专题02 分式的化简求值强化练习（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题02 分式的化简求值强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 2 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 3 题型四、分式化简的步骤错误问题 5 题型五、分式化简的新定义问题 5 题型六、分式化简的倒数计算 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分计算括号里的减法，再将除法转化为乘法，约分化为最简分式，再代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算括号里的，把除法转变为乘法，再根据完全平方公式化简，然后计算乘法，最后将代入求解即可． 【详解】解： ， 将代入得：原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则对式子进行化简，再把a的值代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算法则、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 7．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值．先计算括号内的分式的加法运算，再约分后可得结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 9．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先对分式进行化简，通过通分、因式分解等操作将原式化为最简形式；再根据已知方程变形得到与化简后式子相关的部分，代入求值．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和方程变形技巧是解题的关键． 【详解】解：     ； ∵， ∴， 即， 则． 10．化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简代数式再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 11．先化简，再求值：，其中x满足方程：． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算对分式进行化简，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对原式进行化简，通过因式分解和约分简化式子；再根据非负数的性质（平方数和算术平方根均为非负，若和为则各自为 ）求出、的值，最后代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值、因式分解、非负数的性质，熟练掌握分式运算规则和非负数性质（几个非负数的和为，则每个非负数都为 ）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴原式． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据即可得出结论．熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式． 15．先化简：，若，求值． 【答案】化简得，求值得 【分析】本题考查分式的化简和代数式求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简，再利用整体法代入求值即可． 【详解】解： ， 由， 得， ∴原式． 16．先化简，再求值：的值，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入即可求解． 【详解】解： ， 原式． 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 17．先化简：，再从中选合适的数代入求值． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且， 且， ∴， 当时，原式 18．先化简：，再从中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 19．先化简，然后选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是利用分式的运算法则进行化简． 先化简分式，再代入使分式有意义的字母的值求出分式的值． 【详解】解： ∵有意义， ∴，，，， ∴且且， ∴可以取， 当时， 原式． 20．先化简：，从，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算进行化简，再选一个使分式有意义的a的值代入求值． 【详解】解： ． 要使原分式有意义，则， ∴且， ∴当时，原式． 21．先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 22．先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件，得到x的合适的值代入求值即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式． 23．先化简：，再从，，，，中选取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，根据分式有意义的条件可知：，，把或代入化简后的分式计算求值即可． 【详解】解： ， 有意义， ， 解得：，， 当时， 原式， 当时， 原式． 24．先化简，再求值：，其中，选一个合适的整数代入求值. 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，再根据分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定出整数的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】解：原式 ， ∵，且，， ∴整数， 当时， 原式. 题型四、分式化简的步骤错误问题 25．先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法没有分配律，从第②步开始出错； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值代入，计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2） ， 当或2时，原分式无意义， 或4， 当时，原式； 当时，原式 26．以下是某同学化简分式的运算过程： 解：原式① ② ③ (1)上面的运算过程从第 步开始出现错误，请写出正确的解答过程； (2)请从，0，2中任选一个符合条件的数，作为x的值代入求值． 【答案】(1)②，见解析； (2)只能代入，1． 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）根据去括号法则得出答案即可； （2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：第②步出现错误， 原式 ； （2）解：原分式分母为， ， 故只能代入 原式 27．下面是小华化简分式的过程： (1)小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第 步，涉及分式的约分的步骤是第 步； (2)小华的化简过程从第 步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适 的数代入求值． 【答案】(1)一；三 (2)二 (3)，或 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）通分一般用在异分母分式的加减法中，约分一般用在分式的乘除法或者自身化简中，据此求解即可； （2）根据分式的运算法则判断，最开始出现错误是在第二步中前面部分的分子中的没加括号，或其中的2未变号； （3）运用相关运算法则，先化简，再根据分母和除数不为零选择合适的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：一；三； （2）小华的化简过程从第二步开始出现错误，错误原因是在第二步中前面部分的分子中的没加括号，或其中的2未变号， 故答案为：二； （3）原式 ； ∵要使原式有意义， ∴且， 取，则原式， 取，则原式． 28．以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 【答案】任务一：二；通分时候分子分母没有同时乘以；任务二：见解析；任务三：当时，原式（或当时，原式） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 任务一：根据题目中的解答过程可得出结论； 任务二：利用分式的混合运算的法则解答即可； 任务三：找出合适的a的值，代入计算即可求解． 【详解】解：任务一 从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时候分子分母没有同时乘以； 故答案为：二；通分时候分子分母没有同时乘以； 任务二 解：原式 ； 任务三 解：由题得， ∴且， 当且为整数时， 或， ①当时，原式； ②当时，原式． 29．下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则 (2)；0 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则． （1）按照混合运算的运算顺序进行判断即可； （2）先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加减，最后代数求值即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出现错误， 未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； 故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； （2）解：原式， ， 当时，原式． 30．小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式 当时，原式． 【答案】首次出现错误步骤的序号是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据分式的运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：首次出现错误步骤的序号是， 正确的解答：原式， ， ，      ， 当时，原式． 31．