专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题强化练习（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 2 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 3 题型四、分式方程的增根问题 5 题型五、分式方程的无解问题 6 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 8 题型七、分式方程的解新定义问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1．若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，结合解为正数及分母不为零的条件确定参数范围． 【分析】解：原方程两边同乘，得：， 解得： ∵关于的方程有正数解， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是且， 故选：D． 2．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解，先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得． 为正数， ，解得． ， ，即． 的取值范围是且． 故选：A． 3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，由分式方程解的情况求参数，先解分式方程，得，由分式方程的解为正数，得，即得，再根据分式的分母不等于，得，即得，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 4．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m的不等式是解题的关键．先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知，从而可求得，然后根据分式的分母不为0，可知，即，由此即可求解． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程得：， 解得：． ∵方程的解为正数， ∴， 解得：． ∵分式的分母不能为0， ∴， ∴，即． ∴． 故且． 故选：C． 5．已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化为整式方程，再解出方程的解，然后根据“解为正数”列出不等式求解即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， ∵解为正数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 6．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据分式有意义的条件，解得，再去分母，去括号，移项，合并同类项，解得，最后根据方程的解为正数，及分式有意义解得的取值范围． 【详解】解：关于的方程有解， 去分母得， 根据题意得， 且 解得且， 故答案为：且． 7．关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】解分式方程得，由原方程的解是正数得即可求解． 【详解】解： ∵的解是正数， ∴，且 ∴且． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式，正确运算是解题的关键． 8．若关于x的分式方程的解为正数，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， 且， 解得：且． 【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 9．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，用含a的是式子表示分式方程的解，再根据解为负数，解不等式即可求解． 【详解】解：去分母得， 整理得 即且， 解得：， ∵解为负数， ∴或， 解得或， 符合的数值为， 故选：A． 10．关于的分式方程的解是负数，则字母的取值范围是（　　） A． B．3且2 C． D．3且2 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程，得到含有得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得：， 解得：， ， ， 即， 解得：， 又∵方程的解是负数， ， 解不等式得：， 综上可知：且， 故选：B． 11．关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：D． 12．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程解为负数，确定出k的范围即可． 【详解】解：原方程 去分母得：， 整理得：， ∵有意义， ∴ ∴且， 解得且 当时，方程的解为正数； 当时，方程无解； ∴当，方程的解为负数， 解得：， 综上所述，此时k的范围为，且， 故选：D． 13．如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 14．如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵分母不为0， ∴， ∴， ∴； 综上所述，且， 故答案为：且． 15．当m为何值时，关于x的方程﹣＝的解为负数？ 【答案】m＜3且m≠﹣12 【分析】先求出分式方程的解，可得，再由方程的解为负数，可得到＜0，并且≠2，≠﹣3．即可求解． 【详解】解：﹣＝ 去分母得：， 解得：， ∵方程的解为负数， ∴＜0，并且≠2，≠﹣3． 解得：m＜3且m≠﹣12． 当m＜3且m≠﹣12时，关于x的方程﹣＝的解为负数． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解得正负情况，根据题意得到最简公分母不等于0是解题的关键． 16．已知关于x的不等式组的解集是． (1)求的值； (2)若关于x的方程的解是负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】(1)先解出原不等式组，再根据解集是，列出相应的二元一次方程组，解出a、b，再代入计算即可． (2)先解关于x的分式方程，把x用含有m的代数式表示出来，再根据方程的解为负数和分式的分母不能为0列不等式组，求出m的范围即可． 【详解】（1） 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解集为 ∴ 解得 （2）由题意得： 方程两边同时乘以得：. 解得： 方程的解是负数 且 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解的定义，解二元一次方程组．恰当的运用字母表示不等式组的解集及方程的解是解题的关键． 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 17．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解分式方程的方法可以求得m的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：， 方程两边同乘以x-3，得 2x-m=x-3， 移项及合并同类项，得 x=m-3， ∵分式方程的解是非正数，x-3≠0， ∴， 解得，m≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法． 18．已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ） A．a≤－l B．a≤－2 C．a≤1且a≠－2 D．a≤－1且a≠－2 【答案】D 【分析】先解分式方程，求出方程的解，再根据方程有解，得出x+1≠0，且x≤0，建立关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：=1 去分母，得a+2=x+1， 解得，x=a+1， ∵x≤0且x+1≠0， ∴a+1≤0且a+1≠-1， ∴a≤-1且a≠-2， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分母不为0这个条件． 19．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的分式方程的解为非负数，可得，，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴，， 解得，且， 故选：B． 20．已知关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程解得x＝；再根据分式方程的解为非负数，列出不等式组，解得m≤5且m≠3，即可求出满足条件的所有正整数m． 【详解】解：由2﹣， 得2（x﹣1）+m＝3， 解得x＝， ∵分式方程的解为非负数， ∴≥0， ∵x﹣1≠0， 即≠1， ∴， 解得m≤5且m≠3， ∴满足条件的所有正整数m为1，2，4，5，共4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了分式方程的解和不等式组的解，解题的关键是分式方程化成整式方程，根据条件列出不等式组求解． 21．关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 关于的方程的解为非负数， ， 解得； ， ， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 22．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键．先解分式方程，利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， ∵x为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴，即， ∴m的取值范围是且， 故答案为：且． 23．关于的方程的解为非负数，求自然数 ． 【答案】0；1；2 【分析】根据分式方程求解步骤得到关于方程的解，再根据题意进行判断即可求解； 【详解】两边同时乘以得：， 移项得： ， 化简得： ， 解得： ， ∴， 两边，得： ， 解之得： ． ∴的值为，，． 【点睛】本题主要考查知道分式方程的解情况求参数，掌握分式方程的求解步骤是解题的关键． 24．已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案． 【详解】解：， 去分母得： 解得， ∵， ∴且， 解得且， ∴k的取值范围是且． 【点睛】此题考查了分式方程的解，正确进行分式的计算是解题的关键． 题型四、分式方程的增根问题 25．若关于的分式方程有增根，则关于的不等式的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，求不等式的整数解．首先由分式方程有增根确定m的值，再代入不等式求解其最小整数解． 【详解】解：分式方程两边同乘， 得： 化简得：， 解得， 当方程有增根时，增根为，代入得：， 解得． 将代入不等式， 得：， 解得， 故不等式的最小整数解为． 故选D． 26．关于x的方程有增根，则k的值为（   ） A．6 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先将方程两边都乘以得到整式方程，再将分式方程的增根代入整式方程求解可得． 【详解】解：方程两边都乘以，得， ∵原方程有增根， ∴， 解得， 把代入中， 得． 故选：A． 27．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的概念是解题的关键．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为． 当分母为零时，增根为． 将方程变形：，合并分式得． 两边乘以，得，化简为． 整理得，即． 将增根代入，得，解得． 故的值是． 故选：B． 28．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值． 将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到的值，代入整式方程进行求解． 【详解】解： ， ∵关于的分式方程有增根， ∴，解得：， 故选：． 29．若关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解求参数，去分母得，由原方程无解得，即可求解；理解分式方程的增根是化简后对应整式方程的根是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， ， 原方程有增根， ， ∴ 解得：， 故答案：． 30．关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：． 31．若分式方程有增根，求a的值． 【答案】0． 【分析】根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于a的一元一次方程，根据解方程，可得出答案． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，． 答：的值为0． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程，再求出a的值． 32．已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 【答案】-2 【分析】先化分式方程为整式方程，确定增根产生时的未知数x的值，分别代入整式方程即可得解． 【详解】因为， 去分母，得； 因为分式方程有增根， 所以， 当时，得，不可能， 此时a值不存在； 当即时，得， 解得． 故a的值为-2． 【点睛】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握增根产生的原因及其求解的方法是解题的关键． 题型五、分式方程的无解问题 33．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 34．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 35．若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程解得情况，求参数的值．解题的关键是掌握整式方程无解和分式方程有增根时，分式方程无解，是解题的关键．先将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：方程去分母，得：， 即 ∵整式方程有解， ∴当分式方程有增根时，分式方程无解， ∴， 将，代入整式方程，得：， 即：； 故选：A． 36．若关于x的分式方程无解，则a的值是（  ） A．3或2 B．1 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键．先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解： ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：当或时，分式方程无解， 故选：C． 37．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤得到，当，即时，此时方程无解；当，则原方程有增根，即或，进而可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，此时方程无解； 当时， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 38．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解方程无解的含义、掌握求解的方法是关键； 分式方程去分母化为整式方程，根据方程无解可得x的值，代入整式方程即可求出答案． 【详解】解：去分母，得， ∵原分式方程无解， ∴当方程产生增根时方程无解， 即当时方程无解， 代入上述整式方程可得； 故答案为：3． 39．若关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得：． 40．若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 41．如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，正确的掌握这两个知识点是解题的关键．解分式方程可得，求出a为1、3、6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的取值范围，则满足条件的整数a有两个． 【详解】解： 当时， 解得：， ∵方程有正整数解，且即， ∴、3、6， 解不等式组， 解得， 关于y的不等式组至少有两个偶数解， ∴， ∴， ∴满足条件得整数a有两个， 故选：C． 42．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 43．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 解不等式组求出的取值范围，再根据方程有非负整数解，求出的值，可得结论． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集为， ， ． ， ， ． 方程有非负数解， ，，， 所有符合条件的整数的和为． 故选C． 44．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故选：C． 45．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是 ． 【答案】14 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数，分别求出不等式组的解集，分式方程的解，根据解集和解的情况求出的取值范围，确定整数的值，求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程有整数解， ∴为整数，且， ∴， ∴， 解，得：， ∵使关于的不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：14． 46．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，掌握解不等式的方法，取值方法，分式方程解法等知识是解题的关键． 根据解不等式组的方法，m取值的方法先算出的取值范围，再解分式方程，得到方程的解，结合题意找出符合题意的m的值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵不等式组至多有三个整数解， ∴， ∴， ， 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴取1，2，3，6， 此时m取0，1，2，5， ∵， ∴m不能去2， ∴所有满足条件的整数的值为1，5， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：6 47．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整． 解：步骤1：由不等式①，解得 ． 由不等式②，解得 ． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是 ． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ． 请继续写出下面的解答过程． 步骤3： ． 【答案】x＜4；；；； 且 【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，根据解是正数，且不是增根，得到a的最终范围即可． 【详解】解：解：步骤1：由不等式①，解得x＜4． 由不等式②，解得． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝， ∵关于y的分式方程＝4的解是正数，且 ， ∴ ，且 ， 解得： 且 ， ∴a的取值范围为 且． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键． 48．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 【答案】1/1个 【分析】根据分式方程的解、增根的定义确定m的取值范围，再根据一元一次不等式组的整数解的个数进一步确定m的取值范围，进而确定整数m的值即可．本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解整数解的定义是正确解答的关键． 【详解】解：解分式方程，去分母，得：， 解得， 方程的解为正数， ∴ 解得：， 当时是方程的增根， ， 解得， 且； 解不等式组，由， 解得， 由， 解得， 此不等式组有且仅有3个整数解， ， ， 综上，； 所有符合条件的整数的值为5，共1个 故答案为：1． 题型七、分式方程的解新定义问题 49．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式，考查了新运算；理解新运算是关键．由新运算得关于x的分式方程，解方程，根据解为非负数得不等式，解不等式即可．但要注意，分式方程无解时m的取值要去掉． 【详解】解：∵， ∴， 解方程得：； 由于方程有解，则，即； 由题意得：， 解得：； 综合起来，m的取值范围为且； 故选：B． 50．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出方程，注意分式的分母不为0的条件是解答的关键．先根据题中新定义得方程为，然后解方程为，根据方程的解得且，进而求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 去分母，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴且 解得且， 故答案为：且． 51．定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴，， 解得：，， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键． 52．定义新运算“*”，规定，若的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据定义的新运算得到，解得，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】根据题意知：， ∵， ∴， 解得， 又的解为正数，且 ∴， 解得，且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查分式方程的解和解分式方程，解题的关键是将新定义运算转化为所熟悉的分式方程． 53．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴，， 解得：，， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键． 54．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 55．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①打√；②打“×” (2)4 (3)或 【分析】（1）①根据题意，得分式方程的解为， 满足题意，打√；②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． （2）根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，得到关于x的分式方程的解为，根据方程同解，建立等式解答即可． （3）根据数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，得的解为，继而得到，整理，得 ，得，根据关于的方程有整数解，整理，得，得到，得到，根据方程有整数解，分类解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得分式方程的解为， 又， 故满足关于的分式方程的解是成立， 满足题意，故打√； 故答案为：√； ②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． 故答案为：“×”． （2）解：根据数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴关于x的分式方程的解为， ∵的解为， ∴， 解得， ∵， 故． （3）解：∵数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴的解为， ∴， 整理，得， ∴， ∵关于的方程有整数解， 整理，得， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∵，且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，整数解的理解，整数解的计算，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 56．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 1．（2025年-河北·一模）已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数的所有个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程的解是正数，所以且，进而推断出且．进一步可得出结论． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， ∴符合条件的非正整数为0，，共4个． 故选：C． 2．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得：， ∵，即：， ∴， 又∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验． 3．（2025年-江苏苏州·一模）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解方程可得，再由方程的解是正数，即且，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程的解是正数， ∴且， ∴，且，解得：且． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、解一元一次不等式等知识点，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键． 4．（2025年-四川德阳·一模）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程． 先求出，得到，再根据分式方程有解得到，最后根据分式方程有正整数解求出符合条件的所有整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组， 得 不等式组至少有3个整数解， ， ． 解分式方程得． ∵分式方程有解， ， ， ． 分式方程有正整数解， 是正整数且， 符合条件的所有整数为，， 符合条件的所有整数的和是 故答案为：6． 5．（2025年-广东佛山·一模）若关于的不等式组所有整数解的和为14，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】14 【分析】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行计算求解．关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组所有整数解的和为14， 该不等式组的整数解为或， 或， 解得或； 解分式方程， 得， 解为非负整数， 这种情况应舍去， ，即且为偶数， 由题意得，当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 所有满足条件的整数的值为8、6， ， 所有满足条件的整数的值之和为14， 故答案为：14． 6．（2025年-浙江衢州·一模）已知关于y的分式方程的解为非负整数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识点，掌握分式方程和一元一次不等式组的解法成为解题的关键． 先解不等式方程组的解，然后确定a的取值范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和a的范围，从而确定a的可能值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则不等式方程组的解为，， ∵关于不等式组有解且至多三个整数解， ∴，解得：， ， 去分母得，， 去括号、移项得，， 系数化为1得，， ∵为分式方程的增根， ∴，解得：， ∵y的分式方程解为非负整数， ∴，解得， ∴且， ∴当时，； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，； 则所有满足条件的整数a的和为． 故答案为:6． 7．已知关于x的分式方程 (1)已知m=4，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求m的值． 【答案】(1)x＝−1 (2)m＝−1或−6或． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝−2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值． 【详解】（1）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1， 整理得：（m＋1）x＝−5． 当m＝4时，（4＋1）x＝−5， 解得：x＝−1 经检验：x＝−1是原方程的解． （2）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1， 整理得：（m＋1）x＝−5． ∴ ∵分式方程无解， ∴m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0， 当m＋1＝0时，m＝−1； 当（x＋2）（x−1）＝0时，x＝−2或x＝1． 