2..5 直线与圆的位置关系 题型梳理 2025--2026学年苏科版九年级数学上册

苏科版（2024）九年级上册 2.5 直线与圆的位置关系 【题型1】利用三角形的内切圆与内心的性质求度数 【典型例题】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝38°，则∠OBC的度数为（　　） A.15° B.14° C.35.5° D.38° 【举一反三1】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切AB，AC于点D、E，∠DOE＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A.115° B.120° C.125° D.135° 【举一反三2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE的度数为（　　） A.70° B.110° C.120° D.130° 【举一反三3】如图，圆内接△ABC，∠A＝52°，点I是内心，则∠BIC的度数为 　   　． 【举一反三4】如图，点O是△PMN的内心，PO的延长线和△PMN的外接圆相交于点Q，连接NQ、MO、NO，若∠MNQ＝15°，则∠MON的度数为 　   　． 【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，点C，P为半圆上任意两点，过点P作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为点M，连接OM，PM，CM，CP． （1）求∠OMP的度数； （2）试判断△CMP的形状． 【题型2】利用直线与圆的位置关系求长度 【典型例题】已知⊙O与直线l相交，圆心到直线l的距离为6cm，则⊙O的半径可能为（　　） A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 【举一反三1】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D．已知AB＝2CD，点O到AB的距离等于CD的一半，则大圆与小圆的半径之比是（　　） A.3：2 B.：2 C.： D.5：4 【举一反三2】如图：半径为2的圆心P在直线y＝2x﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为 　            　． 【举一反三3】已知⊙O的半径r＝7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为9cm．求l1到l2的距离． 【举一反三4】Rt△ABC的两条直角边BC＝，AC＝2，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，r为半径作圆O． （1）当r＝2时，试分别判断A，B，D，三点与圆O的位置关系； （2）当r＝时，⊙O与斜边AB有一个交点为P（与点B不重合），求AP的长． 【题型3】判断直线与圆的位置关系 【典型例题】如果直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d满足（　　） A.d＝13cm B.d＝6.5cm C.0cm≤d＜6.5cm D.d＞6.5cm 【举一反三1】在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A.2 B.6 C.10 D.14 【举一反三2】如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，O均在格点上． （1）点O是△ABC的 　      （填“内”或“外”）心； （2）若⊙O的半径为，则线段CD与⊙O的位置关系是 　   　（填“相切”、“相交”或“相离”）． 【举一反三3】已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是　    　． 【举一反三4】在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定⊙A与直线BC的位置关系．（1）6；（2）8；（3）12． 【举一反三5】如图所示，P是直线y＝2x的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，设点P的坐标为（x，y）． （1）求当x为何值时，⊙P与直线y＝3相切，并求点P的坐标． （2）直接写出当x为何值时，⊙P与直线y＝3相交、相离． 【题型4】利用切线的性质求半径 【典型例题】已知⊙O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的一个根，若⊙O与直线l相切，⊙O的半径的值为（　　） A.2 B.3 C.6 D.1 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线DC交AB的延长线于点C．若BC＝4，CD＝8，则⊙O的半径为（　　） A.5 B.6 C.8 D.9 【举一反三2】如图，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若点M为DC的中点，则⊙O的半径长为（　　） A. B. C. D.5 【举一反三3】如图，在三角尺ABC中，∠C＝90°，将一张圆形纸片⊙O放在三角尺ABC上，使得⊙O与三角尺的一边BC相切，切点为F，与边AC相交于点D，E，若CF＝8cm，CD＝4cm，则⊙O半径是 　   　cm． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为C，AD⊥CD，若CD＝4，AD＝8，则⊙O的直径AB的长为　   　． 【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交直径DA的延长线于点E． （1）若∠ACB＝26°，则∠BAD＝　   　°； （2）求证：∠ABE＝∠ACB； （3）若AE＝2cm，BE＝4cm，求⊙O的半径． 【举一反三6】如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP于点C． （1）求证：△PBC是等腰三角形； （2）若⊙O的半径为，OP＝2，求BC的长． 【题型5】利用三角形的内切圆与内心的性质求半径 【典型例题】已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，下列选项中，⊙O的半径为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】边长分别为5、5、6的三角形的内切圆的半径为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 　 　． 【举一反三3】三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．在文明古国古希腊，数学家海伦给出了求三角形面积的一个公式——海伦公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，p＝，则其面积S＝，如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝7． （1）请用海伦公式求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆半径． 【举一反三4】如图，已知△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，AB边上的高CD＝2，求△ABC内切圆的半径． 【题型6】利用切线的性质求面积 【典型例题】如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝8，则图中圆环的面积为（　　） A.4π B.8π C.16π D.24π 【举一反三1】如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（　　） A.6cm2 B.6πcm2 C.108cm2 D.108πcm2 【举一反三2】如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3，则△ABC的面积为 　　      ． 【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于D，OE∥BD交⊙O于E． （1）求证：BE平分∠ABD． （2）当∠A＝∠E，BC＝2时，求⊙O的面积． 【举一反三4】如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线与半径OB的延长线交于点D，C是切点，∠A＝30°，OB＝1，求△DBC的面积． 【题型7】切线的性质 【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（　　） A.AC＞AB B.AC＝AB C.AC＜AB D.AC＝BC 【举一反三1】如图，两个圆的圆心都是点O，AB是大圆的直径，大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D．则下列结论不一定成立的是（　　） A.BD＝CD B.AC⊥BC C.AB＝2AC D.AC＝2OD 【举一反三2】如图，直线AB切⊙O于点C，∠OAC＝∠OBC，则下列结论错误的是（　　） A.OC是△ABO中AB边上的高 B.OC所在直线是△ABO的对称轴 C.OC是∠AOB平分线 D.AC＞BC 【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 　     　（将正确序号填入） ①OC∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE． 【举一反三4】已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径是r，如果d，r是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个根，那么直线l与⊙O相切时，m的值为　   　． 【举一反三5】已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【题型8】利用三角形的内切圆与内心的性质求长度 【典型例题】如图，点I为△ABC的内切圆的圆心，连接BI并延长交△ABC的外接圆于点D，连接AD，AI，若BD＝7，AD＝5，则BI的长为（　　） A.1 B.2 C.2.5 D.3.5 【举一反三1】如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（　　） A.4 B.5 C.8 D.16 【举一反三3】已知⊙O是等边三角形ABC的内切圆，⊙O的半径为1，则等边三角形ABC的边长为　    　． 【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝2，则AB的长为 　        ． 【举一反三5】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO． （1）求证：DI＝DB； （2）若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长． 