以下是某同学化简分式：的部分运算过程： 解：原式① ② ③ 解： (1)上面的运算过程中第________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程，并在“，0，2”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)③； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减法法则即可判断； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将分式有意义的值代入计算即可． 【详解】（1）解：上面的运算过程中第③步出现了错误；错误的原因是没有给添括号， 故答案为：③； （2）解： ， ， 当时，原式． 32．数学课上王老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学对分式进行了_____，依据是_____． ②在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误原因是_____． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是_____； ②从这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)①约分，分式的基本性质；②乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； (2)①；②4 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）①利用分式的相应的运算法则进行分析即可； ②根据去括号的法则解答即可； （2）①利用分式的运算法则进行计算即可； ②根据分式有意义取代入解答即可． 【详解】（1）解：①丁同学对分式进行了约分，依据是分式的基本性质， 故答案为：约分，分式的基本性质； ②从乙同学开始出现错误，错误的原因是：去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； 故答案为：乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； （2）解：①原式 ， 故答案为：； ②∵不能取2和， 故取， 原式． 题型五、分式化简的新定义问题 33．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（    ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可． 【详解】A、，A说法正确； B、，B说法正确； C、由已知条件得：，化简得：，C说法错误； D、由已知得：，，D说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则． 34．定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了分式的化简求值，根据定义得到，整体代入所求分式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 35．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数．则整数取值为： ． 【答案】/ 【分析】由题意直接根据“和谐分式”的定义将分式化简变形即可． 【详解】解：原式 为整数， 当或时， 分式的值为整数，此时或或1或． 又分式有意义时， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 36．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 37．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 38．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)不是的“雅中式”； (2) (3)整数的值为，，，，，，． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式； （2）再化简，根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到是的因数，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 不是的“雅中式”； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：由（2）得， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：，，，，，，，． ， 的值为，，，，，，． 39．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值． 【答案】(1)②③ (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对①②③变形即可得； （2）由原式可得； （3）将原式变形为，据此得出或，即或或1或，又、1、、，据此可得答案． 【详解】（1）①，不是和谐分式； ②，是和谐分式； ③，是和谐分式； 故答案为：②③ （2）， （3）原式 ， 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时、1、、， ． 40．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）根据真假分式的定义判断即可； （2）仿照例题计算即可； （3）先化简，再根据要求确定x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数， ∴是真分式， 故答案为：真． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ∵该式的值为整数，且，0，1， ∴． 题型六、分式化简的倒数计算 41．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：由知，，即① ，故的值为． （1）第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：_______； 第②步运用了乘法公式：________；（法则，公式都用式子表示） 【模仿应用】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值； 【举一反三】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． （1）根据分式加法的逆运算法则，完全平方公式的变形进行解答； （2）仿照例题计算即可； （3）将已知三个等式相加，得到，再利用倒数法解答． 【详解】（1）解：第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：； 第②步运用了乘法公式：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键．把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴的值为． 43．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题，解决本题的关键是读懂题目中的解题思路，仿照材料中的思路进行解答． 仿照材料中的思路把取倒数，可得：，化简可得：； 设知，可得：，，，然后代入代数式，可得：原式，化简即可求出结果； 把方程组中的两个方程分别取倒数，可得：，，解方程组分别求出和，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：， ， ， 移项得：， 故答案为：； （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． 45．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，可知， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 46．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， 所以，所以的值为． 说明：该题的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面题目：已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将代入可得结论． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， （2）解：， ， ， ， ， ． 47．阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． （1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （3）解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 48．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子．从而达到快速解答问题的目的． 比如在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务： (1)若，则代数式的值为______． (2)已知． ①求的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】本题考查分式的变形化简求值，解题的关键是运用倒数法将分式变形，再利用分式基本性质进行化简计算。 （1）通过将已知分式取倒数，根据分式性质进行变形，进而求出代数式的值； （2）通过将已知分式取倒数，根据分式性质进行变形，进而求出代数式的值。 【详解】（1） 故答案为：; （2）解：① 解：②∵ 由(1)知, 1．（2025年-河北邯郸·一模）（1）化简：． （2）从，1，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2）当时，4 【分析】本题考查的是分式的化简求值； （1）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可； （2）根据分式有意义的条件把代入（1）中化简后的代数式进行计算即可. 【详解】解：（1） ； （2）当，3时，分式无意义， 当时，原式. 2．（2025年-河北石家庄·一模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式运用分式性质化简变形后，由已知等式求出，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 3．（2025年-河北唐山·一模）先化简， 再求值：   其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】原式 ； 当时， 原式． 4．已知 （1）化简； （2）若，求的值； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把括号内通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简； （2）先根据非负数的性质求出ab的值，然后代入化简的结果中计算即可 【详解】解：（1） = ； （2）∵， ∴，， ∴a=-1，b=3， ∴． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握分式的运算法则以及非负数的性质是解答本题的关键． 5．（2025年-安徽阜阳·一模）先化简:，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法运算． 【详解】解: 原式 ，且为整数 使式子有意义， 当时，原式． 【点睛】考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 6．（2025年-江苏南通·一模）先化简，再计算：，其中m满足使关于x的二次三项式是完全平方式． 【答案】， 【分析】先根据分式四则混合运算的法则化简分式，然后再根据完全平方公式的特点确定m的值，最后将m的值代入即可． 【详解】解：原式＝ ＝÷， ＝， ＝， ∵m满足使关于x的二次三项式是完全平方式， ∴， ， 分式的分母不为0， ， ，且， ， ∴原式＝＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式的特点，掌握完全平方公式的特点和分式的四则混合运算法则是解答本题的关键． 7．先化简，再求值：，其中x所取的值是在-2<x≤3内的一个整数． 【答案】，6或-2或． 【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x的取值不能使原式的分母、除式为0． 【详解】解： ， ∵x所取的值是在-2<x≤3内的一个整数，且x的取值不能使代数式和的分母为0， ∴x的值只能是：-1，1，3， 当x=-1时，原式=6， 当x=1时，原式=-2， 当x=3时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 8．化简分式：,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】x+2；当x=1时，原式=3． 【分析】先把分子分母因式分解，约分，再计算括号内的减法，最后算除法，约分成最简分式或整式；再选择使分式有意义的数代入求值即可． 【详解】解： =x+2， ∵x2-4≠0，x-3≠0， ∴x≠2且x≠-2且x≠3， ∴可取x=1代入，原式=3． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件． 9．（2025年-浙江湖州·一模）阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）由．再把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1）得， ∴． ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式的化简求值强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 2 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 3 题型四、分式化简的步骤错误问题 5 题型五、分式化简的新定义问题 5 题型六、分式化简的倒数计算 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 7．先化简，再求值，其中． 8．先化简，再求值：，其中． 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 9．先化简，再求值：，其中x满足． 10．化简求值：已知，，求代数式的值． 11．先化简，再求值：，其中x满足方程：． 12．先化简，再求值：，其中． 13．先化简，再求值：，其中． 14．先化简，再求值：，其中． 15．先化简：，若，求值． 16．先化简，再求值：的值，其中． 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 17．先化简：，再从中选合适的数代入求值． 18．先化简：，再从中选取一个合适的数代入求值． 19．先化简，然后选一个你喜欢的数代入求值． 20．先化简：，从，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 21．先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 22．先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 23．先化简：，再从，，，，中选取一个数代入求值． 24．先化简，再求值：，其中，选一个合适的整数代入求值. 题型四、分式化简的步骤错误问题 25．先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． 26．以下是某同学化简分式的运算过程： 解：原式① ② ③ (1)上面的运算过程从第 步开始出现错误，请写出正确的解答过程； (2)请从，0，2中任选一个符合条件的数，作为x的值代入求值． 27．下面是小华化简分式的过程： (1)小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第 步，涉及分式的约分的步骤是第 步； (2)小华的化简过程从第 步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适 的数代入求值． 28．以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 29．下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 30．小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式 当时，原式． 31．以下是某同学化简分式：的部分运算过程： 解：原式① ② ③ 解： (1)上面的运算过程中第________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程，并在“，0，2”中选择一个合适的数代入求值． 32．数学课上王老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学对分式进行了_____，依据是_____． ②在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误原因是_____． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是_____； ②从这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 题型五、分式化简的新定义问题 33．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（    ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 34．定义新运算：，若，则的值是 ． 35．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数．则整数取值为： ． 36．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 37．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 38．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 39．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值． 40．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 题型六、分式化简的倒数计算 41．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：由知，，即① ，故的值为． （1）第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：_______； 第②步运用了乘法公式：________；（法则，公式都用式子表示） 【模仿应用】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值； 【举一反三】 （3）已知，，，求的值． 42．阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 43．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 44．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 45．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 46．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， 所以，所以的值为． 说明：该题的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面题目：已知，求： (1)的值； (2)的值． 47．阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 48．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子．从而达到快速解答问题的目的． 比如在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务： (1)若，则代数式的值为______． (2)已知． ①求的值． ②求的值． 1．（2025年-河北邯郸·一模）（1）化简：． （2）从，1，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 2．（2025年-河北石家庄·一模）已知，求代数式的值． 3．（2025年-河北唐山·一模）先化简， 再求值：   其中． 4．已知 （1）化简； （2）若，求的值； 5．（2025年-安徽阜阳·一模）先化简:，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 6．（2025年-江苏南通·一模）先化简，再计算：，其中m满足使关于x的二次三项式是完全平方式． 7．先化简，再求值：，其中x所取的值是在-2<x≤3内的一个整数． 8．化简分式：,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值． 9．（2025年-浙江湖州·一模）阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$