当x＝−2时m＝； 当x＝1时m＝−6， ∴m＝−1或−6或时该分式方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 8．【建构模型】 对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或． 又因为， 所以关于的方程有两个解，分别为，． 【应用模型】 利用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)关于的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得，； （2）将已知方程变形为，则可得或，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：， ， ， 或， 或， 又， ，， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，根据题中所给的方法，将方程进行适当的变形，利用整体思想是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 2 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 3 题型四、分式方程的增根问题 5 题型五、分式方程的无解问题 6 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 8 题型七、分式方程的解新定义问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1．若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 4．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 6．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 7．关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 8．若关于x的分式方程的解为正数，求k的取值范围． 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 9．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 10．关于的分式方程的解是负数，则字母的取值范围是（　　） A． B．3且2 C． D．3且2 11．关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 12．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 13．如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 14．如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 15．当m为何值时，关于x的方程﹣＝的解为负数？ 16．已知关于x的不等式组的解集是． (1)求的值； (2)若关于x的方程的解是负数，求m的取值范围． 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 17．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ） A．a≤－l B．a≤－2 C．a≤1且a≠－2 D．a≤－1且a≠－2 19．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 20．已知关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 21．关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 22．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 23．关于的方程的解为非负数，求自然数 ． 24．已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围． 题型四、分式方程的增根问题 25．若关于的分式方程有增根，则关于的不等式的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 26．关于x的方程有增根，则k的值为（   ） A．6 B． C． D．2 27．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 28．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．若关于的分式方程有增根，则 ． 30．关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ． 31．若分式方程有增根，求a的值． 32．已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 题型五、分式方程的无解问题 33．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 34．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 35．若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 36．若关于x的分式方程无解，则a的值是（  ） A．3或2 B．1 C．1或2 D．1或3 37．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 38．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 39．若关于的方程无解，求的值． 40．若关于的方程无解，求的值． 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 41．如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 42．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 43．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 44．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 45．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是 ． 46．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 47．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整． 解：步骤1：由不等式①，解得 ． 由不等式②，解得 ． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是 ． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ． 请继续写出下面的解答过程． 步骤3： ． 48．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 题型七、分式方程的解新定义问题 49．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 50．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 51．定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 52．定义新运算“*”，规定，若的解为正数，则m的取值范围是 ． 53．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 54．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 55．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 56．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 1．（2025年-河北·一模）已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数的所有个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2025年-江苏苏州·一模）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（2025年-四川德阳·一模）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 5．（2025年-广东佛山·一模）若关于的不等式组所有整数解的和为14，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 6．（2025年-浙江衢州·一模）已知关于y的分式方程的解为非负整数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 7．已知关于x的分式方程 (1)已知m=4，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求m的值． 8．【建构模型】 对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或． 又因为， 所以关于的方程有两个解，分别为，． 【应用模型】 利用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)关于的方程的两个解分别为，，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$