精品解析：四川省成都市青羊区树德中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 等腰三角形的中线就是角平分线 D. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 7. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 30 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a为常数，且与正比例函数（k为常数，且的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 分解因式：___________． 10. 关于x不等式的解集如图所示，那么m的值为______． 11. 若分式的值等于，则______． 12. 如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为______． 13. 如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，棱上一点到顶点的距离为2，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从顶点爬到点，则爬行的最短路程为__________． 14. 若，则______． 15. 已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______． 16. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 _______． 17. 已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方)，以同样的方式依次作等边三角形，…，按此方式继续作下去，则点的横坐标为______． 18. 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“吉祥数”，则________，定义，若能被17整除，且存在整数k，使得，则满足条件的M的值为________． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，并从、1、2中选一个你喜欢的值代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标为______； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并求出的面积． 22. 为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米． 23. 已知是等腰直角三角形且，若以为斜边作，且始终为直角，再将线段绕点B逆时针旋转得到线段． （1）BC下方时，连接交于点G，交于点D， ①如图1，若，，求线段的长． ②如图2，若，求证：． （2）如图3，在上方时，连接，若的延长线过的中点D，且，交于点H，直接写出的值． 24. 某工厂进行人员招聘，经市场调研与成本核算发现：若录用3名A工种工人和2名B工种工人，每月需支付工资总额为10500元；若录用2名A工种工人和3名B工种工人，每月需支付工资总额为12000元． （1）请根据上述信息，分别求出A、B两种工种工人的月工资各是多少元？ （2）现工厂计划招聘150名工人，为保证生产质量与岗位协作需求，要求B工种人数不少于A工种人数的2倍．那么，当招聘A工种多少人时，工厂每月支付的工资总额最低？最低工资总额是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点． （1）求m值和的解析式； （2）当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标； （3）点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 26. 在几何图形变换的数学课堂情境中，徐老师引导学生共同探索角度与线段长度的相关奥秘． （1）如图1，已知，在射线和射线上取，连接，点D、H分别是线段、上的点，若，求的度数． （2）在（1）问的条件下，如图2，过点A作的平行线交延长线于点E，求证：． （3）如图3，若，点A在射线上，且，点P是射线上一动点，以点A为直角顶点作，若的面积为，请直接写出长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 如果，那么下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； D、如果，那么，故本选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义：把一个多项式分成几个因式的积的形式．据此进行解答即可． 【详解】解：A．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； B．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； C．，把一个多项式写成几个因式的积的形式，它属于因式分解，故此项符合题意； D．，故原选项计算错误，故此项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解并运用分式的基本性质．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变，即可得出答案． 【详解】解：A. ，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C.当，时，，故本选项不符合题意； D. ，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 等腰三角形的中线就是角平分线 D. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查等边三角形的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的判定，根据等边三角形的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的判定逐一分析各选项的正确性． 【分析】A．三个角都相等的三角形是等边三角形，符合等边三角形的判定定理，为真命题． B．角平分线上的点到角的两边距离相等，符合角平分线的基本性质，为真命题． C．等腰三角形的中线是否为角平分线需具体分析．等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一，但若中线为腰上的中线，则不一定为角平分线．题干未明确“中线”的位置，表述不严谨，存在反例，故为假命题． D．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，符合垂直平分线的判定定理，为真命题． 故选：C． 7. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a为常数，且与正比例函数（k为常数，且的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一不等式．直接根据两函数图象的交点写成不等式解集的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方， 所以关于x的不等式的解集是． 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式方法，是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 关于x的不等式的解集如图所示，那么m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式解集的情况求参数，先用含m的式子表示出不等式的解集，再根据数轴得出不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， ， 从图上可以看出，不等式的解集为， ， ， 故答案为： 11. 若分式的值等于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及点到直线的距离，，则是的角平分线，根据角平分线的性质即可求出 ，然后进一步求得． 详解】解：如图， 过点D作，垂足为E， ，， ， 点D到的距离为， ∴ ， ， ∴， ， 故答案为： 13. 如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，棱上一点到顶点的距离为2，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从顶点爬到点，则爬行的最短路程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”以及勾股定理求解，即可获得答案． 【详解】解：如图1， 根据勾股定理，可得； 如图2， 根据勾股定理，可得； 如图3， 根据勾股定理，可得； ∵， ∴爬行的最短路程为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了长方体展开图、最短路径问题、勾股定理、实数比较大小等知识，理解题意，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 14. 若，则______． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，根据得出，再将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2029． 15. 已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含k的式子表示出x，再根据解是正数列不等式，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 分式方程的解是正数， 且， 解得：且 故答案为：且 16. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的知识得出，的长，再根据勾股定理求解．本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，，， ，， ， ， 故答案为：． 17. 已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方)，以同样的方式依次作等边三角形，…，按此方式继续作下去，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点D，计算几个特殊点的坐标，发现其规律后，解答即可． 本题考查了一次函数的性质，坐标的规律，熟练掌握性质，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得；，过作轴于点D，则， 三角形是等边三角形， ∴，， 当时，， 解得：， 的横坐标为：， 同理得：的横坐标为：， 的横坐标为：， ……， 的横坐标为：， 点的横坐标为：， 故答案为： 18. 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“吉祥数”，则________，定义，若能被17整除，且存在整数k，使得，则满足条件的M的值为________． 【答案】 ①. 10 ②. 6928 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键． 利用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；再利用整数整除的性质，合理变形分析讨论，最后得出满足条件的的值． 【详解】解：， 变形得，为 10 的倍数． ， ， ∵为 10 的倍数， 故． ∴，可求得． ∵能被 17 整除， 可设为整数）． 将变形得：， 即， ∴为整数， ∵与 3 互质， ∴必是 17 的整数倍． ∵均为正整数， ∴，即， ∵是 17 的整数倍， 故或． 以下分两种情况讨论： ①当时，则， ， 符合条件的有或或， 当时，， ， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，， ， ∴（符合题意）， 此时， ∴； 当时，， ， ∴（不符合题意，舍去）； ②当时，则， ， 符合条件的有或或， 当时，， ， ∴无解（不符合题意，舍去）； 当时，， ， ∴无解（不符合题意，舍去）； 当时，， ， ∴（不符合题意，舍去）； 综上，， 故答案为： 10，6928 ． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） . 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确的计算是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验． 【详解】（1）解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 故原不等式组的解集为； （2）原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 20. 先化简，再求值：，并从、1、2中选一个你喜欢的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先对分子分母因式分解，再对括号内的进行通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ，2， 当时，原式 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标为______； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并求出的面积． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了作图旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出；运用整体减部分可求出面积. 小问1详解】 如图，即所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求． 的面积为. 22. 为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米． 【答案】100米 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，根据甲、乙两队共用50天，列分式方程，求出解后进行检验即可． 【详解】解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每天修路100米． 23. 已知是等腰直角三角形且，若以为斜边作，且始终为直角，再将线段绕点B逆时针旋转得到线段． （1）在BC下方时，连接交于点G，交于点D， ①如图1，若，，求线段的长． ②如图2，若，求证：． （2）如图3，在上方时，连接，若的延长线过的中点D，且，交于点H，直接写出的值． 【答案】（1）① ②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】①由，，，求出，可得，根据将线段绕点B逆时针旋转得到线段，即可得； ②在上截取，连接，证明≌，可得，，从而，再证≌，得，，即可得是等腰直角三角形，有，故； 作，交FD延长线于点N，过点B作，垂足为点P，证明，可得，，再证≌，则，设，求出，过点作交于点，由勾股定理表示出，，，再求出，再由求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①，，， ， ， 将线段绕点B逆时针旋转得到线段， ，， ； ②证明：在上截取，连接，如图： ，交于点D， ， ，， ≌， ，， ，， ， ，， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 【小问2详解】 解：作，交延长线于点N，过点B作，垂足为点P， 绕点B逆时针旋转得到， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ≌， ， ， 设， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 过点作交于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴ ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等知识，本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质，利用全等勾股定理表示各边的长度，从而解决面积的比值． 24. 某工厂进行人员招聘，经市场调研与成本核算发现：若录用3名A工种工人和2名B工种工人，每月需支付工资总额为10500元；若录用2名A工种工人和3名B工种工人，每月需支付工资总额为12000元． （1）请根据上述信息，分别求出A、B两种工种工人的月工资各是多少元？ （2）现工厂计划招聘150名工人，为保证生产质量与岗位协作需求，要求B工种人数不少于A工种人数的2倍．那么，当招聘A工种多少人时，工厂每月支付的工资总额最低？最低工资总额是多少？ 【答案】（1）1500元；3000元 （2）50人；37.5万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法． （1）根据A、B两个工种的工人的月工资乘以它们的人数就是工厂每月所支付的工资，因此可列方程，进而解答； （2）在（1）的基础之上又多出了一个最值问题，需要运用函数，考虑函数和自变量的增减性，找出自变量取值范围，进行解答． 【小问1详解】 解：设A工种工人每月的工资是x元，B工种工人每月的工资是y元， 根据题意得： ， 解得 ， 答：A工种工人每月的工资是1500元，B工种工人每月的工资是3000元； 【小问2详解】 设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人， 根据题意得： ， 解得：， 设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的工资总额是w元，则， 即 ， ∵ ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最小值，最小值为万元 答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是万元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，另一条直线与x轴交于点E，与交于点． （1）求m的值和的解析式； （2）当点C为直线上一动点，且的面积为8，求点C的坐标； （3）点M为x轴一动点，点P是直线上一动点，是否存在以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1； （2）点或 （3）存；0或或或 【解析】 【分析】（1）根据过点，确定坐标，后代入的解析式，解答即可； （2）设点，当点C在x轴的上方时，此时，；点C在x轴的下方时，此时，，分类解答即可． （3）根据等腰直角三角形的性质，构造一线三直角全等模型，分类解答即可． 本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点， 故， ∴， ∴， ∴， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：根据直线的解析式为，得，由直线，得，故, 又， 设点，当点C在x轴的上方时，此时， 根据题意，得的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点； 当点C在x轴的下方时，此时， 根据题意，得的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点； 综上所述，点或． 【小问3详解】 解：存在是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设，， 当为直角边时，过P作轴，过M作于N，过F作于Q，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 解得或， 此时点P的横坐标为0或； 当为直角边时，过P作轴于H，过F作轴于G，如图： 同理可得， ，， ， 解得或此时P，F重合，舍去或， 综上所述，P的横坐标为0或或或 26. 在几何图形变换的数学课堂情境中，徐老师引导学生共同探索角度与线段长度的相关奥秘． （1）如图1，已知，在射线和射线上取，连接，点D、H分别是线段、上的点，若，求的度数． （2）在（1）问的条件下，如图2，过点A作的平行线交延长线于点E，求证：． （3）如图3，若，点A在射线上，且，点P是射线上一动点，以点A为直角顶点作，若的面积为，请直接写出长度的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，平角的定义，等量代换解答即可． （2）在上截取，利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等量代换解答即可． （3）作，，和交于点C，过点A作交于点D，作于点E，作于点F，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理，两点之间线段最短解答即可． 【小问1详解】 解：， 又，， ． 【小问2详解】 证明：如图2所示，在上截取， ， ，，， 又， 故为等边三角形， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【小问3详解】 解：如图3所示，作，，和交于点C， 过点A作交于点D，作于点E，作于点F， ，， ， ∴，， 四边形为矩形， ， ， ，即， ，即为定长． 取中点R，连接， 由斜边中线定理知， ， ， 当B、R、Q三点共线时取等号， ， 即长度的最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $