2.2 充分条件、必要条件、充要条件（第2课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件（第2课时） ▍教学目标 1. 进一步理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 2. 通过具体命题分析充分条件和必要条件的关系． 3. 培养学生的辩证思维能力． 数学抽象：正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，发展数学抽象素养． 逻辑推理：分析命题条件和结论间的推理关系，探索命题成立的过程，培养辩证思维能力与严谨治学的良好品质，发展逻辑推理素养． ▍复习回顾 [教师引导] (1) “”，“”符号的含义； (2) 充分条件，必要条件，充要条件的概念： 命题真假 “若，则”是真命题 “若，则”是假命题 推出关系 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 如果，且，那么称是的充要条件． (3) 判断是的什么条件的步骤与方法： 1 确定谁是条件，谁是结论； 2 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； 3 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． 与的关系 是的什么条件 ，且 是的充分条件，但不是的必要条件， 简称是的充分不必要条件 ，且 是的必要条件，但不是的充分条件， 简称是的必要不充分条件 ，且， 即 是的充分条件，也是的必要条件， 简称是的充要条件 ，且 不是的充分条件，也不是的必要条件， 简称是的既不充分也不必要条件 【课前热身】 下列各题中，是的什么条件？（指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件） (1) ：或，：； (2) ：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分； (3) ：，：，． (4) ：四边形的对角线相等，：四边形是平行四边形． [解析] (1) 因为或，或，所以是的充要条件． (2) 若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即．反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即．所以是的充分不必要条件． (3) 因为时，，或，．故，但．所以是的必要不充分条件． (4) 因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以是的既不充分也不必要条件． ▍概念的探究与建构 【问题1】 回顾初中所学，回答下列问题： (1) 平行四边形的定义． (2) 怎样判定一个四边形是平行四边形? (3) 平行四边形有哪些性质? [学生活动] (1) 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (2) 对角线互相平分的四边形是平行四边形…… (3) 平行四边形的对边平行、对边相等、对角线互相平分、对角相…… 【问题2】 定义、判定定理、性质定理与充分条件、必要条件、充要条件有何关系呢? [教师引导] 问题情境中的答案可用图来表示： 由图可知，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，平行四边形的每一条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件． 而定义中的“两组对边分别平行的四边形”是“四边形是平行四边形”的一个充要条件． 其中，“对边相等”“对角线互相平分”等既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是“四边形是平行四边形”的必要条件，即它们是“四边形是平行四边形”的充要条件，故可以根据它们给出“四边形是平行四边形”的其他定义． 可以看出，判定定理具有“充分性”，性质定理具有“必要性”，而定义具有“充要性”． 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，而每一个定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件． 【问题3】 怎样从集合的角度理解充分条件，必要条件，充要条件？ [教师引导] 例如：，． 由可以推出或，不一定有；由可以得出．因此，是的必要不充分条件． 从集合的角度： ：，：，由可以推出，．因此，是的必要不充分条件． 形成知识 ，，那么： (1) 若，则是的充分条件；若，则是的充分不必要条件． (2) 若，则是的必要条件；若，则是的必要不充分条件． (3) 若，则是的充要条件． (4) 若且，则是的既不充分也不必要条件． 记法 ， 关系 若且 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 ，互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 ▍典例精讲 【例题1】 已知，．若是的必要条件，求实数的取值范围． [提示] 将充分条件、必要条件和集合间的关系进行等价转化，过程中可借助于数形结合的方法． [解析] 因为是的必要条件， 所以，从而表示的范围更大． 记，，则． 由图可知实数的取值范围是． 方法归纳 给定两个条件，，集合满足条件}，满足条件． (1) 若为的充分条件，为的必要条件，则； (2) 若为的充分条件，为的必要条件，则． 【变式1】 (1) 已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是________． (2) 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． [答案] (1) (2) 【变式2】 若不等式成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围． [提示] 先求出的解集，再由其解集与之间的关系求出参数的取值范围． [解析] 由，得． 由题意得 (等号不能同时成立)，解得． 因此，实数的取值范围是． 【例题2】 ，求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是． [解析] 证明： ①充分性： 因为，所以，代入方程，得，即． 故关于的方程有一个根为1． ②必要性： 由关于的方程有一个根为1，得，即． 综上所述：由①②得，关于的方程有一个根为1的充要条件是． 方法归纳 充要条件的证明思路： (1) 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“成立的充要条件为”； 1 充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出； 2 必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出． (2) 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求． (3) 在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．　 ▍课堂反馈 1. 指出下列各题中是的什么条件． (1) 是偶数，都是奇数； (2) ，． (3) ，． [解析] (1) 若，都是奇数，则是偶数，但是偶数，不一定有，都是奇数，也可以都是偶数．即，，所以是的必要不充分条件． (2) 因为且，而，所以是的充分不必要条件． (3) 由于，当时，； 当时，，故若，不一定有； 当，，时，可以推出； 当，，时，可以推出． 因此是的既不充分也不必要条件． 2. 已知条件，条件，则是的（　　）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 依题意可知成立，反之不成立．即是的充分不必要条件，故选A． 3. 已知，，若是的充分条件，则的取值范围为________． [答案] [解析] 化简，，． 由于是的充分条件，故有解得． 4. 求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是． [提示] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明． [解析] 证明： ①必要性： 因为方程有一正根和一负根，所以，（，为方程的两根），所以． ②充分性： 由可推得及（，为方程的两根）． 所以方程有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是． ▍课堂总结 【问题4】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． 知识框图 1. 知识与技能层面： (1) 定义、判定定理、性质定理与充分条件、必要条件、充要条件的关系； (2) 从集合的角度理解充分条件，必要条件，充要条件； (3) 充要条件的证明． 2. 思想与方法层面：从集合的角度理解充分条件、必要条件、充要条件可以数形结合帮助理解，证明注意逻辑推理的严谨性． 学科网（北京）股份有限公司 $