是． 24. 活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 【答案】（1）活动一：①2；②1；③；④； （2）步骤一：作一条线段，使得的长度为， 步骤二：1．过点H作于点H， 2．在上截取，连接， 3．在上截取， 4．以点G为圆心，以为半径画弧交于点M， 则点M为的黄金分割点，的长度等于，则的长度等于底边的长度，即，如图： 步骤三：作，作线段，分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，如图， 则为黄金三角形． 【解析】 【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可； 活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和公理解答即可． 【详解】解：活动一： ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，，则； 活动二： 略 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键． 25. 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： （1）当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； （2）当点在线段上时，如图③，求证：． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题为正方形综合题，考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质去判定出即可得到①；过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，利用等腰三角形的判定方法可得到和为等腰直角三角形，从而得到四边形为正方形，同理可证四边形为正方形，然后利用全等三角形的判定方法即可判定出，再利用边的比例关系即可求证②； （2）过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，根据（1）中的解法同理可得：，，，再利用推导即可． 【小问1详解】 解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ①解：∵是正方形， ∴，， ∴在和中： ， ∴（SAS）， ∴； ②解：∵是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可证四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴（AAS）， ∴， 由①得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ∴根据（1）中的解法同理可得：，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台江区2024-2025学年第二学期期中适应性练习 八年级数学试卷 （全卷共6页．满分：150分．考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，满分40．每小题有且只有一个正确选项．） 1. 下列式子中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，8，9 D. 9，40，41 4. 如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线 ，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A. 1.2米 B. 1.5米 C. 2.0米 D. 2.5米 8. 如图，在 中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，点分别为边的中点，点为线段上一点，连接，且．若，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．结合图象，下列结论正确的有（ ） ①变量是变量的函数； ②秋千静止时，最低点离地面的高度是； ③秋千摆第二个来回需； ④秋千离地面的高度随着摆动时间的增大而减小． A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 点在函数的图象上，则的值是_________． 13. 如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是_________． 14. 如图，在平行四边形中，是的平分线，，则平行四边形的周长是_________． 15. 正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，若，点是的中点，则长度为_________． 16. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上⼀动点，连接PC，当PC＋的值最小时，线段PD的长是________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在平行四边形中，E，F为对角线上的点，且，求证：． 19. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上． （1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”） （2）直接写出四边形的面积为______． （3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等． 20. 快递员张师傅从快递公司出发骑电动车匀速前往幸福家园小区投送快递，到达小区后将快递投放到快递专柜，然后原路匀速返回快递公司，且返回时的速度是返回前速度的倍，张师傅距离快递公司的路程（千米）与从公司出发所用时间（小时）的函数图象如图所示，根据图象回答问题： （1）合理解释线段表示的实际意义_________； （2）图中_________， （3）出发，快递员距离快递公司，求的值． 21. 如图，在平行四边形中，是边上一点． （1）请只用无刻度的直尺在边上确定一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请证明你所作的点满足． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 23. （1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 24. 活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出 ，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 25. 在正方形中，对角线 与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： （1）当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； （2）当点在线段上时，如图③，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $