精品解析：重庆市巴蜀中学校2024--2025学年八年级下学期入学考试数学试卷

初2026届初二（下）入学考试 数 学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “日新月异”四字的经典繁方篆字体是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都是中心对称图形， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、和不是同类项，无法合并，故此选项不合题意． 故选：B． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式即可． 【分析】A．左边是单项式与多项式的乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B．左边为，正确分解应为，而选项B写成，分解错误． C．左边符合完全平方公式，分解为，属于正确的因式分解． D．左边提取公因数2后得到，但括号内可进一步分解为，未分解彻底，不属于完整的因式分解． 故选∶C． 4. 如图，在平行四边形中，点，分别在边上，添加选项中的条件后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质，平行四边形的判定依次进行判断即，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 【详解】、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项可以判定，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，， 由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项可以判定，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴，即∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项可以判定，不符合题意； 故选： ． 5. 估算的结果应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解： ∵，， ∴介于2和3之间， 又∵，， ∴在2.6到2.7之间； 当时，； 当时，， ∴的范围为到． 故的结果在到之间，位于9和10之间，选项D满足． 故选：D． 6. 如图，在中，、分别为，边的中点，平分交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，，再证明，从而可得答案． 【详解】解：∵，、分别为，边的中点，， ∴是的中位线，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质得，结合垂直平分线的性质得，证明是等边三角形，则根据勾股定理列式计算，得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、、，若，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，添加辅助线构造等腰直角三角形及全等三角形，证明是解决问题的关键．根据题意，结合等腰直角三角形的性质可知，点只能在内，如图，过点作，利用勾股定理求得，过点作交于， 可得为等腰直角三角形，则，， 证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等腰直角三角形中，，于点D， ∴，，， 如图，当点在内或上时，，不符合题意， ∴点只能在内，如图，过点作于， ∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作交于， 则， ∴为等腰直角三角形，则，， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 9. 若整数a使关于y的不等式组有解，且最多有4个整数解，且使关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围，再解出分式方程，根据题意确定a的范围，再根据题意计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解，且最多有4个整数解， ∴， 解得：， ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为． 故选：C 【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 10. 已知六元方程，满足，且，，，，，为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（    ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有组解； ④若，则该六元方程有组解． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】①把所给数值分别代入等式的左边和右边，看是否相等； ②设最小的正整数为，分别计算出等式的左边和右边，看是否相等； ③根据②得到的知识，结合③给的条件，看该六元方程有几组解； ④根据③及所给等式看是否会得到唯一解． 【详解】解：①∵，，，，，， ∴， ， ∴， ∴，，，，，是该六元方程的一组解， 故结论①正确； ②设最小的正整数为，那么其余的数为：，，，，， ∴， ， ∴连续的六个正整数一定是该六元方程的解； 故结论②正确； ③∵，且连续的六个正整数一定是该六元方程的解， ∴连续正整数解为： 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、，共组； ∵， ∴， 又∵，且，，，，，为正整数， ∴，，， ∴不连续正整数解为： 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、， 、、、、、，共组， ∴则该六元方程有组解， 故结论③不正确； ④∵，只有， ∴则该六元方程有组解：，，，，，， 故结论④不正确； ∴关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为． 故选：B． 【点睛】本题考查方程的解，因式分解的应用，求方程的整数解，根据因式分解得到，，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. “燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法，根据科学记数法的表示形式直接求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果 有意义，那么a的取值范围是_________. 【答案】a> 【解析】 【分析】根据被开方式大于零列式求解即可. 【详解】由题意得 2a-1>0， ∴a>. 故答案为a>. 【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 13. 已知，则的值为 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据完全平方公式得出，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键． 14. 如图，四边形是菱形，对角线交于点，交于点，连接，若，，则的长为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据菱形性质结合勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出最后结果． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：6． 15. 如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理． 取中点H，连接与，过点E作交于I，由平行四边形的性质得到，进而得到，，即，，根据勾股定理得到，，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取中点H，连接与，过点E作交于I， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理可知， ∴（负值舍去）， 由勾股定理可知， ∴（负值舍去），， ∵H是中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点，H为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：． 16. 一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记，例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a和b，t的千位数字与百位数字分别为x和y，其中．若能被8整除，且、满足，则所有可能的值中最大值与最小值的差为_______________． 【答案】154 【解析】 【分析】根据“对称数”定义表示出，，得到，根据能被8整除，，得到；同理得，根据条件，得到，由，得到，，得到，根据x，y均为整数，分别列举出x，y的值代入求最值差即可． 【详解】解： ∵s的千位数字与百位数字分别为a，b， ∴，， ∴， ∵能被8整除，且， ∴； 同理得， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∵ x，y均为整数， ∴当时，， 符合题意， 此时； 当时，， 不符合题意； 当时，， 符合题意， 此时； 当时，， 不符合题意； 当时，， 不符合题意； 当时，， 符合题意， 此时； 当时，， 不符合题意； 当时，， 不符合题意； 当时，， 符合题意， 此时； 所有可能值的最大值与最小值的差为： ， 故答案为：154． 【点睛】本题考查了新定义．熟练掌握新定义 ，整数的表达式，整式的运算，因式分解，数的整除性，分类讨论，是解答的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共52分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘除法，再化简二次根式，最后计算加减即可； （2）先计算多项式的乘法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 先化简，再求值：，并从的范围内选取一个合适的m的整数值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，解不等式组．先根据分式的混合运算对式子化简，再找出使分式有意义的m的取值，代入求值即可． 【详解】解： ． 要使原式有意义，则 ， ∴且，， ∴当时，原式． 19. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 【答案】（1）100， （2） 补全条形统计图如下： ． （3）510名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用类所对应的学生人数除以其所占的百分比即可得本次被抽查的学生总人数；再利用乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得类所对应的圆心角度数； （2）先求出类所对应的学生人数，再据此补全条形统计图即可得； （3）利用该校初中学生总人数乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次被抽查的学生总人数为（名）， 类所对应的圆心角度数为， 故答案为：100，． 【小问2详解】 解：类所对应的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数为510名． 20. 在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形中，E是边上的一点，过点D作的垂线，分别交，于点G和点F．求证：．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点G、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请完成下面的证明过程 证明：∵四边形是正方形， ①， ， 又 ∴② 在和中， 通过上面的操作，我们还可以把和沿着正方形的边平移，进一步得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且互相垂直的两条线段④ 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④相等 【解析】 【分析】本题考查了作图—作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判断和性质是解题的关键． （1）根据要求作垂线即可； （2）根据正方形的性质可以证明，从而得出结论． 【小问1详解】 如图，过点D作垂线，分别与交于点G、F， 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ， ， 又 在和中， ， 把和沿着正方形的边平移，进一步得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且互相垂直的两条线段相等， 故答案为：①；②；③；④相等． 21. 以三星堆出土的青铜纵目面具为原型的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒深受人们的喜爱，出现了供不应求的局面．某文创公司准备购进两种文创品，每个玻璃杯“纵目萌萌杯”比“祈福神官”系列盲盒进价多50元，用9200元购进玻璃杯“纵目萌萌杯”的数量与用4200元购进的“祈福神官”系列盲盒数量相同，请解决下列问题： （1）玻璃杯“纵目萌萌杯”与“祈福神官”系列盲盒每个进价各是多少元？ （2）若文创公司决定，用不低于16000元的资金购进玻璃杯“纵目萌萌杯”、“祈福神官”系列盲盒共计200个，玻璃杯“纵目萌萌杯”至多购进155个，若每个玻璃杯“纵目萌萌杯”的售价为130元，每个“祈福神官”系列盲盒的售价为70元，且全部售出，售完后，文创公司用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费263元，剩余部分全部再次购进玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒赠给福利院，则捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒各是多少个？ 【答案】（1）玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒每个进价是92元，“祈福神官”系列盲盒每个进价是42元 （2）捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒为4个，“祈福神官”系列盲盒为2个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用、二元一次方程的应用，熟练掌握分式方程和一次函数的应用是解题关键． （1）设玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒每个进价是元，则“祈福神官”系列盲盒每个进价是元，根据题意建立分式方程，解方程求出的值，然后进行检验，由此即可得； （2）设文创公司第一次购进玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒个，获得的利润为元，则购进“祈福神官”系列盲盒个，根据题意建立不等式组，解不等式组求出，再根据一次函数的性质求出最大利润，然后设捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒为个，“祈福神官”系列盲盒为个，根据题意建立二元一次方程，根据均为正整数求解即可得． 【小问1详解】 解：设玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒每个进价是元，则“祈福神官”系列盲盒每个进价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 此时， 答：玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒每个进价是92元，“祈福神官”系列盲盒每个进价是42元． 【小问2详解】 解：设文创公司第一次购进玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒个，获得的利润为元，则购进“祈福神官”系列盲盒个， 由题意得：， 解得， ∵， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵售完后，文创公司用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善， ∴用于福利院的慈善的金额为（元）， 设捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒为个，“祈福神官”系列盲盒为个， 则， 整理得：， ∴， ∴， 又∵均正整数， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”系列盲盒为4个，“祈福神官”系列盲盒为2个． 22. 在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作于点E． （1）如图1，若，，且，连接，求线段的长度； （2）如图2，若，在上取点F，若，求证：； （3）如图3，若，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可推出，从而得出结果； （2）作于G，作，交延长线于点H，可证得，从而，进而证得，从而； （3）先根据勾股定理求出，的长，再证明为等边三角形，以点D为顶点，在左侧作，在上取后，连接、交射线于点，过点H作射线于点T，过点B作于点N，过点E作于点M，证明，推出点与点下重合时最小即最小，证明，，利用相似三角形性质求出的长即可 【小问1详解】 解：， ， ， ， 点E时的中点， ， ， ， 线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段， ， 【小问2详解】 证明：如图， 作于G，作，交延长线于点H， ， ， ， ， 线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：在中，， 在中， ，即， 线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段， 在中 ， 如图，取的中点F，连接， ， ， ， 为等边三角形， 如图，以点D为顶点，在左侧作，在上取后，连接、交射线于点，过点H作射线于点T， 过点B作于点N，过点E作于点M， 在和中 ， ∴点与点下重合时最小即最小 在中， ，， ， 在和中 ， ， 在中， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，即， 最小时，点E到的距离是 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2026届初二（下）入学考试 数 学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “日新月异”四字的经典繁方篆字体是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，点，分别在边上，添加选项中的条件后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 估算的结果应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 6. 如图，在中，、分别为，边的中点，平分交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、、，若，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 若整数a使关于y的不等式组有解，且最多有4个整数解，且使关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. B. C. D. 10. 已知六元方程，满足，且，，，，，为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（    ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有组解； ④若，则该六元方程有组解． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. “燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为______． 12. 如果 有意义，那么a的取值范围是_________. 13. 已知，则的值为 _____． 14. 如图，四边形是菱形，对角线交于点，交于点，连接，若，，则的长为_______________． 15. 如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则_______________． 16. 一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记，例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a和b，t的千位数字与百位数字分别为x和y，其中．若能被8整除，且、满足，则所有可能的值中最大值与最小值的差为_______________． 三、解答题（本大题共6个小题，共52分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，并从的范围内选取一个合适的m的整数值代入求值． 19. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 20. 在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形中，E是边上的一点，过点D作的垂线，分别交，于点G和点F．求证：．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点G、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请完成下面的证明过程 证明：∵四边形是正方形， ①， ， 又 ∴② 在和中， 通过上面的操作，我们还可以把和沿着正方形的边平移，进一步得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且互相垂直的两条线段④ 21. 以三星堆出土的青铜纵目面具为原型的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒深受人们的喜爱，出现了供不应求的局面．某文创公司准备购进两种文创品，每个玻璃杯“纵目萌萌杯”比“祈福神官”系列盲盒进价多50元，用9200元购进玻璃杯“纵目萌萌杯”的数量与用4200元购进的“祈福神官”系列盲盒数量相同，请解决下列问题： （1）玻璃杯“纵目萌萌杯”与“祈福神官”系列盲盒每个进价各是多少元？ （2）若文创公司决定，用不低于16000元的资金购进玻璃杯“纵目萌萌杯”、“祈福神官”系列盲盒共计200个，玻璃杯“纵目萌萌杯”至多购进155个，若每个玻璃杯“纵目萌萌杯”的售价为130元，每个“祈福神官”系列盲盒的售价为70元，且全部售出，售完后，文创公司用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费263元，剩余部分全部再次购进玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒赠给福利院，则捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒各是多少个？ 22. 在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作于点E． （1）如图1，若，，且，连接，求线段的长度； （2）如图2，若，在上取点F，若，求证：； （3）如图3，若，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $