精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

2025－2026学年内江一中八年级数学下学期期中考试 A卷（共120分） 一．填空题（共48分） 1. 下列各式，，，，，，，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（ ） A. x＝3 B. x＜3且x≠2 C. x≤3且x≠2 D. x≠2 5. 在平面直角坐标系中，直线向上平移4个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 选择题：将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 不变 C. 扩大为原来的9倍 D. 缩小为原来的倍 8. 已知一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象与x轴的交点坐标是 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 9. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线()和轴上，已知点，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共16分） 13. 若分式的值为0，则的值为____________． 14. 若点与点关于轴对称，则___________． 15. 关于x的分式方程有增根，则m的值为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 三．解答题（共56分） 17. 计算： 18. 解分式方程： （1）． （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 小莉陪父母出去散步，从家走了一段时间后到达公园，小莉陪父母看了一会风景后，用了返回家．下图是关于小莉离家的路程和离家时间的函数图像． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）公园离家的路程为__________m；小莉在公园停留的时间为__________； （2）求小莉从家出发到公园的速度？ （3）当小莉距离公园时，求的值． 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 （3）在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积； （3）当函数值时，直接写出的取值范围． B卷（共30分） 四．填空题（共12分） 23. 已知：，则=____________． 24. 若关于的分式方程无解，则的值为________． 25. 若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 26. 已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，对于以下结论，正确的序号有___________． 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 五．解答题（共18分） 27. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 （3）在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 28. 在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， （1）求反比例函数和所在直线的函数表达式； （2）连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年内江一中八年级数学下学期期中考试 A卷（共120分） 一．填空题（共48分） 1. 下列各式，，，，，，，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据分式的定义逐一判断各式，即可得到结果. 【详解】解：分式的定义为：若，是两个整式，且中含有字母，，则式子是分式，据此逐个判断： ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，是常数，因此是常数，分母不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； 综上，分式共有个． 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由函数的定义可知，只有D选项中的曲线表示是的函数． 4. 函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（ ） A. x＝3 B. x＜3且x≠2 C. x≤3且x≠2 D. x≠2 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零列不等式组求解． 【详解】解：由题意得： 3﹣x≥0且x﹣2≠0， 解得：x≤3且x≠2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组是解答本题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，直线向上平移4个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的平移规律，得出平移后的函数解析式，再求出当时的自变量取值，即可解答． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，平移后的解析式为， 令，则， 解得：， 平移后的直线与x轴的交点坐标为． 6. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变逐一验证各选项即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，原选项变形错误，不符合题意； 、当时，，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 7. 选择题：将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 不变 C. 扩大为原来的9倍 D. 缩小为原来的倍 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据分式的性质，解答即可． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得， 扩大3倍． 8. 已知一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象与x轴的交点坐标是 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的求解方法和三角形面积公式，逐个判断各选项的说法，即可找出不正确的结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵当时，，解得， ∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． ∵ ，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意． 当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点， ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意． 9. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 10. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 11. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 12. 正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线()和轴上，已知点，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标及待定系数法求一次函数解析式，先把，代入求得直线的解析式，由图易知图中所有的三角形的等腰直角三角形，即可得到点的坐标的规律，从而求得结果，解题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律． 【详解】解：把，代入， 可得，可知的纵坐标总比横坐标多， 由图易知图中所有的三角形都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴纵坐标为， 观察图可知的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标， ∴纵坐标为，则的纵坐标为，的横坐标为，则的横坐标为， ∴则点， ∴， 故选：A． 二．填空题（共16分） 13. 若分式的值为0，则的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0可得分母为0，分子不为0，即可求解．熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 14. 若点与点关于轴对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出的值，代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 关于x的分式方程有增根，则m的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形底和高之间的关系，可求，，再根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：轴，，的面积为3， ， 正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， ， ， ， ，解得， 反比例函数的图象过一、三象限， ． 