专题05 分式章末易错压轴题型19易错+6压轴（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题05 分式章末易错压轴题型（19易错+6压轴） 目录 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、分式的相关概念 易错题型二、分式有无意义的条件 易错题型三、分式的求值 易错题型四、分式的基本性质 易错题型五、分式变形 易错题型六、最简分式与最简公分母 易错题型七、通分与约分 易错题型八、分式的乘除法 易错题型九、分式的乘方运算 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 易错题型十一、分式的加减法 易错题型十二、分式的四则混合运算 易错题型十三、分式的应用 易错题型十四、分式的化简求值 易错题型十五、分式方程 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 易错题型十七、分式方程的增根问题 易错题型十八、分式方程的无解问题 易错题型十九、分式方程的应用 压轴题型一、分式的规律性问题 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 压轴题型三、分式的化简求值综合 压轴题型四、分式最值问题 压轴题型五、分式方程的含参问题 压轴题型六、分式方程的综合应用 易错题型一、分式的相关概念 1．下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．需逐一判断各选项分母是否含有字母，即可． 【详解】解：选项A：，分母为常数3，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意． 选项B：，分母为，含字母和，符合分式定义，故本选项符合题意． 选项C：，分母为常数13，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意． 选项D：，分母为圆周率（常数），不含字母，属于整式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个 ，是整式． 故选B． 3．请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查分式值为零的条件，分式的定义；根据分式值为零的条件，分子为0，分母不为0，进行解答即可． 【详解】解：分式中只含有字母且当时，分式的值是0的分式为：； 故答案为：． 易错题型二、分式有无意义的条件 4．请写出一个使分式值为0的值： ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值为零，分式有意义，根据分式值为0得出分子为0，分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式值为0 ∴ 解得 故答案为：2（答案不唯一） 5．若分式的值等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 6．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 易错题型三、分式的求值 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求分式的值．将分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 8．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，先把整理得，再把通分整理得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9．已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，据此可得答案； （2）根据完全平方公式可得，据此可得答案． 【详解】（1）解；∵，即， ∴，即， ∴，即； （2）解：∵， ∴ ． 易错题型四、分式的基本性质 10．把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 11．若分式的值为6，当、都变为原来的2倍，所得分式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式基本性质．将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， 当、都变为原来的2倍时，， 故答案为：3． 12．若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 【答案】(1)不变 (2)不变 (3)不变 【分析】（1）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （2）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （3）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答． 【详解】（1）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （2）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （3）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质等知识点，灵活运用分式的基本性质是解答本题的关键． 易错题型五、分式变形 13．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解；分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】选项A： 分子分母同时加2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等。故A错误． 选项B： 分子分母同时减2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故B错误． 选项C： 左边为，右边为，仅当或时成立． 但，且时虽成立，但非普遍情况． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故C错误． 选项D： 计算左边：，右边为，显然左边=右边． 故D正确． 故选：D． 14．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 15．下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 易错题型六、最简分式与最简公分母 16．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式的判断，即分子和分母没有公因式的分式．需逐一分析各选项是否存在可约分的公因式． 【详解】解：选项A：，分子6与分母有公因数2，可约分为，故不是最简分式． 选项B：，分子与分母有公因式，可约分为，故不是最简分式． 选项C：，分子与分母无公因式（在实数范围内不可分解），无法约分，故为最简分式． 选项D：，分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，故不是最简分式． 故选：C． 17．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 18．下列三个分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，，最简公分母为． 故答案为：． 易错题型七、通分与约分 19．化简分式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，将分式分子先分解因式，再约分，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 21．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 【答案】①； ②；（2）①；  ② 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． （1）①根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可；根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可． （2）①约去分子分母的公因式即可；②约去分子分母的公因式即可. 【详解】解：（1）①； ②； （2）①； ②. 易错题型八、分式的乘除法 22．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握分式的乘除混合运算法则成为解题的关键． 先化除为乘，然后再运用分式乘法运算法则计算即可． 【详解】 ． 23．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； （）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； 本题考查了分式的乘除混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，准确计算． （1）根据分式乘法则进行计算即可； （2）先将除法转化为乘法，计算积的乘方，幂的乘方，再根据分式乘法则进行计算即可； （3）先将除法转化为乘法，因式分解再根据分式乘法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 易错题型九、分式的乘方运算 25．计算： （1）； （2）； （3）•÷； （4）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4） 【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法； （2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法； （3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法； （4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可． 【详解】解：（1）原式=）=； （2）原式==1； （3）原式==； （4）原式==． 【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关键． 26．计算 【答案】 【分析】先算分式的乘方，再算乘法，约分化简即可. 【详解】解：原式= = 【点睛】本题考查分式的乘方与乘法，分式的乘方计算法则是：分子分母分别乘方，乘法计算法则是：分子与分子相乘，分母与分母相乘，最后约分化简，掌握运算法则是关键. 27．计算：（1）；（2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据同底数幂乘法法则时行计算即可; (2)先计算乘方，再将除法转换成乘法，再相乘即可. 【详解】解：（1） = =; （2） = =. 【点睛】考查了积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘除法法则，解题关键是熟记其计算法则. 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 28．如果，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方，零指数幂和负整数指数幂的意义，有理数的大小比较，分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：∵ ∴． 故选B． 29．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再算减法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 30．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数混合运算，熟练掌握乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则是解题的关键．根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行求解即可． 【详解】解：原式. 易错题型十一、分式的加减法 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同分母分式加法法则求解即可； （2）先通分，然后根据同分母分式加法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，熟知分式的加减计算法则是解题的关键． （1）先把第一个分式的分子利用完全平方公式展开，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先通分，再把分子合并同类项后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，平方差公式等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先把分母转化为同分母，再根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 易错题型十二、分式的四则混合运算 34．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 35．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 36．化简： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 易错题型十三、分式的应用 37．甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 【答案】(1)； (2)甲队谁先完成任务，理由见详解 【分析】本题考查了分式加减运算，完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据题意可得出，解出即可．则 （2）用比较出大小即可． 【详解】（1）解：甲共用时间为天，，解得， 乙用的时间为， （2）解：甲队先完成任务，理由如下： ， ∵，且， ∴，， ∴ ∴乙的时间更长，即甲队先完成任务， ∴甲队先完成任务． 38．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克． (1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？ 【答案】(1)； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多千克/平方米 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）由题意得，“丰收1号”试验田的面积为：平方米， “丰收2号”试验田的面积为平方米； （2） ∴高的单位面积产量比低的单位面积产量多千克/平方米 39．某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是，已知货轮在静水中的最大航速为． (1)若该货轮在水流速度为的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度； (2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线． 【答案】(1)顺流航行的最大速度为，逆流航行的最大速度为； (2)航运公司应当选择航线2． 【分析】（1）根据和即可得到代数式； （2）航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，得到；航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为，得到，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵货轮在静水中的最大航速为， ∴水流速度为， ∴顺流航行的最大速度为， 逆流航行的最大速度为； （2）解：航线1： 从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行， 依题意得； 航线2： 从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为， 依题意得； ， ∴， ∴航运公司应当选择航线2． 【点睛】本题考查了分式加减的应用、列代数式，要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列式再求解，解题关键是理解顺水航行速度和逆水航行速度． 易错题型十四、分式的化简求值 40．先化简，再求值：，并在中选择一个适当的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，得到化简的结果，再结合分式有意义的条件，代入求值即可. 【详解】解： ， 且， ， 则原式． 41．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，熟练掌握分式的运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，再将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 42．化简，并在0、1、2中选一个恰当的数带入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式乘除法的计算方法以及分式有意义的条件是正确解答的关键．根据分式乘除法的计算方法进行化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解： 由于且， 所以当时，原式． 易错题型十五、分式方程 43．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 检验：当时，， ∴原方程的根是． 44．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可． （2）按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， 故是原方程的解． （2）解：∵， 去分母，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是原方程的增根， 故原方程无解． 45．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， ∴原分式方程无解． 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 46．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为非负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 47．已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，不等式的性质．首先解分式方程可得，再根据分式方程的解满足，可得的取值范围，再根据为整数，确定的值的情况，即可求解． 【详解】解：解关于的分式方程， 去分母得：， 移项、整理得：， ∵， ∴， ∵k为整数， ∴或7或8或9， ∴所有k值的和为， 故答案为：． 48．（1）解方程：． （2）关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围 【答案】（1）原方程无解（2）且 【分析】本题考查的是解分式方程及分式方程的解为正数，熟记“注意分式方程要检验，分母不为0”是解本题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可； （2）先解分式方程可得，再根据解为正数可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）方程两边都乘得： ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的增根， 所以，原方程无解； （2）， ， ， 关于的分式分程的解为正数， ， 解得：且． 易错题型十七、分式方程的增根问题 49．若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 由分式方程有增根，得到，代入整式方程计算即可求出m的值； 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合同同类型，得， 将系数化为1，得， 分式有增根， ， ． 故选A． 50．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程，理解分式有意义的条件是解题关键．解出方程的根用含m的代数式表示，当方程为增根时，即根使分母为0，进行计算即可求出m． 【详解】解： 化简得： 解得： 当根为增根时，，将x代入得： 解得： 故答案为：． 51．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可． 本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴， ， ， ； （2）解：∵分式方程的解为非负数， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴a的取值范围是：且． 易错题型十八、分式方程的无解问题 52．若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程得到，再根据原方程无解，可得是原方程的增根，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，即， ∴， ∴． 故选：A． 53．若分式方程无解，则 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件．先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，得到，再根据分式方程无解分两种情况讨论即可． 【详解】解：， 得， 即， 当，即时，方程无解； 当时，， 解得：， ∴若分式方程无解，则或， 故答案为：或． 54．若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 【答案】(1)或 (2)a的值为1或或8 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 整理可得：， ∵原方程有增根， ∴， 即， 当时，， 当时，， ∴或时，方程有增根； （2）解：由（1）知：a取或8时，原方程无解， 当，方程无解， ∴时，原方程无解； 综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解． 易错题型十九、分式方程的应用 55．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续肮里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． (1)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元 (2)当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （2）设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ （元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 56．某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款n盒，则购进A款盒， 款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ，解得：， 根据题意得：，解得：， ，n取整数为50，51，52， 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）． 因为，所以购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大． 57．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋种包装的米脂小米的进价比每袋种包装的米脂小米的进价多10元，用150元购进种包装的米脂小米袋数与用100元购进种包装的米脂小米袋数相同． (1)求两种包装的米脂小米进价分别是多少元/袋？ (2)若该粮油超市计划购进两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过480元，请你计算该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米多少袋？ 【答案】(1)种包装的米脂小米进价是30元/袋，种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米8袋 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设种包装的米脂小米进价是元/袋，则种包装的米脂小米进价是元/袋，结合题意列出分式方程，再解方程，最后验根，即可作答． （2）根据题意，设该粮油超市购进种包装的米脂小米袋，再出不等式，进行解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设种包装的米脂小米进价是元/袋，则种包装的米脂小米进价是元/袋． 根据题意可得， 解得， 经检验：，，故是原方程的解 ， 种包装的米脂小米进价是30元/袋，种包装的米脂小米进价是20元/袋． （2）解：设该粮油超市购进种包装的米脂小米袋， 根据题意可得， 解得， 该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米8袋． 压轴题型一、分式的规律性问题 58．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接作答即可； （2）认真理解题干的式子过程，总结得第n个等式为，再把进行通分化简，得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式： …… ∴第n个等式为 证明过程如下： 故． 59．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 60．观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为：， 第6个分式为． （2）由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶． 理由如下： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数， 分子的底数是x，次数是连续的奇数， ∴第n(n为正整数)个分式为． 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 61．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 62．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解． 【详解】解：， ∵分式的值是大于2的整数，且x是整数， ∴或， 解得：或， 故答案：6或． 63．在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，． (1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可） (2)若分式的值为整数，求出整数m的值； (3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和． 例如：； ． 请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值． 【答案】(1)①④；② (2) (3) 【分析】（1）由题意①④分子的次数小于分母的次数，是真分式；②分子的次数大于分母的次数，是假分式；③不是分式； （2）分式的值为整数，则的值为或，计算求解即可； （3）先将分式化为整式与“真分式”的和，则的值为或，计算求解即可． 【详解】（1）解：由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②； （2）解：分式的值为整数，则的值为或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数m的值为：； （3）解： 要使的值为整数，即为整数，则是整数即可， 所以的值为或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数m的值为： 【点睛】本题考查分式的计算，如何理解题意进行正确运算是解题的关键． 压轴题型三、分式的化简求值综合 64．先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．原式先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后根据分式有意义的条件选取合适的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ， 当时，原式． 65．化简，再请从-2，0，1选取合适的代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则、因式分解以及代入求值时注意分母不为的条件是解题的关键． 需要先对分式进行化简，包括因式分解、分式的除法运算等，化简完成后再将合适的值代入化简后的式子进行求值．在代入值时，要注意使原式分母不为． 【详解】解： 原式 ∵要使原式分母不为，则，即；，经检验， ∴从，，中只能取代入， 当时，原式． 故答案为：． 66．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 压轴题型四、分式最值问题 67．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 68．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 69．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解：， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 压轴题型五、分式方程的含参问题 70．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．-7 B．-10 C．-12 D．-15 【答案】B 【分析】解不等式组求出解集，根据不等式组只有4个整数解得出m的取值范围，解分式方程得，由方程的解为整数且分式有意义得出只可以取奇数且，综合以上要求，找出符合条件的值相加即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴， ∴， 将分式方程变形整理得，， ∵， ， ， ∴分式方程的解为：， ∵分式方程的解为整数， ∴只可以取奇数， 由，可得，或， ∴符合条件的所有整数m的和为， 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，有一定难度，要注意分式方程的解要满足分母不分0的情况． 71．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法，根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的解和增根进一步确定的值后求和即可．理解一元一次不等式组的整数解以及分式方程的增根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， 关于的不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得：， 解得， 分式方程的解为正数， ， 即， 由于分式方程的增根是， ， 即， 综上所述，且， 所有满足条件的整数的和是． 故答案为：11． 72．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 压轴题型六、分式方程的综合应用 73．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 74．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 75．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据异分母分式减法法则计算即可； （2）根据新定义，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式章末易错压轴题型（19易错+6压轴） 目录 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、分式的相关概念 易错题型二、分式有无意义的条件 易错题型三、分式的求值 易错题型四、分式的基本性质 易错题型五、分式变形 易错题型六、最简分式与最简公分母 易错题型七、通分与约分 易错题型八、分式的乘除法 易错题型九、分式的乘方运算 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 易错题型十一、分式的加减法 易错题型十二、分式的四则混合运算 易错题型十三、分式的应用 易错题型十四、分式的化简求值 易错题型十五、分式方程 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 易错题型十七、分式方程的增根问题 易错题型十八、分式方程的无解问题 易错题型十九、分式方程的应用 压轴题型一、分式的规律性问题 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 压轴题型三、分式的化简求值综合 压轴题型四、分式最值问题 压轴题型五、分式方程的含参问题 压轴题型六、分式方程的综合应用 易错题型一、分式的相关概念 1．下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 易错题型二、分式有无意义的条件 4．请写出一个使分式值为0的值： ． 5．若分式的值等于，则 ． 6．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 易错题型三、分式的求值 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．若，则 ． 9．已知． (1)求的值． (2)求的值． 易错题型四、分式的基本性质 10．把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 11．若分式的值为6，当、都变为原来的2倍，所得分式的值是 ． 12．若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 易错题型五、分式变形 13．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 14．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 15．下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 易错题型六、最简分式与最简公分母 16．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 17．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 18．下列三个分式的最简公分母是 ． 易错题型七、通分与约分 19．化简分式的结果是 ． 20．化简： (1) (2) 21．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 易错题型八、分式的乘除法 22．化简： 23．计算 (1) (2) 24．计算： (1) (2) (3) 易错题型九、分式的乘方运算 25．计算： （1）； （2）； （3）•÷； （4）． 26．计算 27．计算：（1）；（2） 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 28．如果，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．计算： ． 30．计算： 易错题型十一、分式的加减法 31．计算： (1)； (2)． 32．计算： (1)； (2)． 33．计算：． 易错题型十二、分式的四则混合运算 34．化简：． 35．化简：． 36．化简： 易错题型十三、分式的应用 37．甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 38．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克． (1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？ 39．某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是，已知货轮在静水中的最大航速为． (1)若该货轮在水流速度为的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度； (2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线． 易错题型十四、分式的化简求值 40．先化简，再求值：，并在中选择一个适当的值代入求值． 41．先化简，再求值，其中． 42．化简，并在0、1、2中选一个恰当的数带入求值． 易错题型十五、分式方程 43．解方程： 44．解分式方程： (1)； (2)． 45．解方程： (1)； (2)． 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 46．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 47．已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为 ． 48．（1）解方程：． （2）关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围 易错题型十七、分式方程的增根问题 49．若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 50．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 51．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 易错题型十八、分式方程的无解问题 52．若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 53．若分式方程无解，则 54．若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 易错题型十九、分式方程的应用 55．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续肮里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． (1)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 56．某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 57．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋种包装的米脂小米的进价比每袋种包装的米脂小米的进价多10元，用150元购进种包装的米脂小米袋数与用100元购进种包装的米脂小米袋数相同． (1)求两种包装的米脂小米进价分别是多少元/袋？ (2)若该粮油超市计划购进两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过480元，请你计算该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米多少袋？ 压轴题型一、分式的规律性问题 58．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 59．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 60．观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 61．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 62．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为 ． 63．在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，． (1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可） (2)若分式的值为整数，求出整数m的值； (3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和． 例如：； ． 请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值． 压轴题型三、分式的化简求值综合 64．先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个合适的数代入求值． 65．化简，再请从-2，0，1选取合适的代入求值． 66．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 压轴题型四、分式最值问题 67．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 68．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 69．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 压轴题型五、分式方程的含参问题 70．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．-7 B．-10 C．-12 D．-15 71．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的和是 ． 72．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 压轴题型六、分式方程的综合应用 73．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 74．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 75．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$