专题04 分式与分式方程的实际应用问题（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题04 分式与分式方程的实际应用问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式加减的应用 1 题型二、分式乘除的应用 2 题型三、列分式方程 3 题型四、分式方程的行程问题 5 题型五、分式方程的工程问题 6 题型六、分式方程的经济问题 8 题型七、分式方程和差倍分问题 8 题型八、分式方程的其他实际问题 8 题型九、分式方程的新定义应用 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式加减的应用 1．某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 2．小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 3．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 4．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 5．某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是奇奇和嘉嘉的对话，请根据对话内容回答问题． 奇奇：“如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的采光条件会不会更好？” 嘉嘉：“我们可以具体算一下：假设某住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好．” (1)请你通过计算，验证嘉嘉的说法． (2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好吗？请说明理由． 题型二、分式乘除的应用 6．浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 7．2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 8．学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 9．某小区为了进一步美化环境，物业计划安排绿化施工队在小区里的一块空地上种植棵树，若甲队单独完成，则需要天，若乙队单独完成，则需要的时间比甲队的2倍多1天，则甲队平均每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由． 10．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 题型三、列分式方程 11．槐荫黄河生态半程马拉松于年月日进行，谷雨节气，黄河堤上，跑者共赴生态之约，他们用脚步丈量这条黄河岸边最美的赛道，选手小明和小刚参与半程马拉松项目，路线长约．小明的平均速度比小刚快，小明比小刚少用分钟，设小刚的平均速度为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 12．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 13．甲乙两人骑自行车，从相距千米的、两地同时出发，相向而行，甲从地出发至千米时，想起有东西忘在地，既返回去取，又立即从地向地行进，甲乙两人恰好在的中点相遇已知甲的速度比乙的速度快千米小时求甲乙两人的速度？设乙的速度是千米小时，则所列方程是 ． 14．项目学习方案： 项目情景 数学阅读有助于拓展同学们数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力．为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》、《几何原本》等书籍供同学们阅读． 素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍． 任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程：①　　　； 数学兴趣小组成员小明设②　　　，由题意得方程：． 素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成 页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填　　　，横线②处应填　　　； (2)完成任务二． 15．作为我国八纵八横高铁网的重要组成部分，集太原高铁预计在2024年年底开通，届时呼和浩特至太原旅行时间将大大缩减．经查询，呼和浩特到太原目前只有动车，两地动车路程为610公里．新的高铁运行路线开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 题型四、分式方程的行程问题 16．解答下列问题时，小张和小李两位同学写出了不完整的解答过程． 学校组织春季“远足”，学生队伍从学校出发后，做后勤保障的老师带着保障用品，骑自行车从学校出发，在距离学校处追上学生队伍．已知老师的速度是学生的速度的倍，求老师和学生的速度各是多少？ 小张：． 小李：设学生的速度为． 根据以上信息，解答下列问题． (1)小张所列方程中的表示___________； (2)根据小李设的未知数，列方程并解答． 17．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 18．现有不同型号的无人机甲和乙，两人操作无人机甲、乙从空中不同起点沿同一飞行路径同时开始飞行（如图1），无人机甲从点向点运动，无人机乙从点向点运动，到达点后均停止运动，设无人机甲、乙与点的距离分别为（米），（米），飞行时间为秒，，与的函数关系图象如图2．已知甲在飞行20秒后的速度比20秒前的速度增加了1米/秒． (1)求与的函数解析式； (2)当甲到点的距离为30米时，求的值； (3)若甲在距离点的10米内（含10米）追上乙，求乙的飞行速度米/秒的取值范围． 19．随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 20．近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； (2)设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 题型五、分式方程的工程问题 21．早春三月，草长莺飞，万物复苏，在这春意盎然的季节里，某县开展“植”此青绿，播种希望的义务植树活动．该县计划完成总植树任务720棵，由于学生志愿者的支援，实际每天植树量比原计划每天多植，结果提前3天完成任务，求原计划每天植树多少棵． 22．为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 23．某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 24．某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 25．列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 题型六、分式方程的经济问题 26．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 27．奶茶店推出如下两款果茶，相关信息如下．已知销售A款共收入400元，B款共收入480元，其中每杯A款和B款的售价比为，B款比A款多卖20杯． A款配料 B款配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 (1)分别求、两款果茶每杯的售价； (2)现准备了茉莉清茶（）和芝士用于制作、两款果茶，要求茉莉清茶全部用完，不能剩余，芝士消耗量不少于，则最多可以制作B款果茶多少杯？ 28．列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． (1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ (2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多．求每个B牌修正带的价格？ 29．洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 30．某水果商店购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示． 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 18 23 已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同． (1)求表中的值； (2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，从进货到全部卖完两种水果均有的损坏．如果设将所有完好水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 题型七、分式方程的和差倍分问题 31．一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 32．