三．解答题（共56分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值、零次幂、负整数指数幂、二次根式的相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解分式方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤解答即可． （2）根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 整理，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 20. 小莉陪父母出去散步，从家走了一段时间后到达公园，小莉陪父母看了一会风景后，用了返回家．下图是关于小莉离家的路程和离家时间的函数图像． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）公园离家的路程为__________m；小莉在公园停留的时间为__________； （2）求小莉从家出发到公园的速度？ （3）当小莉距离公园时，求的值． 【答案】（1）900，10； （2）； （3） 或 【解析】 【分析】（1）由函数图像直接读取公园的路程和停留时间． （2）利用速度公式，用路程除以时间求出速度． （3）分去程和回程两种情况，先求出各段的函数解析式，再令距离公园（即）求解． 【小问1详解】 解：由图像可知，公园离家的路程为， 小莉在公园停留的时间为． 【小问2详解】 解：小莉从家出发到公园的速度为． 【小问3详解】 解：当时，设， 将代入得：， 解得：， ， 当小莉距离公园时，， ， 解得：， 当时，设， 将和代入得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：， 或 ． 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 （3）在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）500元，300元 （2） （3）购买A型机器人10台，B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）先设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为，再根据购买两种机器人的数量相等列出分式方程，求出解并检验； （2）设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费w元，再列出不等式，并求出解集，然后根据购买两种机器人的费用和等于W得出一次函数； （3）根据一次函数的性质讨论得出最小值即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，根据题意，得 ，且， 解得， ∴ ，其中； 【小问3详解】 解： ， ∵，且， ∴W随着m的增大而增大， ∴当时，W取最小值，此时， 所以购买A型机器人模型10台，购买B型机器人模型30台时花费最少，最少花费11200元． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积； （3）当函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为， （2）32 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论； （2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点E的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象得：当函数值时，的取值范围为或． B卷（共30分） 四．填空题（共12分） 23. 已知：，则=____________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知条件可得，然后将所求分式变形为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 24. 若关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了根据方程的解的情况求参数，首先最简公分母为0，求出增根，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出的值． 【详解】解：当时，或， 原分式方程可化为：， 去分母，得， 整理得， 分式方程无解， ， ， 把或，分别代入， 得或， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 25. 若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求解分式方程，根据解为正数且分母不为0得到m的取值范围，一次函数的图象分布确定一个范围，综合确定解集，找出范围内所有整数，求和即可得到结果． 【详解】解：解分式方程 方程两边同乘 得 整理得 ， ∵分式方程的解为正数，且分母不能为0 ∴ 且 解得且 因为一次函数不经过第二象限， 所以 ，且， 故； 综上所述，且； 符合条件的整数为：， 故. 26. 已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，对于以下结论，正确的序号有___________． 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一次函数与方程的联系即可判断结论①；求出三条直线的解析式，再求出F点和点的坐标，根据三角形的面积公式即可判断结论②；根据解析式求出点坐标，根据三角形的面积公式即可判断结论③；求出点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点，求出直线的解析式，即可求得点坐标，判断结论④． 【详解】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故结论①正确； 将，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为， 直线直线且经过原点， 直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 直线的函数解析式为， 解，解得， 点的坐标为， 在中，令，得， 解得， 点的坐标为， ，故结论②正确； 在中，令，得，解得， 点的坐标为， ， ，故结论③错误； 直线交轴于点， ， 作点C关于x轴的对称点，则，连接交x轴于点， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，得，解得， 点坐标为，故结论④正确； 综上所述，正确的结论为①②④． 故答案为：①②④． 五．解答题（共18分） 27. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 （3）在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【答案】（1）是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“和整分式”的定义求，再根据分式的加减法法则计算，并判断； （2）根据“和整分式”的定义可得，再去分母，并整理，然后根据对应系数相等得出答案； （3）先确定，再根据题意讨论可得答案． 【小问1详解】 解：是，理由如下：∵ ， ∴A与B是和整分式，“和整值”； 【小问2详解】 解：∵C与D是“和整分式”，且“和整值”， ∴， 去分母，得， 整理，得， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵，且x为正整数，分式D也为正整数， ∴当或，分式D也为正整数， 解得或（舍）， 所以． 28. 在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， （1）求反比例函数和所在直线的函数表达式； （2）连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，点的坐标为或 （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据求出，，根据是线段的中点可得，，代入求出的值，可得反比例函数解析式，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据直线解析式求出，即可求出，设，得出，根据列方程可求出的值，即可得出点坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，分，和三种情况，利用等腰直角三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：，即，， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， 如图所示： ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 综上所述：存在点，使得，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，当时，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，， ∵轴，在上， ∴点与原点重合， ∴， ∴； 综上所述：存在点，，使是等腰直角三角形，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $