专题2.3 确定圆的条件（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.3 确定圆的条件 教学目标 1.通过过点画圆实验，引导得出 “不在同一直线上三点定圆”，分析过一点、两点画圆的情况； 2.结合三角形顶点定圆，介绍外接圆、内接三角形概念，明确外心是三边垂直平分线交点。 教学重难点 1.重点：掌握 “三点定圆”条件；理解外接圆、外心概念及外心性质。 2.难点：理解 “不在同一直线上”的条件必要性；区分不同三角形外心位置差异。 知识点01 圆的确定 1.经过一点作圆：以点以外的任意一点为圆心，以该点与点的距离为_______作圆，则经过点的圆可以作_______个，如图所示： 2.经过两点作圆：以线段_______上任意一点，这点与点的距离为_______作圆，则经过的圆可以作_______个，如图所示： 3.过不在同一条直线上的三点作圆：圆心在线段、线段的_______的交点处，以点为圆心，以为半径作圆即可，这样的圆有且只有_______，如图所示： 重要结论：_______同一条直线上的三点确定一个圆. 【即学即练】 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 三角形的外接圆 经过三角形_______的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的_______，如图所示： 是的外接圆，为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1._______三角形的外心在三角形的内部，_______三角形的外心在斜边的中点处，_______三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有_______个内接三角形； 【即学即练】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 题型01 确定圆的条件 【例1】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【变式1-1】已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【变式1-2】如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-3】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-4】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型02 确定圆心的位置 【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2-1】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 【变式2-2】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【变式2-3】如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 【变式2-4】已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 题型03 三角形外接圆的概念辨析 【例3】根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【变式3-2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-3】根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知：在中，．求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型04 求三角形外接圆的半径 【例4】一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 【变式4-2】已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【变式4-3】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【变式4-4】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 题型05 三角形外心的性质 【例5】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【变式5-1】如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【变式5-3】如图，在中，，，，则此的重心与外心之间的距离为 ． 【变式5-4】如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 3．已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ） A．连接，则点是的内心 B． C．连接，则不是的半径 D．若连接，则点在线段的垂直平分线上 4．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 5．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 7．“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 9．以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 10．如图，外接圆的圆心坐标为 ． 11．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 12．在中，，，，则的长的取值范围是 ． 13．平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 14．如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 三、解答题 15．如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 16．尺规作图：如图，已知，D为上一点，求作，使得同时与，相切，且与相切于D点．（不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 18．在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，． (1)画出的外接圆，则点的坐标为_________； (2)点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________； (3)若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________． 19．（直规作图）在中，，为上的一点，，试用圆规和直尺在边的延长线上找一点，使得（圆规只能使用一次，保留作图痕迹）并且说明理由． 20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 确定圆的条件 教学目标 1.通过过点画圆实验，引导得出 “不在同一直线上三点定圆”，分析过一点、两点画圆的情况； 2.结合三角形顶点定圆，介绍外接圆、内接三角形概念，明确外心是三边垂直平分线交点。 教学重难点 1.重点：掌握 “三点定圆”条件；理解外接圆、外心概念及外心性质。 2.难点：理解 “不在同一直线上”的条件必要性；区分不同三角形外心位置差异。 知识点01 圆的确定 1.经过一点作圆：以点以外的任意一点为圆心，以该点与点的距离为半径作圆，则经过点的圆可以作无数个，如图所示： 2.经过两点作圆：以线段垂直平分线上任意一点，这点与点的距离为半径作圆，则经过的圆可以作无数个，如图所示： 3.过不在同一条直线上的三点作圆：圆心在线段、线段的垂直平分线的交点处，以点为圆心，以为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示： 重要结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆. 【即学即练】 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 知识点02 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 是的外接圆，为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； 【即学即练】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 题型01 确定圆的条件 【例1】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【变式1-1】已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 【变式1-2】如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 【变式1-3】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 【变式1-4】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 题型02 确定圆心的位置 【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 【变式2-1】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 【变式2-2】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 【变式2-3】如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 【答案】G 【详解】解：如图： 作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G， 则△ABC的外接圆圆心是点G， 故答案为：G． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 【变式2-4】已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【详解】解：如图，点为所作． 题型03 三角形外接圆的概念辨析 【例3】根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 【变式3-1】是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【答案】A 【详解】解：是的外接圆，则点O是三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【变式3-2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 【变式3-3】根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， ∴由作图方法可知只有A选项的作图中点为三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【变式3-4】已知：在中，．求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图即为所求． 题型04 求三角形外接圆的半径 【例4】一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：， 解得：，， ∴斜边边长为， 即直角三角形外接圆的直径是10， ∴半径等于5． 故选：C 【变式4-1】已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 【答案】 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【详解】解：如图，，，， 由勾股定理得， ∵圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 则这个圆形纸片的最小直径为， 故答案为：13． 【变式4-3】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 【变式4-4】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 题型05 三角形外心的性质 【例5】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 【变式5-1】如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 【变式5-2】如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【答案】D 【详解】解：连接、、， 为锐角三角形的外心， ， 四边形为正方形， ， ，即不是的外心， ，即是的外心， ，即是的外心， ，即不是的外心， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 【变式5-3】如图，在中，，，，则此的重心与外心之间的距离为 ． 【答案】 【详解】解∶根据题意可知，C、P、Q三点共线． 在中，， 的外心为， 为斜边的中点， ， 的重心为， ． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与外心，三角形的重心，直角三角形的性质，根据三角形外心与重心的定义得出C、P、Q三点共线是解题的关键． 【变式5-4】如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，    当时，，    ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角形的定义和三角形的外心，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；全等三角形的判定方法和全等三角形对应边边相等；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 一、单选题 1．下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故原说法错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故原说法错误； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故原说法正确． 故选：D． 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 【答案】D 【详解】解：连接，，，如图： 由题意得：直线垂直平分，直线垂直平分， ， 点、、在以为圆心、为半径的圆上， 点在上，、、为的弦，是的外接圆． A、正确，但不符合题意； B、正确，但不符合题意； C、正确，但不符合题意； D、错误，但符合题意． 故选：D． 3．已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ） A．连接，则点是的内心 B． C．连接，则不是的半径 D．若连接，则点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【详解】解：连接， 由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点， ∴点是的外心， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴A错误，D正确， ∵点的位置不确定， ∴的长度不确定，∴B错误； ∵点是的外心，且以为圆心，长为半径作 ∴ ∴是的半径，∴C错误； 故选：D． 4．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 5．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 6．如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 【答案】D 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：D． 7．“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，垂直平分交于点，为圆心，连接， ∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴该圆的半径长是， 故选：C． 二、填空题 8．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 9．以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 10．如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 12．在中，，，，则的长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：作的外接圆，如图所示： ∵，， 当时，是直径最长， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，是等边三角形，， ∵， ∴长的取值范围是； 故答案为：． 13．平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 14．如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 【答案】 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图，点即为所求： 16．尺规作图：如图，已知，D为上一点，求作，使得同时与，相切，且与相切于D点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】答案见解析 【详解】解：作的角平分线交于点，过点作，与交于点，然后以点为圆心，为半径作圆，如图： 即为所作． 17．如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 18．在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，． (1)画出的外接圆，则点的坐标为_________； (2)点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________； (3)若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________． 【答案】(1) (2)外，内 (3) 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图： 点与的位置关系为：点在外；点与的位置关系为：点在内； （3）解：如图： ∵在轴上有一点，满足， ∴图中即为所求， 且 19．（直规作图）在中，，为上的一点，，试用圆规和直尺在边的延长线上找一点，使得（圆规只能使用一次，保留作图痕迹）并且说明理由． 【答案】见详解 【详解】解：根据题意，作图如下： 以点为圆心，为半径，交的延长线于点； 根据作图，可知，设， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ； 20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1)见解析； (2)这个圆形截面的半径 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 九、未命名题型 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$