【举一反三6】已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC＝105°，∠ACB＝90°，AB＝20cm．求BC、AC的长． 【题型9】利用切线的性质求周长 【典型例题】如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．则△BCD的周长是（　　） A.3+ B.2+2 C.3+2 D.3+ 【举一反三1】如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O切线，切点为A，PO＝26，PA＝24，则⊙O的周长为（　　） A.18π B.16π C.20π D.24π 【举一反三2】如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为（　　） A. B. C.6 D.8 【举一反三3】如图，在扇形OACB中，∠AOB＝120°，⊙O′为弓形ACB的最大的内切圆，若AB的长为2π，则⊙O′的周长为　　   ． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D． （1）求证：AC＝CD； （2）若OB＝2，求△ABC的周长． 【题型10】证明直线或线段是圆的切线 【典型例题】已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（　　） A.OP＝5 B.OE＝OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF 【举一反三1】如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（　　） A.以OA为半径的圆 B.以OB为半径的圆 C.以OC为半径的圆 D.以OD为半径的圆 【举一反三2】在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 　    　．（写一个条件即可） 【举一反三3】如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为　      　． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线． 【题型11】三角形内切圆和内心的概念 【典型例题】要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A.三边高线的交点 B.三个角的平分线的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三边中线的交点 【举一反三1】下列说法中，正确的是（　　） A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B.任何三角形有且只有一个内切圆 C.三点确定一个圆 D.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 【举一反三2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，下列说法错误的是（　　） A.点O在△ABC的三边垂直平分线上 B.点O在△ABC的三个内角平分线上 C.如果△ABC的面积为S，三边长为a，b，c，⊙O的半径为r，那么r＝ D.如果△ABC的三边长分别为5，7，8，那么以A、B、C为端点三条切线长分别为5，3，2 【举一反三3】三角形的两条角平分线的交点，是三角形的（　　）心． A.外 B.内 C.重 D.无法确定 【举一反三4】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（　　） A.∠AIB＝∠AOB B.∠AIB≠∠AOB C.4∠AIB﹣∠AOB＝360° D.2∠AOB﹣∠AIB＝180° 【题型12】利用三角形的内切圆与内心的性质求周长或面积 【典型例题】如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　） A. B. C.2 D.4 【举一反三1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（　　） A. B. C.16 D.32 【举一反三2】已知△ABC的周长为10，面积为15，则△ABC的内切圆的周长为 　   　． 【举一反三3】如图，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线AI与△ABC的外接圆相交于点E． （1）CE与IE相等吗？为什么？ （2）如果∠B＝60°，BE＝2，求△CIE的周长． 【题型13】利用切线长定理求角度 【典型例题】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A.5，（90°+∠P） B.7，90°+∠P C.10，90°﹣∠P D.10，90°+∠P 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　） A.32° B.48° C.60° D.66° 【举一反三2】如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是　   　°． 【举一反三3】如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数． 【举一反三4】已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： （1）△PCD的周长； （2）若∠P＝50°，求∠COD的度数． 【题型14】利用切线的性质求角的度数 【典型例题】如图，AB是⊙O直径，BC与⊙O相切于点B，OC与⊙O相交于点D，连接AD，若∠A＝24°，则∠C的度数为（　　） A.24° B.42° C.48° D.52° 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上的点，以OB为半径的⊙O交BC于点D，AD恰好是⊙O的切线，若∠CAD＝32°，则∠ABC的度数为（　　） A.26° B.28° C.32° D.58° 【举一反三2】如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为 　       　． 【举一反三3】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°，求∠PAB和∠P的度数． 【题型15】利用切线的性质求线段的长度 【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（　　） A. B. C.5 D. 【举一反三1】如图，⊙O的半径为4，CD切⊙O于点D，AB是直径．若ED⊥AB于点F且∠CDE＝120°，则ED的长度为（　　） A.2 B.4 C.6 D.4 【举一反三2】如图，在半径为1的⊙O中，AP是⊙O的切线，A为切点，OP与弦AB交于点C，点C为AB中点，∠P＝30°，则CP的长度为（　　） A.2 B.1.5 C.1.6 D.1.8 【举一反三3】如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．若AC＝1，AO＝2，则BD的长度为　    　． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是　      ． 【举一反三5】如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，切点A，OD⊥OB，交AB于D，交AC于C． （1）求证：CA＝CD； （2）若AC＝3，AO＝4，求OD的长度． 【题型16】切线的性质中的最值问题 【典型例题】如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（　　） A.2 B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF的长度（　　） A.随圆的大小变化而变化，但没有最值 B.最大值为4.8 C.有最小值 D.为定值 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，若点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，则△ABM面积的最大值为（　　） A.64 B.48 C.32 D.24 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙C的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙C的一条切线PD，点D为切点，则线段PD长的最小值为 　   　． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为　  　． 【举一反三5】如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值． 【举一反三6】如图，已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为2，∠MPN＝60°，点C在⊙O上运动，求PC的最大值． 【题型17】利用切线长定理求值 【典型例题】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A.13 B.12 C.11 D.10 【举一反三1】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A.8 B.12 C.16 D.20 【举一反三2】如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　） A.5 B.10 C.7.5 D.4 【举一反三3】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　    　． 【举一反三4】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 【题型18】直线与圆的位置关系中的最值问题 【典型例题】在平面中，已知⊙O的半径OP等于5，点P在直线l上，则圆心O到直线l的距离（　　） A.等于5 B.最小值为5 C.最大值为5 D.不等于5 【举一反三1】在直角坐标系中，半径为4的⊙O′的圆心坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A.x轴与⊙O′相交 B.y轴与⊙O′相切 C.原点到⊙O′上任意点距离的最小值为1 D.x轴上不存在到圆心O′为4的点 【举一反三2】如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为（　　） A.3 B.7 C. D. 【举一反三3】不论k为何值，以点M（0，1）为圆心的圆与直线l：y＝kx+5﹣3k总有公共点，则⊙M的面积的最小值为　      ． 【举一反三4】（1）已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为5， ①直线l与⊙O的位置关系是　       ； ②若点P为⊙O上一动点，求点P到直线l的距离的最大值和最小值． （2）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE＝2，求弦CD的长． 【题型19】切线的判定与性质的动点问题 【典型例题】如图，∠AOB＝30°，⊙M的圆心在OA上，半径为4cm，若圆心在射线OA上移动，则当OM＝　    　cm时，⊙M与OB相切． 【举一反三1】如图，∠AOB＝30°，⊙M的圆心在OA上，半径为4cm，若圆心在射线OA上移动，则当OM＝　    　cm时，⊙M与OB相切． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣3，0），以2为半径，点P为圆心的⊙P以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当⊙P与y轴相切时，t＝　　     ． 苏科版（2024）九年级上册 2.5 直线与圆的位置关系（参考答案） 【题型1】利用三角形的内切圆与内心的性质求度数 【典型例题】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝38°，则∠OBC的度数为（　　） A.15° B.14° C.35.5° D.38° 【答案】B 【解析】连接OC， ∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝38°，∴∠BAC＝2∠CAI＝76°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴∠BOC＝2∠BAC＝152°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝（180°﹣152°）＝14°. 故选：B． 【举一反三1】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切AB，AC于点D、E，∠DOE＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A.115° B.120° C.125° D.135° 【答案】C 【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，切AB，AC于点D、E，∴AD⊥OD，AC⊥OE， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°， ∵∠DOE＝110°，∴∠A＝360°﹣2×90°﹣110°＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵O为△ABC内心，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°. 故选：C． 【举一反三2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE的度数为（　　） A.70° B.110° C.120° D.130° 【答案】B 【解析】∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∵E，D是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣∠B， ∴∠DOE＝∠A+∠C＝50°+60°＝110°． 故选：B． 【举一反三3】如图，圆内接△ABC，∠A＝52°，点I是内心，则∠BIC的度数为 　   　． 【答案】116° 【解析】∵∠A＝52°，∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣52°＝128°， ∵I是内心，∴BI、CI是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点， ∴∠IBC+∠ICB＝×128°＝64°，∴∠BIC＝180°﹣64°＝116°. 【举一反三4】如图，点O是△PMN的内心，PO的延长线和△PMN的外接圆相交于点Q，连接NQ、MO、NO，若∠MNQ＝15°，则∠MON的度数为 　   　． 【答案】105° 【解析】∵点O是△PMN的内心，∴PQ平分∠MPN，∴∠MPQ＝∠NPQ， ∵∠MNQ＝15°，∴∠MPQ＝∠NPQ＝15°，∴∠MPN＝30°， ∴∠PMN+∠PNM＝150°， ∵点O是△PMN的内心，∴OM平分∠PMN，ON平分∠PNM， ∴∠OMN＝PMN，∠PNM＝PNM， ∴∠OMN+∠ONM＝（∠PMN+∠PNM）＝150°＝75°， ∴∠MON＝180°﹣（∠OMN+∠ONM）＝105°. 【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，点C，P为半圆上任意两点，过点P作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为点M，连接OM，PM，CM，CP． （1）求∠OMP的度数； （2）试判断△CMP的形状． 【答案】解：（1）∵PE⊥OC，∴∠PEO＝90°， ∵点M是△OPE的内心，∴OM和PM平分∠EOP和∠EPO， ∴∠MOP+∠MPO＝（∠EOP+∠EPO）＝45°，∴∠OMP＝135°. （2）∵OM平分∠EOP，∴∠COM＝∠POM， 在△COM和△POM中，，∴△COM≌△POM（SAS）， ∴CM＝PM，∠CMO＝∠PMO＝135°，∴∠CMP＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴△CMP是等腰直角三角形． 【题型2】利用直线与圆的位置关系求长度 【典型例题】已知⊙O与直线l相交，圆心到直线l的距离为6cm，则⊙O的半径可能为（　　） A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 【答案】D 【解析】∵⊙O和直线l相交，∴d＜r， 又∵圆心到直线l的距离为6cm，∴r＞6cm. 故选：D． 【举一反三1】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D．已知AB＝2CD，点O到AB的距离等于CD的一半，则大圆与小圆的半径之比是（　　） A.3：2 B.：2 C.： D.5：4 【答案】C 【解析】设CD＝x，则AB＝2x， 过O点作OE⊥AB，E点为垂足，连OC，OA，如图， 则OE＝CD＝x， ∵OE⊥AB，∴CE＝DE，AE＝BE， 而AB＝2x，CD＝x，∴CE＝x，AE＝2x， 在Rt△OCE中，OC＝＝x． 在Rt△OAE中，OA＝＝x． ∴OA：OC＝x：x，即两个同心圆的半径之比为：． 故选：C． 【举一反三2】如图：半径为2的圆心P在直线y＝2x﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为 　            　． 【答案】（1.5，2）或（﹣0.5，﹣2） 【解析】∵P的圆心在直线y＝2x﹣1上，∴设P（x，2x﹣1）， （1）当圆与x轴正半轴相切时，则2x﹣1＝2，x＝1.5，∴P（1.5，2）； （2）当圆与x轴负半轴相切时，则2x﹣1＝﹣2，x＝﹣0.5，∴P（﹣0.5，﹣2）， ∴由（1）（2）可知P的坐标为：（1.5，2）或（﹣0.5，﹣2）． 【举一反三3】已知⊙O的半径r＝7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为9cm．求l1到l2的距离． 【答案】解：∵l1与⊙O相切，∴O点到l1的距离为7cm， 当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离＝9cm﹣7cm＝2cm； 当圆心O在两平行直线之外：l1与l2之间的距离为9cm+7cm＝16cm， ∴l1到l2的距离为2cm或16cm． 【举一反三4】Rt△ABC的两条直角边BC＝，AC＝2，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，r为半径作圆O． （1）当r＝2时，试分别判断A，B，D，三点与圆O的位置关系； （2）当r＝时，⊙O与斜边AB有一个交点为P（与点B不重合），求AP的长． 【答案】解：（1）如图1所示： 由勾股定理得：AB＝＝5， ∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴AB•CD＝AC•BC， 即5×CD＝2×，解得：CD＝2； 当r＝2时，AC＝2＞2，CD＝2，CB＝＞2， ∴A、B在圆O外，D在圆O上. （2）当r＝时，点B在⊙O上，如图2所示： 由勾股定理得：BD＝＝1，∴BP＝2BD＝2，∴AP＝AB﹣BP＝3． 【题型3】判断直线与圆的位置关系 【典型例题】如果直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d满足（　　） A.d＝13cm B.d＝6.5cm C.0cm≤d＜6.5cm D.d＞6.5cm 【答案】C 【解析】直线和圆的三种位置关系：相离，相切，相交， 设⊙O的半径为r，圆心O到直线L距离为d， 直线L和⊙O相交，则d＜r； 直线L和⊙O相切，则d＝r； 直线L和⊙O相离，则d＞r． ∵圆的直径为13cm，∴圆的半径为6.5cm， ∵直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，∴d的取值范围是0cm≤d＜6.5cm． 故选：C． 【举一反三1】在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A.2 B.6 C.10 D.14 【答案】D 【解析】如图， 由题意得，OA＝4，OB＝6， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大， 此时，点P到直线l的最大距离是6+4＝10， 当点P在BO与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最小， 此时，点P到直线l的最小距离是6﹣4＝2． ∴点P到直线l的距离2≤d≤10，故点P到直线l的距离不可能是14． 故选：D． 【举一反三2】如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，O均在格点上． （1）点O是△ABC的 　      （填“内”或“外”）心； （2）若⊙O的半径为，则线段CD与⊙O的位置关系是 　   　（填“相切”、“相交”或“相离”）． 【答案】外；相交 【解析】（1）连接OA，OB，OC，OD， 由勾股定理可知：，所以点O是△ABC的外心； （2）∵⊙O的半径为，点O到CD的距离为2，， 又，，线段CD与⊙O的位置关系是相交. 【举一反三3】已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是　    　． 【答案】相交 【解析】∵⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解， 解方程x2+6x﹣16＝0， （x+8）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝2， ∴r＝2， ∵点O到直线AB距离d是，∴d＜r，∴直线AB与圆相交． 【举一反三4】在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定⊙A与直线BC的位置关系．（1）6；（2）8；（3）12． 【答案】解：作AD⊥BC于点D． ∵AB＝AC＝10，又∵AD⊥BC，BC＝12，∴BD＝6， 在Rt△ABD中，根据勾股定理：AD＝＝． AD＝8为圆心到直线的距离d， （1）当r＝6时，即d＞r，则直线和圆相离； （2）当r＝8时，即d＝r，则直线和圆相切； （3）当r＝12时，即d＜r，则直线和圆相交． 【举一反三5】如图所示，P是直线y＝2x的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，设点P的坐标为（x，y）． （1）求当x为何值时，⊙P与直线y＝3相切，并求点P的坐标． （2）直接写出当x为何值时，⊙P与直线y＝3相交、相离． 【答案】解：（1）设点P的坐标为（x，y）， ∵P是y＝2x上的一点，∴y＝2x， ∵⊙P与直线y＝3相切，∴p点纵坐标为：2，∴p点横坐标为：1， ∵⊙P′与直线y＝3相切，∴p点纵坐标为：4，∴p点横坐标为：2， ∴x＝1或2，P的坐标（1，2）或（2，4）. （2）结合图象，即可得出： 当1＜x＜2时，⊙P与直线y＝3相交， 当x＞2或x＜1时，⊙P与直线y＝3相离． 【题型4】利用切线的性质求半径 【典型例题】已知⊙O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的一个根，若⊙O与直线l相切，⊙O的半径的值为（　　） A.2 B.3 C.6 D.1 【答案】B 【解析】解一元二次方程x2﹣x﹣6＝0，得x1＝3或x2＝﹣2， ∵⊙O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的一个根， ∴⊙O的圆心到直线l的距离是3， ∵⊙O与直线l相切， ∴⊙O的半径的值＝⊙O的圆心到直线l的距离＝3． 故选：B． 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线DC交AB的延长线于点C．若BC＝4，CD＝8，则⊙O的半径为（　　） A.5 B.6 C.8 D.9 【答案】B 【解析】连接OD， ∵DC是⊙O的切线，∴OD⊥DC，∴∠ODC＝90°，∴OD2+DC2＝OC2， 设OD＝OB＝x， ∵BC＝4，CD＝8，∴x2+82＝（x+4）2，∴x＝6，∴OD＝6，即⊙O的半径为6． 故选：B． 【举一反三2】如图，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若点M为DC的中点，则⊙O的半径长为（　　） A. B. C. D.5 【答案】D 【解析】延长MO交AB于点N，连接OA，如图所示： ∵∠D＝∠DAN＝∠DMN＝90°，∴四边形ADMN是矩形，∴MN⊥AB，MN＝AD＝8， ∴， ∵OA＝OM，∴ON＝8﹣OA，∴（8﹣OA）2+42＝OA2，解得：OA＝5． 故选：D． 【举一反三3】如图，在三角尺ABC中，∠C＝90°，将一张圆形纸片⊙O放在三角尺ABC上，使得⊙O与三角尺的一边BC相切，切点为F，与边AC相交于点D，E，若CF＝8cm，CD＝4cm，则⊙O半径是 　   　cm． 【答案】10 【解析】如图，连接OF，OE，作OH⊥AC于H，设⊙O的半径为r， ∵⊙O与三角尺的一边BC相切，切点为F，∴OF⊥BC， ∵∠C＝90°，∴∠C＝∠OHC＝∠OFC＝90°，∴四边形OHCF是矩形， ∵CF＝8，CD＝4，∴OH＝CF＝8，HC＝OF＝r，∴HE＝HD＝r﹣4， 在Rt△OHE中，OH2+HE2＝OE2，∴8+（r﹣4）2＝r2，解得r＝10． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为C，AD⊥CD，若CD＝4，AD＝8，则⊙O的直径AB的长为　   　． 【答案】10 【解析】连接OC，过O作OE⊥AD于E， ∵CD是⊙O的切线，∴DC⊥OC，∴∠D＝∠DCO＝∠OED＝90°， ∴四边形OEDC是矩形，∴OC＝DE，DC＝OE＝4， 设OC＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x， 在Rt△ADE中由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，则（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5，∴AB＝2OC＝2x＝10． 【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交直径DA的延长线于点E． （1）若∠ACB＝26°，则∠BAD＝　   　°； （2）求证：∠ABE＝∠ACB； （3）若AE＝2cm，BE＝4cm，求⊙O的半径． 【答案】解：（1）如图，连接BD， ∴∠ADB＝∠ACB＝26°， ∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣26°＝64°， （2）证明：如图，连接OB，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA， ∵EB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠ABD＝∠OBE＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠OBA＝90°﹣∠OAB＝∠ADB， ∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB. （3）∵EB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°， 在Rt△OBE中，AE＝2cm，BE＝4cm，根据勾股定理得：OE2＝OB2+BE2， ∴（OA+2）2＝OA2+42，∴OA＝3，∴⊙O的半径为3cm． 【举一反三6】如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP于点C． （1）求证：△PBC是等腰三角形； （2）若⊙O的半径为，OP＝2，求BC的长． 【答案】解：（1）证明：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBA+∠ABC＝90°． ∵OP⊥OA，∴∠OPA+∠A＝90°． 又∵OB＝OA，∴∠A＝∠OBA．∴∠ABC＝∠OPA＝∠CPB，∴CP＝CB； ∴△PBC是等腰三角形. （2）设BC＝x，则PC＝x， 在Rt△OBC中，OB＝2，OC＝CP+OP＝x+2， ∵OB2+BC2＝OC2，∴（2）2+x2＝（x+2）2，解得x＝4， 即BC的长为4． 【题型5】利用三角形的内切圆与内心的性质求半径 【典型例题】已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，下列选项中，⊙O的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设圆O的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图， ∵OE⊥AC，OD⊥BC，∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形， 又∵OE＝OD，∴四边形OECD是正方形，∴CE＝CD， ∵AE＝AF，BD＝BF，∴a﹣x+b﹣x＝c，∴x＝，∴⊙O的半径为. 故选：A． 【举一反三1】边长分别为5、5、6的三角形的内切圆的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图∵⊙O是△ABC的内切圆， ⊙O切AB于E，切BC于D， ∵AB＝AC＝5，∴A，O，D三点共线，∴BD＝BC＝3， ∴AD＝＝4，∴BE＝BD＝3，∴AE＝2， 设三角形内切圆的半径为r，∴（4﹣r）2＝22+r2，∴r＝cm， ∴三角形内切圆的半径为． 故选：B． 【举一反三2】如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 　 　． 【答案】1.5 【解析】过点O作OH⊥AB与点H， ∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°， ∵O为三角形外心，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝1.5. 【举一反三3】三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．在文明古国古希腊，数学家海伦给出了求三角形面积的一个公式——海伦公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，p＝，则其面积S＝，如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝7． （1）请用海伦公式求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆半径． 【答案】解：（1）∵BC＝4，AC＝5，AB＝7，∴p＝＝8， ∴S＝＝＝4. （2）∵S＝（AC+BC+AB）r，∴4＝（4+5+7）r，解得r＝， 故△ABC的内切圆半径r＝． 【举一反三4】如图，已知△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，AB边上的高CD＝2，求△ABC内切圆的半径． 【答案】解：设内切圆的半径是r． ∵S△ABC＝AB•CD＝（AB+BC+AC）•r， 即×6×2＝×（5+6+7）•r， ∴r＝． 【题型6】利用切线的性质求面积 【典型例题】如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝8，则图中圆环的面积为（　　） A.4π B.8π C.16π D.24π 【答案】C 【解析】如图，连接OA，OC， ∵弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴C为AB的中点，∴AC＝BC＝AB＝4， 在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA2﹣OC2＝AC2＝16， 则形成圆环的面积为πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝16π. 故选：C． 【举一反三1】如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（　　） A.6cm2 B.6πcm2 C.108cm2 D.108πcm2 【答案】D 【解析】过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图， ∵AC和AB为⊙O的切线，∴OA平分∠BAC，OB⊥AB， ∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝×（180°﹣60°）＝60°， 在Rt△OAB中，∵OA＝2AB＝12cm，∴OB＝＝6（cm）， ∴这张光盘（包含圆孔）的面积＝π×（6）2＝108π（cm2）． 故选：D． 【举一反三2】如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3，则△ABC的面积为 　　      ． 【答案】 【解析】∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，∴∠PBA的度数为90°， ∵AB＝4，PB＝3，∴PA＝＝5， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， ∵S△ABP＝AB•BP，∴BC＝， ∴AC＝， ∴S△ABC＝. 【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于D，OE∥BD交⊙O于E． （1）求证：BE平分∠ABD． （2）当∠A＝∠E，BC＝2时，求⊙O的面积． 【答案】解：（1）证明：∵OE＝OB，∴∠E＝∠ABE， ∵OE∥BD，∴∠E＝∠EBD，∴∠OBE＝∠EBD， ∴BE平分∠ABD. （2）∵∠A＝∠E，∴∠ABD＝2∠A， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝30°， ∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°， ∵BC＝2，∴AB＝BC＝2，∴AO＝，∴⊙O的面积＝3π． 【举一反三4】如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线与半径OB的延长线交于点D，C是切点，∠A＝30°，OB＝1，求△DBC的面积． 【答案】解：连接OC， ∵∠A＝30°，∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝60°， ∵DC切⊙O于C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝180°﹣∠BOC﹣∠OCD＝30°， ∵OB＝1，∴OC＝OB＝1，∴CD＝OC＝，OD＝2OC＝2， ∴OB＝BD，∴△DBC的面积＝S△OCD＝＝． 【题型7】切线的性质 【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（　　） A.AC＞AB B.AC＝AB C.AC＜AB D.AC＝BC 【答案】B 【解析】如图，∵AC是⊙O的切线，A为切点，∴∠A＝90°， ∵∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB＝AC. 故选：B． 【举一反三1】如图，两个圆的圆心都是点O，AB是大圆的直径，大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D．则下列结论不一定成立的是（　　） A.BD＝CD B.AC⊥BC C.AB＝2AC D.AC＝2OD 【答案】C 【解析】∵大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，故A正确； ∵AB是直径，∴∠C＝90°，∴AC⊥BC，故B正确； ∵OD⊥BC，∴CD＝BD， ∵OA＝OB，∴AC＝2OD，故D正确． 故选：C． 【举一反三2】如图，直线AB切⊙O于点C，∠OAC＝∠OBC，则下列结论错误的是（　　） A.OC是△ABO中AB边上的高 B.OC所在直线是△ABO的对称轴 C.OC是∠AOB平分线 D.AC＞BC 【答案】D 【解析】∵∠OAC＝∠OBC，∴由等角对等边得OA＝OB， ∵直线AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB， 由等腰三角形的底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合知，A、B、C均正确； D错误，应为AC＝BC． 故选：D． 【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 　     　（将正确序号填入） ①OC∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE． 【答案】①②③ 【解析】∵C为的中点，即＝，∴OC⊥BE，BC＝EC，选项②正确； ∴∠BFO＝90°， ∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，即∠BEA＝90°，∴∠BFO＝∠BEA，∴OC∥AE，选项①正确； ∵AD为圆的切线，∴∠DAB＝90°，即∠DAE+∠EAB＝90°， ∵∠EAB+∠ABE＝90°，∴∠DAE＝∠ABE，选项③正确； 点E不一定为中点，选项④错误，则结论成立的是①②③. 【举一反三4】已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径是r，如果d，r是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个根，那么直线l与⊙O相切时，m的值为　   　． 【答案】1 【解析】∵直线l与⊙O相切，∴d＝r， ∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1. 【举一反三5】已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】解：证法错误； 证明：连接OC， ∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB， ∵OA＝OB，∴AC＝BC． 【题型8】利用三角形的内切圆与内心的性质求长度 【典型例题】如图，点I为△ABC的内切圆的圆心，连接BI并延长交△ABC的外接圆于点D，连接AD，AI，若BD＝7，AD＝5，则BI的长为（　　） A.1 B.2 C.2.5 D.3.5 【答案】B 【解析】∵点I为△ABC的内切圆的圆心，∴IA平分∠BAC，IB平分∠ABC， ∴∠IAB＝∠IAC，∠IBA＝∠IBC， ∵∠IAD＝∠IAC+∠DAC，∠AID＝∠IAB+∠IBA，∠DAC＝∠DBC，∴∠IAD＝∠AID， ∴ID＝AD＝5，∴BI＝BD﹣ID＝7﹣5＝2. 故选：B． 【举一反三1】如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D. 【答案】A 【解析】如图，连接BI， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°， ∵点I为等边△ABC的内心，∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°， ∴AD是△ABC外接圆的直径， ∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°，∴△DBI是等边三角形，∴DI＝BI， ∵∠IAB＝∠IBA，∴AI＝BI，∴DI＝AI＝AD＝2，∴BD＝DI＝2， ∴线段DB的长为2. 故选：A． 【举一反三2】如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（　　） A.4 B.5 C.8 D.16 【答案】C 【解析】∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB， ∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB， ∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC， ∴EF＝ED+FD＝BE+CF＝8． 故选：C． 【举一反三3】已知⊙O是等边三角形ABC的内切圆，⊙O的半径为1，则等边三角形ABC的边长为　    　． 【答案】2 【解析】连接OB，OD， ∵⊙O是等边△ABC的内切圆，∴∠OBD＝30°，∠BDO＝90°，∴OB＝2OD＝2， 由勾股定理得：BD＝＝， 同理CD＝， ∴BC＝BD+CD＝2. 【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝2，则AB的长为 　        ． 【答案】 【解析】延长BI交⊙O于M点，连接MA， 在△ABM中斜边AB经过圆心O，∴∠AMB＝∠ACB＝90°， 又∵BI⊥OI，AO＝OB，∴OI为△AMB的中位线，∴AM＝2OI＝4， 在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点，∴∠IAB+∠IBA＝45°，即∠MIA＝45°， ∴Rt△MAI为等腰直角三角形，∴MA＝MI＝IB＝4， 根据勾股定理可得，AB2＝MA2+MB2＝42+82＝80，即. 【举一反三5】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO． （1）求证：DI＝DB； （2）若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长． 【答案】解：（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD．∠ABI＝∠CBI， ∴∠BID＝∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI＝∠IBD． ∴DI＝DB. （2）过O作OH⊥AD于点H， ∴AH＝HD， ∵点O为AB的中点，∴OH＝BD＝1， ∵AB为直径，∴∠D＝90° ∵DI＝DB，∴△BDI是等腰直角三角形，∴ID＝BD＝2．∠BID＝45°， ∵IO⊥BI，即∠OIB＝90°，∴∠OIH＝45°，∴△OHI是等腰直角三角形， ∴OH＝HI＝1，∴AH＝HD＝HI+DI＝HI+DB＝1+2＝3， ∴AL＝AH+HI＝4． 【举一反三6】已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC＝105°，∠ACB＝90°，AB＝20cm．求BC、AC的长． 【答案】解：∵⊙O内切于△ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠ACO， ∵∠ACB＝90°，∴∠BCO＝45°， ∵∠BOC＝105°，∴∠CBO＝180°﹣45°﹣105°＝30°，∴∠ABC＝60°， ∴∠A＝30°，∴BC＝AB＝×20＝10cm， ∴AC＝＝＝10cm． 答：BC、AC的长分别是10cm、10cm． 【题型9】利用切线的性质求周长 【典型例题】如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．则△BCD的周长是（　　） A.3+ B.2+2 C.3+2 D.3+ 【答案】C 【解析】∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝30°，∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝120°， ∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠D＝∠B＝30°，∴BC＝CD＝， ∵∠D＝30°，DC＝，∠OCD＝90°，∴DC＝OC＝，DO＝2OC， ∴OC＝1＝OB，DO＝2， ∴△BCD的周长＝CD+BC+DB＝＝3+2. 故选：C． 【举一反三1】如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O切线，切点为A，PO＝26，PA＝24，则⊙O的周长为（　　） A.18π B.16π C.20π D.24π 【答案】C 【解析】连接OA， ∵PA是圆的切线，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°， ∴在直角△OPA中，OA＝＝＝10， 则⊙O的周长为20π． 故选：C． 【举一反三2】如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为（　　） A. B. C.6 D.8 【答案】B 【解析】连接OB，如图， ∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CB，∴∠BAO＝∠OCB， ∵∠AOB＝2∠OCB，∴∠AOB＝2∠BAO， ∵∠BAO+∠AOB＝90°，即∠BAO+2∠AOB＝90°，∴∠BAO＝30°， ∴AB＝OB＝，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4． 故选：B． 【举一反三3】如图，在扇形OACB中，∠AOB＝120°，⊙O′为弓形ACB的最大的内切圆，若AB的长为2π，则⊙O′的周长为　　   ． 【答案】 【解析】如图，连接OO′交AB分别于点D，交弧AB于点C， ∵AB的长为2π，∴由弧长公式得OA＝3， ∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°， ∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝30°，∴OA＝2OD，∴OD＝1.5， ∵OC＝3，∴CD＝1.5，∴CO′＝． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D． （1）求证：AC＝CD； （2）若OB＝2，求△ABC的周长． 【答案】解：（1）证明：连接OC， ∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB， ∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD， ∵OA＝OB，∴AC＝CD. （2）∵OB＝2，∴AB＝BD＝4，∴AD＝＝4， ∴AC＝AD＝2，BC＝AD＝2， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4+4． 【题型10】证明直线或线段是圆的切线 【典型例题】已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（　　） A.OP＝5 B.OE＝OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF 【答案】D 【解析】∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可. 故选：D． 【举一反三1】如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（　　） A.以OA为半径的圆 B.以OB为半径的圆 C.以OC为半径的圆 D.以OD为半径的圆 【答案】D 【解析】∵OD⊥a于D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切． 故选：D． 【举一反三2】在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 　    　．（写一个条件即可） 【答案】∠TAC＝∠B 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°， 当∠TAC＝∠B时，∠TAC+∠BAC＝90°，即∠OAT＝90°， ∵OA是圆O的半径，∴直线AT是⊙O的切线. 【举一反三3】如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为　      　． 【答案】相切 【解析】∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°， ∴在△OBC中，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°，∴直线BC与⊙O相切． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线． 【答案】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA． ∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°． ∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC， ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 【题型11】三角形内切圆和内心的概念 【典型例题】要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A.三边高线的交点 B.三个角的平分线的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三边中线的交点 【答案】B 【解析】∵三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆， ∴在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点. 故选：B． 【举一反三1】下列说法中，正确的是（　　） A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B.任何三角形有且只有一个内切圆 C.三点确定一个圆 D.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 【答案】B 【解析】A、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A选项错误； B、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B选项正确； C、不共线的三点确定一个圆，所以C选项错误； D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D选项错误． 故选：B． 【举一反三2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，下列说法错误的是（　　） A.点O在△ABC的三边垂直平分线上 B.点O在△ABC的三个内角平分线上 C.如果△ABC的面积为S，三边长为a，b，c，⊙O的半径为r，那么r＝ D.如果△ABC的三边长分别为5，7，8，那么以A、B、C为端点三条切线长分别为5，3，2 【答案】A 【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴点O到△ABC三边的距离相等， ∴点O在△ABC的三个内角平分线上，故A正确，B错误； 连接OA，OB，OC， ∴S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝c•r+a•rb•r＝（a+b+c）r，∴r＝，故C正确； 设以A、B、C为端点三条切线长分别为：x，y，z，则，解得，故D正确. 故选：A． 【举一反三3】三角形的两条角平分线的交点，是三角形的（　　）心． A.外 B.内 C.重 D.无法确定 【答案】B 【解析】三角形的二条角平分线的交点即是三角形的内心，也是该三角形内切圆的圆心． 故选：B． 【举一反三4】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（　　） A.∠AIB＝∠AOB B.∠AIB≠∠AOB C.4∠AIB﹣∠AOB＝360° D.2∠AOB﹣∠AIB＝180° 【答案】C 【解析】∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝∠AOB， ∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA） ＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）， ＝180°﹣（180°﹣∠C） ＝90°+∠C， ∴2∠AIB＝180°+∠C， ∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+∠AOB，即4∠AIB﹣∠AOB＝360°． 故选：C． 【题型12】利用三角形的内切圆与内心的性质求周长或面积 【典型例题】如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　） A. B. C.2 D.4 【答案】B 【解析】如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H， ∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，∴∠COH＝60°， ∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2，∴CH＝2， ∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2． 故选：B． 【举一反三1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（　　） A. B. C.16 D.32 【答案】B 【解析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E点，OF⊥BC于F点，连接OA、OB，如图， ∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OD＝OE＝OF，OC平分∠ACB， ∴∠OCE＝∠OCF＝∠ACB＝45°，∴OE＝OC＝，∴OD＝OF＝， ∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC， ∴××AB+××AC+××BC＝×（AB+AC+BC）， ∵AB+AC+BC＝16，∴△ABC的面积＝××16＝8. 故选：B． 【举一反三2】已知△ABC的周长为10，面积为15，则△ABC的内切圆的周长为 　   　． 【答案】6π 【解析】设内切圆的半径是r，则×10r＝15，解得：r＝3． △ABC的内切圆的周长为：C＝2πr＝6π. 【举一反三3】如图，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线AI与△ABC的外接圆相交于点E． （1）CE与IE相等吗？为什么？ （2）如果∠B＝60°，BE＝2，求△CIE的周长． 【答案】解：（1）CE＝IE． 理由如下：连接CI，如图， ∵点I是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠4＝∠5，∴∠5＝∠3， ∵∠6＝∠3+∠2，∠ECI＝∠1+∠5＝∠1+∠3，∴∠6＝∠ECI， ∴CE＝IE. （2）∵∠3＝∠4，∴＝，∴CE＝BE＝2， ∵∠E＝∠B＝60°，而EC＝EI，∴△CEI为等边三角形，∴△CIE的周长为2+2+2＝6． 【题型13】利用切线长定理求角度 【典型例题】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A.5，（90°+∠P） B.7，90°+∠P C.10，90°﹣∠P D.10，90°+∠P 【答案】C 【解析】∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC， ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10； 如图，连接OA、OE、OB． 由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE， ∵AO＝OE＝OB， 易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS）， ∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB＝180°﹣∠P， ∴∠COD＝90°﹣∠P． 故选：C． 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　） A.32° B.48° C.60° D.66° 【答案】D 【解析】∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA＝CD， ∵∠ACD＝48°，∴∠CAD＝∠CDA＝66°， ∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB＝∠CAB＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠CAD＝66°. 故选：D． 【举一反三2】如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是　   　°． 【答案】99 【解析】∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB＝EC， 又∵∠E＝46°，∴∠ECB＝∠EBC＝67°， ∴∠BCD＝180°﹣（∠BCE+∠DCF）＝180°﹣99°＝81°； ∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣81°＝99°. 【举一反三3】如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数． 【答案】解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°， 所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°， 根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PAB＝∠PBA＝70°， 所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°． 【举一反三4】已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： （1）△PCD的周长； （2）若∠P＝50°，求∠COD的度数． 【答案】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC； ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12. （2）连接OE，如图所示： 由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD， ∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°， ∴∠AOB+∠P＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°， 由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°． 【题型14】利用切线的性质求角的度数 【典型例题】如图，AB是⊙O直径，BC与⊙O相切于点B，OC与⊙O相交于点D，连接AD，若∠A＝24°，则∠C的度数为（　　） A.24° B.42° C.48° D.52° 【答案】B 【解析】∵AB是⊙O直径，BC与⊙O相切于点B，∴BC⊥AB，∴∠OBC＝90°， ∵∠BOC＝2∠A＝2×24°＝48°，∴∠C＝90°﹣48°＝42°． 故选：B． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上的点，以OB为半径的⊙O交BC于点D，AD恰好是⊙O的切线，若∠CAD＝32°，则∠ABC的度数为（　　） A.26° B.28° C.32° D.58° 【答案】C 【解析】∵∠C＝90°，∠CAD＝32°，∴∠ADC＝90°﹣32°＝58°， ∵AD恰好是⊙O的切线，∴∠ADO＝90°，∴∠ODB＝180°﹣90°﹣58°＝32°， ∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB＝32°． 故选：C． 【举一反三2】如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为 　       　． 【答案】80° 【解析】如图，连接TO并延长交圆O于点E，连接AE， ∴∠TAE＝90°， 又∵∠BAT＝100°，∴∠BAE＝10°，∴∠BTE＝10°， 又∵CD是⊙O的切线，T为切点，∴∠DTE＝90°， ∴∠DTB＝∠DTE﹣BTE＝90°﹣10°＝80°. 【举一反三3】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°，求∠PAB和∠P的度数． 【答案】解：∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA， ∵∠BAC＝25°，∴∠PAB＝90°﹣25°＝65°， ∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°﹣65°﹣50°，则∠PAB＝65°，∠P＝50°． 【题型15】利用切线的性质求线段的长度 【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（　　） A. B. C.5 D. 【答案】A 【解析】连接BC， ∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°， ∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∴∠BOC＝60°， ∴∠ACP＝∠BAC＝∠BOC＝30°＝∠P，∴AP＝AC， ∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝10，∴AC＝5. 故选：A． 【举一反三1】如图，⊙O的半径为4，CD切⊙O于点D，AB是直径．若ED⊥AB于点F且∠CDE＝120°，则ED的长度为（　　） A.2 B.4 C.6 D.4 【答案】D 【解析】∵CD切⊙O于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°， ∵∠CDE＝120°，∴∠ODE＝∠CDE﹣∠ODC＝30°， ∵AB是直径，ED⊥AB，∴EF＝DF，OF＝OD＝2，∴DF＝＝2， ∴ED＝4. 故选：D． 【举一反三2】如图，在半径为1的⊙O中，AP是⊙O的切线，A为切点，OP与弦AB交于点C，点C为AB中点，∠P＝30°，则CP的长度为（　　） A.2 B.1.5 C.1.6 D.1.8 【答案】B 【解析】连接OA，如图， ∵AP是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA， ∵∠P＝30°，∴∠POA＝60°， 在Rt△POA中，PO＝2OA＝2， ∵点C为AB中点，∴OC⊥AB， 在Rt△OCA中，∠OAC＝30°，OA＝1，∴OC＝OA＝， ∴PC＝PO﹣OC＝2﹣＝． 故选：B． 【举一反三3】如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．若AC＝1，AO＝2，则BD的长度为　    　． 【答案】2 【解析】AC＝CD，理由为： ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B， ∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC＝∠OAB+∠DAC＝90°， ∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∴∠ODB+∠B＝90°， ∵∠ODB＝∠CDA，∴∠CDA+∠B＝90°，∴∠DAC＝∠CDA，则AC＝CD； 在Rt△OAC中，AC＝CD＝1，AO＝2，根据勾股定理得：OC2＝AC2+AO2， 即OC2＝12+（2）2，解得：OC＝3，∴OD＝OC﹣CD＝2， 在Rt△OBD中，BD＝＝＝2． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是　      ． 【答案】 【解析】过点O作OD⊥AC于点D， ∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°， ∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∴∠AOC＝120°， ∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°， ∵AB＝10，∴OA＝5，∴OD＝AO＝2.5，∴AD＝＝， ∴AC＝2AD＝5． 【举一反三5】如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，切点A，OD⊥OB，交AB于D，交AC于C． （1）求证：CA＝CD； （2）若AC＝3，AO＝4，求OD的长度． 【答案】解：（1）证明：∵AC是⊙O切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°， ∴∠OAB+∠CAB＝90°． ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠ODB+∠B＝90°． ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠CAB＝∠ODB． ∵∠ODB＝∠ADC，∴∠CAB＝∠ADC，∴AC＝CD. （2）在Rt△OAC中，OC＝＝5，∴OD＝OC﹣CD＝OC﹣AC＝5﹣3＝2． 【题型16】切线的性质中的最值问题 【典型例题】如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（　　） A.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD， 当DC与⊙O相切于点C时，AD最大， 则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD， ∵CB⊥l，∴∠DBC＝90°， ∵BD＝BC，∴∠CDB＝45°， ∵⊙O与直线l相切于点A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠AED＝45°， 连接OC，则OC⊥DE， 在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得OE＝＝， ∴AD＝AE＝AO+OE＝1+，则AB+BC的最大值是+1． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF的长度（　　） A.随圆的大小变化而变化，但没有最值 B.最大值为4.8 C.有最小值 D.为定值 【答案】C 【解析】由题意得，AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°，可知EF为圆的直径， 设圆与AB的切点为D，连接CD， 当CD⊥AB，即CD是圆的直径的时候，EF长度最小． 故选：C． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，若点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，则△ABM面积的最大值为（　　） A.64 B.48 C.32 D.24 【答案】C 【解析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接PC，PA， ∵点P的坐标为（5，3），⊙P与y轴相切于点C，∴PC＝5，PD＝3， ∴PA＝PC＝5， 在Rt△PAD中，AD＝＝4， ∵PD⊥AB，∴AB＝2AD＝8， 当点M（3，8）时，△ABM面积最大，最大值为：AB•MD＝×8×8＝32． 故选：C． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙C的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙C的一条切线PD，点D为切点，则线段PD长的最小值为 　   　． 【答案】 【解析】连接DC，PC，如图所示： ∵PD为⊙C的一条切线，∴PD⊥DC，∴， ∵DC为半径是定值，∴当PC最小时，PD取得最小值， 由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，PC最小， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5， ∵，∴5PC＝12，解得， ∴. 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为　  　． 【答案】4 【解析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小， ∵C（3，4），∴OC＝＝5， ∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OC﹣3＝2， ∴OP＝OA＝OB＝2， ∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最小值为4. 【举一反三5】如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值． 【答案】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，∴AB＝OA＝6，∴OP＝＝3， ∴PQ＝＝2． 【举一反三6】如图，已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为2，∠MPN＝60°，点C在⊙O上运动，求PC的最大值． 【答案】解：如图．连接PO并延长交⊙O于点C，此时PC的值最大，连接OA、OB， ∵PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，由对称性可知， ∠MPC＝∠NPC＝∠MON＝30°， 在Rt△POA中，∠APO＝30°，OA＝2， ∴OP＝2OA＝4， ∴PC＝OP+OC＝4+2＝6， 答：PC的最大值为6． 【题型17】利用切线长定理求值 【典型例题】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A.13 B.12 C.11 D.10 【答案】D 【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF， ∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝10， ∴BE+CG＝10（cm）． 故选：D． 【举一反三1】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【解析】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 【举一反三2】如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　） A.5 B.10 C.7.5 D.4 【答案】A 【解析】设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9﹣x， CE＝CF＝CA﹣AF＝6﹣x， 则有9﹣x+6﹣x＝5，解得x＝5，即AF的长为5． 故选：A． 【举一反三3】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　    　． 【答案】25π 【解析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF， 则四边形OECF是正方形， ∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝10，∴OE＝5，∴⊙O的面积为25π. 【举一反三4】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 【答案】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON， 则∠OMB＝∠ONB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°， ∵ON＝OM，∴四边形MBNO是正方形， ∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆， ∴BM＝BN＝OM＝ON＝AB＝×6＝3， 由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN， ∴△BEF的周长为BF+EF+BE ＝BF+PF+PE+BE ＝BF+FN+EM+BE ＝BN+BM ＝3+3 ＝6． 【题型18】直线与圆的位置关系中的最值问题 【典型例题】在平面中，已知⊙O的半径OP等于5，点P在直线l上，则圆心O到直线l的距离（　　） A.等于5 B.最小值为5 C.最大值为5 D.不等于5 【答案】C 【解析】如图，作OQ⊥l于点Q， ∵OP＝5，且OQ≤OP，∴OQ≤5，∴OQ的最大值为5， ∴圆心O到直线l的距离最大是为5. 故选：C． 【举一反三1】在直角坐标系中，半径为4的⊙O′的圆心坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A.x轴与⊙O′相交 B.y轴与⊙O′相切 C.原点到⊙O′上任意点距离的最小值为1 D.x轴上不存在到圆心O′为4的点 【答案】C 【解析】如图， 观察图象可知，⊙O′与x轴相切，与y轴相交，原点O到⊙O′上的点的距离的最小值为5﹣4＝1， 故选项A，B，D错误. 故选：C． 【举一反三2】如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为（　　） A.3 B.7 C. D. 【答案】D 【解析】如图，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时， 线段MN是⊙O的直径， ∵l⊥PA，∴∠APO＝90°， ∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝＝. 故选：D． 【举一反三3】不论k为何值，以点M（0，1）为圆心的圆与直线l：y＝kx+5﹣3k总有公共点，则⊙M的面积的最小值为　      ． 【答案】25π 【解析】∵直线l：y＝kx+5﹣3k＝k（x﹣3）+5， ∴直线l恒过点A（3，5）， ∵不论k为何值，以点M（0，1）为圆心的圆与直线l：y＝kx+5﹣3k总有公共点， ∴⊙M的半径最小为AM＝＝5， ∴⊙M的面积的最小值为π×AM2＝25π. 【举一反三4】（1）已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为5， ①直线l与⊙O的位置关系是　       ； ②若点P为⊙O上一动点，求点P到直线l的距离的最大值和最小值． （2）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE＝2，求弦CD的长． 【答案】解：（1）①∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3， ∵圆心O到直线l的距离是5，5＞3，∴直线l与⊙O的位置关系是相离. ②点P到直线l的距离的最大值＝5+6÷2＝8，最小值＝5﹣6÷2＝2. （2）如图，连接OC； ∵直径AB＝10，BE＝2，∴OE＝5﹣2＝3，OC＝5； ∵弦CD⊥AB，∴CE＝DE； 由勾股定理得：CE＝＝4，∴CD＝2CE＝8． 【题型19】切线的判定与性质的动点问题 【典型例题】如图，∠AOB＝30°，⊙M的圆心在OA上，半径为4cm，若圆心在射线OA上移动，则当OM＝　    　cm时，⊙M与OB相切． 【答案】8 【解析】设OB与⊙M相切于点C，连接MC， 则MC⊥OB，且MC＝4cm， ∵∠AOB＝30°，∴OM＝2MC＝8cm. 【举一反三1】如图，∠AOB＝30°，⊙M的圆心在OA上，半径为4cm，若圆心在射线OA上移动，则当OM＝　    　cm时，⊙M与OB相切． 【答案】8 【解析】设OB与⊙M相切于点C，连接MC， 则MC⊥OB，且MC＝4cm， ∵∠AOB＝30°，∴OM＝2MC＝8cm. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣3，0），以2为半径，点P为圆心的⊙P以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当⊙P与y轴相切时，t＝　　     ． 【答案】秒或秒 【解析】（1）当⊙P的圆心P在y轴左侧时，P到y轴距离d＝r＝2，⊙P与y轴相切， ∴⊙P移动时间t＝（3﹣2）÷2＝（秒）； （2）当⊙P的圆心P在y轴右侧时，P到y轴距离d＝r＝2时，⊙P与y轴相切， ∴⊙P移动时间t＝（3+2）÷2＝（秒）． 综上，当⊙P与y轴相切时，t＝秒或秒． 学科网（北京）股份有限公司 $