专题2.1 命题、定理、定义（四大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版2019必修第一册）

专题2.1 命题、定理、定义 重难点题型1 命题的概念 (1)、命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)、定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. (3)、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【特别注意】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 1．（23-24高一上·江苏·周测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 2．以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 3．下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可 【详解】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C 4．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）下列语句是命题的个数为（   ） ①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0； ③3x－2>0；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的定义逐一判断即可. 【详解】因为能够判断真假的陈述句为命题， 所以只有①符合定义， 故选：A 5．（23-24高一上·湖南湘西·周测）（多选题）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的定义判断可得答案. 【详解】下列句子中是命题的是（    ） 对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题， 故选：ABC. 6．（24-25高一上·江苏·周测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 7．下列语句是命题的有 ． ①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的定义进行判断． 【详解】解：因为②是疑问句，所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定，所无法判断其真假，所以⑤不是命题；因为⑥是祈使句，所以不是命题．①③④是命题． 故答案为：①③④ 重难点题型2 判断命题的真假 命题的分类 ①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句. 1．（24-25高一上·江苏连云港·周测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 4．下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断、判断命题的真假 【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断. 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 5．（多选题）给出以下四个命题，其中真命题是:（    ） A．命题“若互为相反数，则” B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方” C．命题“若，则有实根” D．命题“若是正整数，则都是正整数” 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【分析】显然AB正确，当时，代入判断，即可判断选项C，取代入计算，即可判断选项D. 【详解】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误. 故选：ABC 6、（24-25高一上·江苏连云港·周测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 重难点题型3 指出命题的条件与结论 命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指出命题的条件和结论 【分析】把命题改为“若，则”的形式可得答案. 【详解】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 2．（2025高一·江苏·周测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【解题思路】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解答过程】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 3．命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【难度】0.94 【知识点】指出命题的条件和结论 【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空. 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 4．命题“对顶角相等”中的条件为 ，结论为 ． 【答案】 两个角是对顶角 它们相等 【难度】0.94 【知识点】指出命题的条件和结论 【分析】先把命题写成若则的形成，从而可求解. 【详解】若两个角是对顶角，则它们相等. 所以命题“对顶角相等”中的条件为两个角是对顶角，结论为它们相等. 故答案为：两个角是对顶角；它们相等 重难点题型4 已知命题的真假求参数 1．（23-24高一·江苏·周测）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 2．（24-25高一上·上海徐汇·月考）设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据命题的真假性，得到两个范围作为集合的关系，进而求出的取值范围即可. 【解答过程】解：由题知，则为真命题， 则，故. 故答案为：. 3．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 4．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 5．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据题意，是真命题，即，可得的取值范围； （2）根据题意可得若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题，结合（1）的结论可解. 【详解】（1）根据为假命题，可得是真命题， 即方程有两个不相等的实数根， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是； （2）若命题为真命题， 由（1）可知此时必定为真命题，不符合题意； 所以若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题， 此时且，即，可得实数的取值范围是. 6．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 7．（23-24高一上·江西宜春·周测）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 一、单选题 1．下列语句不是命题的是（    ） A． B．存在实数使 C．至少有一个实数，使能被3或7整除 D．对，有 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】利用命题的定义逐个分析判断即可 【详解】时，∴B正确； 时，x能被3和7整除，∴C正确； ∵，∴，∴D正确； ∵x不确定，∴的值不确定，∴不是命题. 故选：A. 2．（2025高一·江苏·专题练习）下列语句中是命题的个数（    ） ① “等边三角形难道不是等腰三角形吗？”； ② “平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”； ③ “一个数不是正数就是负数”； ④ “ 为有理数，则 ， 也都是有理数”； ⑤ “作 ”． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的概念，逐一判断即可． 【详解】① 不是陈述句，不是命题． ② 疑问句，没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题． ③ 是假命题， 既不是正数也不是负数． ④ 是假命题，如 ，． ⑤ 是祈使句，不是命题． 故选：B 3．下列命题中假命题的个数是（   ） （1）有四个实数解 （2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0 （3）若 ，则x≠2 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】在（1）中先求得后再求解； 在（2）中由可得出ac≥0成立；在（3）中由且可推出x≠2成立. 【详解】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误； 在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确； 在（3）中若 ，则且，即x≠2成立，故（3）正确； 故选：C. 4．（24-25高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意； 假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题； 综上，只有命题乙为假命题，符合题意. 故选：B. 5．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指出命题的条件和结论 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 6．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、已知命题的真假求参数 【分析】利用不等式的解法和命题的否定即可得出. 【详解】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}， 又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<. 故选：D 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系，属于基础题. 二、多选题 7．（多选题）下列语句不是命题的有（    ）. A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？ C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】利用命题的概念逐项分析即得. 【详解】命题为可以判断真假的陈述句， 对于A，不能判断真假，故不是命题； 对于B，语句为疑问句，故不是命题； 对于C，是错误的，能判断真假，故是命题； 对于D，不能判断真假，故不是命题. 故选：ABD. 8．（多选题）下列说法中，以下是真命题的是（    ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．至少存在一个正整数，能被5和7整除. D．三条边都相等的三角形是等边三角形 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假 【分析】举例证明选项AC正确；举反例否定选项B；依据等边三角形定义判断选项D. 【详解】选项A：当时，成立.判断正确； 选项B：2是素数，但是2不是奇数.判断错误； 选项C：正整数35和70能被5和7整除. 判断正确； 选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判断正确. 故选：ACD 9．（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 三、填空题 10．下列语句中是命题的有 ；是真命题的有 （填序号）. ①这里真热闹啊！②求证是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则. 【答案】 ③④⑤ ④⑤ 【难度】0.94 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】利用命题的意义，逐一判断各个语句，并判断命题真假作答. 【详解】①是感叹句，不是命题；②是祈使句，不是命题； ③是命题，一个数不是正数可能是负数，还可能为0，可以判断该语句的真假，所以该命题为假命题； ④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题； ⑤是命题，当时，，可以判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题． 故答案为：③④⑤；④⑤ 11．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、判断两个集合的包含关系、判断命题的真假、集合的分类 【分析】利用集合的相关概念及子集的意义判断命题①②③；利用推出符号的意义判断命题④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 12．（23-24高一上·江苏·课前预习）下列命题中真命题有 . ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． 【答案】②③ 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断、判断命题的真假 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 13．指出下列命题的条件和结论： （1）若整数a能被2整除，则a是偶数.条件p： ，结论q： ； （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.条件p： ，结论q： . 【答案】 整数a能被2整除 a是偶数 四边形是菱形 它的对角线互相垂直平分 【难度】0.85 【知识点】指出命题的条件和结论 【分析】找出原命题的条件部分与结论部分，即可得出答案. 【详解】（1）若整数a能被2整除，则a是偶数.条件p：整数a能被2整除，结论q：a是偶数 （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.条件p：四边形是菱形，结论q：它的对角线互相垂直平分； 故答案为：（1）整数a能被2整除；a是偶数；（2）四边形是菱形；它的对角线互相垂直平分. 【点睛】本题考查命题的条件与结论，考查学生对基础知识的掌握. 14．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式： . 【答案】若x＝2，则x2－3x＋2＝0 【难度】0.85 【知识点】指出命题的条件和结论 【分析】找到命题的条件和结论，即可改成“若p，则q”的形式 【详解】命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”可以改写成“若x＝2，则x2－3x＋2＝0” 故答案为：若x＝2，则x2－3x＋2＝0 【点睛】本题主要考查了指出命题的条件和结论，属于基础题. 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数、方程与不等式 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 16．已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 17．给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据p为真，对进行分类讨论，即可求出a的取值范围； （2）先根据为真命题，求出的范围，再根据p与q都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围. 【详解】解：（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立， 当时，满足题意， 当时，则 ， 解得：， 综上所述：； （2）若为真命题，即关于的方程有实数根， 则， 解得：， 若p与q都是假命题， 则， 解得：， 若p与q中至少有一个为真命题， 则； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题， 则或， 解得：或， 综上所述：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 命题、定理、定义 重难点题型1 命题的概念 (1)、命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)、定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. (3)、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【特别注意】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 1．（23-24高一上·江苏·周测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 2．以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 4．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）下列语句是命题的个数为（   ） ①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0； ③3x－2>0；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24高一上·湖南湘西·周测）（多选题）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 6．（24-25高一上·江苏·周测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 7．下列语句是命题的有 ． ①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证是无理数． 重难点题型2 判断命题的真假 命题的分类 ①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句. 1．（24-25高一上·江苏连云港·周测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 4．下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（多选题）给出以下四个命题，其中真命题是:（    ） A．命题“若互为相反数，则” B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方” C．命题“若，则有实根” D．命题“若是正整数，则都是正整数” 6、（24-25高一上·江苏连云港·周测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 重难点题型3 指出命题的条件与结论 命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 2．（2025高一·江苏·周测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 3．命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 4．命题“对顶角相等”中的条件为 ，结论为 ． 重难点题型4 已知命题的真假求参数 1．（23-24高一·江苏·周测）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 2．（24-25高一上·上海徐汇·月考）设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 3．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 4．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 5．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·江西宜春·周测）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 一、单选题 1．下列语句不是命题的是（    ） A． B．存在实数使 C．至少有一个实数，使能被3或7整除 D．对，有 2．（2025高一·江苏·专题练习）下列语句中是命题的个数（    ） ① “等边三角形难道不是等腰三角形吗？”； ② “平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”； ③ “一个数不是正数就是负数”； ④ “ 为有理数，则 ， 也都是有理数”； ⑤ “作 ”． A． B． C． D． 3．下列命题中假命题的个数是（   ） （1）有四个实数解 （2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0 （3）若 ，则x≠2 A．3 B．2 C．1 D．0 4．（24-25高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 6．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 二、多选题 7．（多选题）下列语句不是命题的有（    ）. A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？ C． D． 8．（多选题）下列说法中，以下是真命题的是（    ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．至少存在一个正整数，能被5和7整除. D．三条边都相等的三角形是等边三角形 9．（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．下列语句中是命题的有 ；是真命题的有 （填序号）. ①这里真热闹啊！②求证是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则. 11．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 12．（23-24高一上·江苏·课前预习）下列命题中真命题有 . ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． 13．指出下列命题的条件和结论： （1）若整数a能被2整除，则a是偶数.条件p： ，结论q： ； （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.条件p： ，结论q： . 14．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式： . 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 16．已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 17．给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$