今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 33．宇树公司设计的人形机器人亮相年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的倍．一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．问这两种型号的数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 34．开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 35．生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 题型八、分式方程的其他实际问题 36．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 37．“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 38．某淘宝店主准备从广州一家服装店购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍． (1)求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ (2)该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利超过7160元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 39．洛阳唐三彩以黄、绿、白三色为主，造型多样，色彩斑斓，具有极高的艺术价值；南阳玉雕，主要以独山玉为原料，雕刻题材广泛，技艺精湛，造型优美，质地细腻．某旅行团在特产商店准备购进洛阳唐三彩和南阳玉雕，已知每套玉雕比每套唐三彩贵元，用元购买的玉雕套数和元购买的唐三彩套数相同． (1)求唐三彩和玉雕每套各多少元； (2)若该旅行团欲购买唐三彩和玉雕共套，且预算不低于元，不超过元，有几种购买方案? 40．某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍． (1)以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话： 请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量； (2)某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？ 题型九、分式方程的新定义应用 41．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 42．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 43．定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 44．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 45．定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 1．（2025年·江苏南京·一模）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 2．（2025年·山东聊城·一模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． ，两种型号车的进货和销售价格如下表： 型车 型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 3．（2025年·湖北宜昌·一模）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． 4．列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 5．为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元． (1)求两种足球的单价； (2)为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？ 6．（2025年·北京·一模）2022年北京中考体育考试进行改革，现初二、初一考生，中考体育分数50分，包含过程性考核．八年级第一学期体质健康测试以及八年级第二学期的体育与健康知识考核，共计20分．为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？ 7．（2025年·四川成都·一模）“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？ (2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 8．（2025年·浙江宁波·一模）某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下： 种别 种 种 进价（元） 18 12 备注 1.用不超过16800元购进两种图书共1000； 2.种图书不少于600本； （1）已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本，请求出两种图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式与分式方程的实际应用问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式加减的应用 1 题型二、分式乘除的应用 2 题型三、列分式方程 3 题型四、分式方程的行程问题 5 题型五、分式方程的工程问题 6 题型六、分式方程的经济问题 8 题型七、分式方程和差倍分问题 8 题型八、分式方程的其他实际问题 8 题型九、分式方程的新定义应用 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式加减的应用 1．某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 【答案】A 【分析】设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，得出取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为元/千克，取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为元/千克，然后再比较大小即可． 【详解】解：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为： （元/千克）， 取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为： （元/千克）， ∵， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，解决本题的关键是根据题意求出甲、乙两种“什锦糖”的单价． 2．小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，用合适的分式表示出来． 【详解】解：∵小明上坡路走的时间：，下坡路走的时间：， 总时间为：； 小丽花费的时间为：， ∴． ∴小丽比小明在路上花费的时间少． 故选：B． 3．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴ 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B 4．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 5．某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是奇奇和嘉嘉的对话，请根据对话内容回答问题． 奇奇：“如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的采光条件会不会更好？” 嘉嘉：“我们可以具体算一下：假设某住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好．” (1)请你通过计算，验证嘉嘉的说法． (2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好吗？请说明理由． 【答案】(1)窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好 (2)如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 【分析】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键． （1）根据题意计算出窗户面积和地板面积同时增加1平方米时窗户面积与地板面积的比值，与原比值进行比较即可； （2）根据题意表示出窗户面积和地板面积同时增加1平方米是窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米， ． ， 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好． （2）解：如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 理由：住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，．， 又， ，． ． ． 如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 题型二、分式乘除的应用 6．浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数的除法，根据题意分别求得总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤，进而根据溶质除以溶液，即可求解． 【详解】解：浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤，浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤． 总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤． 混合后的浓度为： 故选：D． 7．2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，比较法在不等式大小比较中的应用，设两次购买的皮皮虾单价分别为a，，且，将购买的皮皮虾的平均单价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小． 【详解】解：设两次购买的皮皮虾单价分别为a，，且， 小明方案：设购买的皮皮虾的总金额为W，则平均价格； 小明妈妈方案：设每次购买的数量为N，则平均价格， 则， ∵ ∴，， ∴， ∴，小明方案实惠． 故选：B． 8．学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 【答案】D 【分析】本题考查了浓度，分式的除法等知识，设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为，根据浓度=溶质质量÷溶液体积可得出原浓度，新浓度为，然后发局分式的除法法则计算即可． 【详解】解：设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为， 则原浓度，新浓度为， ∴浓度变化的倍数为， 即中药的浓度变为原来的1.2倍， 故选：D． 9．某小区为了进一步美化环境，物业计划安排绿化施工队在小区里的一块空地上种植棵树，若甲队单独完成，则需要天，若乙队单独完成，则需要的时间比甲队的2倍多1天，则甲队平均每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由． 【答案】甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如见解析 【分析】此题考查了分式的乘除运算，解题的关键是读懂题意列出式子．由题意可知，甲队平均每天植树的棵数为，乙队平均每天植树的棵数为，再作商比较即可． 【详解】解：甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如下： 由题意可知，甲队平均每天植树的棵数为，乙队平均每天植树的棵数为， 则， ， ， ， 甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍． 10．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 题型三、列分式方程 11．槐荫黄河生态半程马拉松于年月日进行，谷雨节气，黄河堤上，跑者共赴生态之约，他们用脚步丈量这条黄河岸边最美的赛道，选手小明和小刚参与半程马拉松项目，路线长约．小明的平均速度比小刚快，小明比小刚少用分钟，设小刚的平均速度为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小刚的平均速度为，根据题意列出分式方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小刚的平均速度为， 由题意得，， 故选：． 12．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出等量关系是解题的关键．由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．慢马所需时间为，快马速度为，所需时间为．根据路程相等，建立方程，即可解答． 【详解】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得 ， 由①，得， 将③代入②，得 ， 化简后得： 即． 故选D． 13．甲乙两人骑自行车，从相距千米的、两地同时出发，相向而行，甲从地出发至千米时，想起有东西忘在地，既返回去取，又立即从地向地行进，甲乙两人恰好在的中点相遇已知甲的速度比乙的速度快千米小时求甲乙两人的速度？设乙的速度是千米小时，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 化简得：， 故答案为：． 14．项目学习方案： 项目情景 数学阅读有助于拓展同学们数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力．为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》、《几何原本》等书籍供同学们阅读． 素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍． 任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程：①　　　； 数学兴趣小组成员小明设②　　　，由题意得方程：． 素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成 页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填　　　，横线②处应填　　　； (2)完成任务二． 【答案】(1)40，3000元可购买《古今数学思想》的数量是套. (2)5 【分析】 （1）由《几何原本》及《古今数学思想》单价间的关系，可得出每套《几何原本》的价格为1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，可列出关于x的分式方程；利用单价＝总价÷数量，结合小明所列方程，即可找出y的含义； （2）利用读书时间＝读书总页数÷每天读书页数，结合阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1） 解：∵《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍，且每套《古今数学思想》的价格为x元， ∴每套《几何原本》的价格为元， 又∵3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套， ∴可列出方程 ． ∵单价＝总价÷数量，结合小明所列方程为， ∴y表示3000元可购买《古今数学思想》的数量． 故答案为：，3000元可购买《古今数学思想》的数量套； （2） 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：m的值为5． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用、由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．作为我国八纵八横高铁网的重要组成部分，集太原高铁预计在2024年年底开通，届时呼和浩特至太原旅行时间将大大缩减．经查询，呼和浩特到太原目前只有动车，两地动车路程为610公里．新的高铁运行路线开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 【答案】204公里/小时 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握理解题意，找到等量关系是解题的关键． 高铁的平均速度为公里/小时，则动车的平均速度为公里/小时，先表示出时间，再根据呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半建立方程． 【详解】解：设高铁的平均速度为公里/小时， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 是原方程的解，且符合题意， 答：高铁的平均速度为204公里/小时． 题型四、分式方程的行程问题 16．解答下列问题时，小张和小李两位同学写出了不完整的解答过程． 学校组织春季“远足”，学生队伍从学校出发后，做后勤保障的老师带着保障用品，骑自行车从学校出发，在距离学校处追上学生队伍．已知老师的速度是学生的速度的倍，求老师和学生的速度各是多少？ 小张：． 小李：设学生的速度为． 根据以上信息，解答下列问题． (1)小张所列方程中的表示___________； (2)根据小李设的未知数，列方程并解答． 【答案】(1)学生走用的时间； (2)方程见解析，学生的速度为，老师的速度为． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，涉及追及问题中的时间、速度与路程关系，以及如何根据题意建立正确的方程． （1）需要分析小张所列方程中未知数的含义； （2）根据小李设的学生速度，利用老师和学生行驶路程相同但时间不同的关系来列方程． 【详解】（1）解：分析方程， 右边，已知老师的速度是学生的速度的倍， 因此应为学生的速度，x为学生从出发到被老师追上，学生用的时间． 左边表示老师的速度，而学生比老师多用1小时，因此实际上是老师的时间． 小张的方程中，x表示由学生走用的时间；． （2）解；设学生的速度为，则老师的速度为，由题得 解得 经检验，为方程的根 学生的速度为，则老师的速度为． 17．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】规定时间为7天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用． 找出等量关系，根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得 解得 经检验，是所列分式方程的解， 答：规定时间为7天． 18．现有不同型号的无人机甲和乙，两人操作无人机甲、乙从空中不同起点沿同一飞行路径同时开始飞行（如图1），无人机甲从点向点运动，无人机乙从点向点运动，到达点后均停止运动，设无人机甲、乙与点的距离分别为（米），（米），飞行时间为秒，，与的函数关系图象如图2．已知甲在飞行20秒后的速度比20秒前的速度增加了1米/秒． (1)求与的函数解析式； (2)当甲到点的距离为30米时，求的值； (3)若甲在距离点的10米内（含10米）追上乙，求乙的飞行速度米/秒的取值范围． 【答案】(1) (2)5秒或30秒 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分两种情况：当时，，当时，，分别求出结果即可； （3）分别求出甲刚好在距离点的10米处追上乙或甲在终点追上乙时，乙的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，设与的函数解析式为， 将代入得， 解得， ∴当时，与的函数解析式为； ∵20秒前甲的飞行速度为（米/秒），且甲在飞行20秒后速度比20秒前的速度增加了1米/秒， ∴甲在20秒后速度为3米/秒， ∴（米）， 当时，设与的函数解析式为， 将代入得， 解得， ∴当时，与的函数解析式为， 综上所述，与的函数解折式为， （2）解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 综上所述，当甲到点的距离为30米时，的值为5秒或30秒； （3）解：若甲刚好在距离点的10米处追上乙，则相遇点与点距离为110米， 则， 解得（米/秒）， 经检验是原方程的解，且符合实际； 若甲在终点追上乙，则（米/秒）， ∴的取值范围为． 19．随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【答案】(1)高铁的平均速度为300千米/时 (2)王老师能在开会之前赶到 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），设普快的平均速度为x千米/时，可得高铁的速度，再根据时间的差等于3.2小时列出分式方程，检验可得答案； 对于（2），先求出王老师实际所需时间，再和规定时间比较可得答案． 【详解】（1）解：设普快的平均速度为x千米/时，则高铁的速度为千米/时，根据题意得： ，          解得：．                           经检验，是原方程的解，          ． 答：高铁的平均速度为300千米/时． （2）解：王老师能在开会之前赶到，                （小时），          （小时），         ∵， ∴王老师能在开会之前赶到． 20．近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； (2)设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元； (2)当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】（1）利用行驶路程总行驶费用每千米的行驶费用，结合两车在相同路段且行驶里程相同，列出分式方程，解方程即可； （2）利用年使用费用行驶费用其它费用，可用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用，再分，及三种情况，求出x的取值范围或x的值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元； （2）纯电动汽车的年使用费用为元，燃油车的年使用费用为元， 当时，， 当时，购买燃油车比较划算； 当时，， 当时，购买纯电动汽车和燃油车均可； 当时，， 当时，购买纯电动汽车比较划算． 答：当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算． 题型五、分式方程的工程问题 21．早春三月，草长莺飞，万物复苏，在这春意盎然的季节里，某县开展“植”此青绿，播种希望的义务植树活动．该县计划完成总植树任务720棵，由于学生志愿者的支援，实际每天植树量比原计划每天多植，结果提前3天完成任务，求原计划每天植树多少棵． 【答案】40棵 【分析】本题考查了分方程的应用，设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据该县计划完成总植树任务720棵，实际每天植树量比原计划每天多植，结果提前3天完成任务，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树x棵，根据题意可列方程为： ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天植树40棵． 22．为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 23．某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花180棵，乙种花120棵； (2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花180棵，乙种花120棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 24．某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)最多安排甲公司工作16天 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司天，根据甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，若安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式得出y的取值范围，再由安装教室100间，进一步确定y的取值范围，即可得出结果． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作y天，则乙公司天， 由题意得：， 解得：， 同时需满足：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为16， 答：最多安排甲公司工作16天． 25．列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 题型六、分式方程的经济问题 26．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 【答案】(1)采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，理解题意合理列出关系式是解题的关键． （1）设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元，根据题意列出分式方程求解，即可解题； （2）设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台，根据题意列出不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元， 由题意得，， 解得，， 经检验是原分式方程的解， 答：采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台， 根据题意得， 解得， 因为a为正整数，所以一共有4种方案， 答：该公司共有4种采购方案． 27．奶茶店推出如下两款果茶，相关信息如下．已知销售A款共收入400元，B款共收入480元，其中每杯A款和B款的售价比为，B款比A款多卖20杯． A款配料 B款配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 (1)分别求、两款果茶每杯的售价； (2)现准备了茉莉清茶（）和芝士用于制作、两款果茶，要求茉莉清茶全部用完，不能剩余，芝士消耗量不少于，则最多可以制作B款果茶多少杯？ 【答案】(1)每杯A款的售价是元，每杯B款的售价是元 (2)7杯 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每杯B款的售价是元，则每杯A款的售价是元，根据B款比A款多卖20杯建立方程求解即可； （2）设制作A款果茶杯，B款果茶杯，根据茉莉清茶的消耗量可得方程 解得，再根据芝士的消耗量列出不等式求出m的取值范围，进而求出n的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设每杯B款的售价是元，则每杯A款的售价是元， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：每杯A款的售价是元，每杯B款的售价是元； （2）解：设制作A款果茶杯，B款果茶杯， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， ∴ 解得， ∴n的最大值为7 答：最多可以制作B款果茶7杯． 28．列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． (1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ (2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多．求每个B牌修正带的价格？ 【答案】(1)安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名 (2)每个B牌修正带的单价为元 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名，根据“修正带由一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产个外壳或生产个齿轮”列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每个B牌修正带的单价为元，则每个A牌修正带单价为元，根据“用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多”列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名； （2）解：设每个B牌修正带的单价为元，则每个A牌修正带单价为元， 由题可知：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：每个B牌修正带的单价为元． 29．洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元 (2)购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元 【分析】（）设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进牡丹瓷件，则购进书签件，列出不等式求出的取值范围，设利润为元，求出与的一次函数函数关系，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元； （2）解：设购进牡丹瓷件，则购进书签件， 由题意得，， 解得， 设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，元， 此时， 答：购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元． 30．某水果商店购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示． 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 18 23 已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同． (1)求表中的值； (2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，从进货到全部卖完两种水果均有的损坏．如果设将所有完好水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)10 (2)购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，找准关系是解答的关键． （1）根据表格数据关系，利用“用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同”列方程求解即可； （2）设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，先根据已知列不等式求得m的取值范围，再根据利润等于销售量乘以单件利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也满足题意， 的值为10． （2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果， 甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍， ， 解得， 则， 由（1）可得，甲的进价为10元，乙的进价为14元， 而， ， 随增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， 购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元． 题型七、分式方程的和差倍分问题 31．一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 【答案】第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用可列方程求解． 【详解】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为． 32．今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 【答案】该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，准确理解题意是解题的关键． 设该影院大年初二上映了场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了场，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设该影院大年初二上映了场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了场． 由题意得，． 解得． 经检验为原方程的解，且符合题意． 答：该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》． 33．宇树公司设计的人形机器人亮相年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的倍．一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．问这两种型号的数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】件，件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 【详解】解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型数控机器人每小时分拣件快递，B型数控机器人每小时分拣件快递． 34．开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元 (2)共有3种购买方案 (3)当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可； （2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元”列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，令表示总费用，求出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元， 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．则． 答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元． （2）解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得 ，解得． 款纪念品的数量不少于款纪念品数量的一半， ， 解得． ． 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种购买方案． （3）解：在（2）的条件下，令表示总费用，则． ， 随着的增大而增大． 当时，取得最小值， 最小值为． 答：当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元． 35．生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【答案】任务1：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元；任务2：购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，设A种型号自行车的进货单价是x元，则B种型号自行车的进货单价是元，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设购进A种型号自行车m辆，则设购进B种型号自行车辆，则，可得，又设该商店利润为w元，则，结合，从而根据一次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）设种型号自行车的进货单价是元，则种型号自行车的进货单价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元； （2）设购进种型号自行车辆，则设购进种型号自行车辆， 根据题意得：， 解得， 设该商店利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 且为正整数 当时，有最大值， ， 此时（辆）， 答：该商店购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元． 题型八、分式方程的其他实际问题 36．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【答案】(1)再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样 (2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确处理题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先算出七分糖奶茶的初始甜度和全糖奶茶的甜度，然后设加入糖的质量为未知数，根据加入糖后两者甜度相等列方程求解； （2）分别计算出调整后奶茶的甜度和五分糖奶茶的甜度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克； 全糖奶茶的甜度为， 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为， 根据甜度相等得： 解得， 经检验，是原方程的根， 答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样； （2）解：五分糖奶茶的甜度为； 三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为； ∵， ∴， 所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度． 37．“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 【答案】(1)①买到的竹条捆数为，；②， (2)个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 38．某淘宝店主准备从广州一家服装店购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍． (1)求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ (2)该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利超过7160元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 【答案】(1)每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元 (2)50 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元，根据题意可列分式方程求解即可； （2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润元，根据不等关系列出不等式，解出解集，即可确定答案． 【详解】（1）解：设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元， 由题意得：     解得：， 经检验是原分式方程的解， 则：． 答：每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元； （2）解：设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件， 由题意得： ， 解得：． 答：该淘宝店本次购进甲种服装至少是50件． 39．洛阳唐三彩以黄、绿、白三色为主，造型多样，色彩斑斓，具有极高的艺术价值；南阳玉雕，主要以独山玉为原料，雕刻题材广泛，技艺精湛，造型优美，质地细腻．某旅行团在特产商店准备购进洛阳唐三彩和南阳玉雕，已知每套玉雕比每套唐三彩贵元，用元购买的玉雕套数和元购买的唐三彩套数相同． (1)求唐三彩和玉雕每套各多少元； (2)若该旅行团欲购买唐三彩和玉雕共套，且预算不低于元，不超过元，有几种购买方案? 【答案】(1)唐三彩每套元，玉雕每套元； (2)一共有三种方案． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意列出分式方程和不等式组． 设每套唐三彩元，每套玉雕元，根据用元购买的玉雕套数和元购买的唐三彩套数相同，可列分式方程，解分式方程求出唐三彩和玉雕每套各多少元； 设该旅行团欲购买了套唐三彩和套玉雕，根据所需费用不低于元，不超过元，可列一元一次不等式组，解不等式组可得：，所以共有三种购买方案． 【详解】（1）解：设每套唐三彩元，每套玉雕元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是所列分式方程的解， ， 答：每套唐三彩元，每套玉雕元； （2）解：设该旅行团欲购买了套唐三彩和套玉雕， 根据题意可得：， 解得：， 方案一、该旅行团欲购买套唐三彩和套玉雕， 方案二、该旅行团欲购买套唐三彩和套玉雕， 方案三、该旅行团欲购买套唐三彩和套玉雕， 答：共有三种购买方案． 40．某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍． (1)以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话： 请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量； (2)某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？ 【答案】(1)每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质 (2)准备甲乙两种型号营养土各5包 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程、一次函数的解析式和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍，列出方程求解即可； （2）设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包，根据配置好的营养土中颗粒土含量不低于，列出不等式，求出m取值范围；再设配成营养土中有机质总含量为，根据营养土中有机质总含量=甲种型号营养土中有机质总含量+乙种型号营养土中有机质总含量，列出函数关系式，然后根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得，是原方程的解， ． 答：每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质分 （2）解：设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包， 根据题意得， 解得：， 设配成营养土中有机质总含量为，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当 时， y 值最大，此时， 答：应准备甲乙两种型号营养土各5包． 题型九、分式方程的新定义应用 41．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 42．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 43．定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 44．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 【答案】(1)满足，推导过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论； （2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案； （3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可． 【详解】（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下： ， ， ； （2）解： ； （3）解：， 当时，， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值为． 45．定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 1．（2025年·江苏南京·一模）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 【答案】该商场每千克红枣粽进价是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找出相等关系是解题的关键． 设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的重千克，列分式方程求解即可； 【详解】解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元， 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 该商场每千克红枣粽进价是元； 答：该商场每千克红枣粽进价是元． 2．（2025年·山东聊城·一模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． ，两种型号车的进货和销售价格如下表： 型车 型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】(1)今年型车每辆售价1600元； (2)当新进型车27辆，型车53辆时，这批车获利最大 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键． （1）设今年型车每辆售价元，则去年售价每辆为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可； （2）设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由条件表示出与之间的关系式，由的取值范围就可以求出的最大值． 【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，则去年售价每辆为元，由题意，得 ， 解得：． 经检验，是原方程的根． 答：今年型车每辆售价1600元； （2）解：设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得 ， ． 型车的进货数量不超过型车数量的两倍， ， ． ． ， 随的增大而减小． 时，元． 型车的数量为：辆． 当新进型车27辆，型车52辆时，这批车获利最大． 3．（2025年·湖北宜昌·一模）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． 【答案】每套的价格是150元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，根据“用2400元购买的套数只比第一批少4套”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元．       根据题意，得， 解得．       经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元． 4．列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 5．为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元． (1)求两种足球的单价； (2)为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？ 【答案】(1)甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元 (2)16个 【分析】（1）设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，由题意可得列出关于x的分式方程，进行求解即可； （2）设至多购买乙种足球a个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，由题意可得： 解得， 经检验是原方程的解， ∴（元）， 答：甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元． （2）设至多购买乙种足球a个，由题意得： ∴ 解得： ∵a为整数， ∴a最大值为16， 答：最多购买乙种足球16个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，明确题意列出方程和不等式是解题的关键． 6．（2025年·北京·一模）2022年北京中考体育考试进行改革，现初二、初一考生，中考体育分数50分，包含过程性考核．八年级第一学期体质健康测试以及八年级第二学期的体育与健康知识考核，共计20分．为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？ 【答案】甲种跳绳的单价为15元，乙种跳绳的单价为20元． 【分析】设甲种跳绳的单价为元，则乙种跳绳的单价为元元，由题意：用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种跳绳的单价是元，则乙种跳绳的单价为元， 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种跳绳的单价为15元，乙种跳绳的单价为20元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．（2025年·四川成都·一模）“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？ (2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元 (2)冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元 【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是x元，可得，解方程并检验可得“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元； （2）设“冰墩墩”购进m个，一月份销售利润为w元，则，解得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴（元）， 答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元； （2）解：设1月份销售利润为w元，“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”玩具为个， 则， 解得：， 由题意得：， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，w最大值， 答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元． 【点睛】本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式． 8．（2025年·浙江宁波·一模）某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下： 种别 种 种 进价（元） 18 12 备注 1.用不超过16800元购进两种图书共1000； 2.种图书不少于600本； （1）已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本，请求出两种图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；（2）当时，A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大；当时，购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元；当时，A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大． 【分析】（1）先设出两种图书的标价，再根据购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，建立分式方程，解方程并检验即可； （2）先设出购进每种图书的数量，通过题中“备注”中的条件列出一元一次不等式组求出A种图书的数量应不少于600，不多于800本，再通过其利润表达式建立其关于m的关系式，利用一次函数的性质分类讨论得出如何进货才能获得最大利润． 【详解】解：（1）设种图书的标价为元，则A种图书的标价为元， 根据题意可得， 化简得：，解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则A种图书的标价为：（元）， 答：A种图书的标价为27元，种图书的标价为18元； （2）设购进A种图书本，种图书本，总利润为元，A种图书的标价为元， 由题意得：解得：， 则总利润 故当时，时，总利润最大， 即A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大； 当时，，无论值如何变化，总利润均为6000元， 即购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元； 当时，时，总利润最大， 即A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大． 【点睛】本题综合考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，要求学生能正确理解题意，找出题中的数量关系，建立方程或不等式求出未知的量或得到其取值范围，本题涉及到了分类讨论的思想方法等． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$