第19章 实数（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

第19章 实数（压轴题专项训练） 一、单选题 1．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．若，，则（    ） A． B． C． D．或 3．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 4．如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 5．四则运算符号有，，，，现引入两种新运算符号，，合称“六则运算”．若规定的运算结果是a和b中较大的数，的运算结果是a和b中较小的数，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 8．请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 9．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 10．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 11．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 12．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 13．设、是有理数，且满足等式则 ． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则经过次运算后得到数对 ． 15．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 16．设，，且，则 17．一个四位正整数，各数位上的数字均不为，若的千位数字与十位数字之和是百位数字与个位数字之差的倍，则称这个四位数为“差倍数”．例如：，因为，所以是“差倍数”，则最小的“差倍数”是 ．将“差倍数”任意去掉两个数位的数字得到一个两位数，把能得到的所有两位数的和记为．例如：．若“差倍数”的百位数字与个位数字之差是，且是的倍数，则满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为 ． 18．对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若、都是“迥异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，的最大值为 ． 三、解答题 19．材料：将减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是．解答： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，求的值； (2)若，其中是整数，且，求的值． 20．已知，且与互为相反数，求x，y的值． 21．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 22．定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足，233241满足． (1)判断357____________平衡数；314567____________平衡数；（均选填“是”或“不是”） (2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除．你同意琪琪的看法吗？请说明理由． 23．阅读材料，并解答问题： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． (1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“” (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小． 24．综合与实践 问题情境：在综合实践课上，白老师和同学们利用如图所示的两块相同的大木板裁剪小木板． 任务一：裁剪三块面积分别为，，的正方形木板， 莉莉设计如下裁剪方案： ①如图1，先在右下角裁剪下的正方形木板A． ②如图1，继续在左下角裁剪下的正方形木板B． ③如图1，最后在左上角裁剪下的正方形木板C． （在裁剪过程中每两个正方形之间无缝隙） 任务二：裁剪四块面积为，且长与宽的比为3∶2的长方形， 倩倩设计如下裁剪方案： 按图2方式裁剪四块相邻的长方形，每块面积为，且长与宽的比为3∶2． 根据以上任务内容完成下列问题： (1)任务一中裁剪的正方形A的边长为______cm． (2)①求大长方形木板的面积． ②图1中D部分的周长为______cm． (3)通过计算说明倩倩设计的方案能够成功裁剪四块小长方形木板吗？（） 25．设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数（压轴题专项训练） 一、单选题 1．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 2．若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵， ∴或． ∵，得， ∴或． ∵ ∴当时， ， ∴． 当时，， ∴． 综上，值为或，即， 故选：B． 3．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 4．如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 5．四则运算符号有，，，，现引入两种新运算符号，，合称“六则运算”．若规定的运算结果是a和b中较大的数，的运算结果是a和b中较小的数，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 当时，，原式， 当时，，原式，此选项成立，不符合题意； B. 当时，原式；当时，原式，此选项成立，不符合题意； C. 当时，，∴， 当时，，∴，，此选项成立，不符合题意； D. 举反例，当，时，即，，不相等，此选项不成立，符合题意． 故选D． 6．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 二、填空题 7．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 8．请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， 故答案为：． 9．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 【答案】 或 0或 【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”， ∵的算术平方根是，的立方根是， ∴这个实数可以是， ∴当时，， 当时，， ∴或； 若与都是“完美实数”， ∴或或或， 解得，或或或， ∴对应的或或或， ∴对应的平方根为或或或， 综上所述，的平方根为或； 故答案为：①或；② 或． 10．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 11．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 12．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 【答案】32 【详解】解：由，确定是两位数． 由32768的个位上的数是8，能确定的个位上的数是2． 如果划去32768后面的三位768得到数32，而，由此确定的十位上的数是3． 因此，32768的立方根是32． 故答案为：32． 13．设、是有理数，且满足等式则 ． 【答案】1或 【详解】解：， ， 、是有理数， ，， 解得：或，， 当时，， 当时，， 综上所述，或 故答案为：1或． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则经过次运算后得到数对 ． 【答案】 【详解】解：数对经过第1次运算得到点， 经过第2次运算得到点， 经过第3次运算得到点， 经过第4次运算得到点， 经过第5次运算得到点， 经过第6次运算得到点， 经过第7次运算得到点， 经过第8次运算得到点， 经过第9次运算得到点， 经过第次运算得到点， 经过第11次运算得到点， 经过第次运算得到点， 通过计算发现规律：点经过第6次运算得到点，然后点、点和点，每3次就进行一个循环， ∴， ∴经过次运算后得到数对， 故答案为：； 15．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴, ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ……， 以此类推可得，当为奇数时，；当为偶数时，， ∴， 故答案为：． 16．设，，且，则 【答案】1 【详解】解：∵，， ∴，则，，均为正数， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 17．一个四位正整数，各数位上的数字均不为，若的千位数字与十位数字之和是百位数字与个位数字之差的倍，则称这个四位数为“差倍数”．例如：，因为，所以是“差倍数”，则最小的“差倍数”是 ．将“差倍数”任意去掉两个数位的数字得到一个两位数，把能得到的所有两位数的和记为．例如：．若“差倍数”的百位数字与个位数字之差是，且是的倍数，则满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【详解】解：一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为、、、，且各数位上的数字均不为， 根据题意可得：， 要使“差倍数”最小，则， ，且 ，，则， 最小的“差倍数”是； 故答案为： 由题意可得：， 则，， ， ， 是的倍数，是的倍数， 是的倍数， 当时，，不是的倍数； 当时，，是的倍数，此时，则最小可取，则，此时足条件的“差倍数”的最小值为； 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，是的倍数，此时，则最小可取，则，此时足条件的“差倍数”的最小值为； 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 18．对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若、都是“迥异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：设，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、都是正整数， ∴（不合）或或（不合）或， ∴，或，， ∴或， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 19．材料：将减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是．解答： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，求的值； (2)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2)14 【详解】（1）解：， ， ， 即， 的整数部分是2，小数部分是， ； （2）解：， ， ，即， 的整数部分是6，小数部分是， 是整数，且， ， 14． 20．已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】，，或者，，或者， 【详解】， ， ， ， ， ， ∴，或者，或者， ∴，或者，或者， ∵与， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 即，，或者，，或者，． 【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出，或者，或者，是解答本题的关键． 21．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 22．定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足，233241满足． (1)判断357____________平衡数；314567____________平衡数；（均选填“是”或“不是”） (2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除．你同意琪琪的看法吗？请说明理由． 【答案】(1)是；不是 (2)同意，理由见解析 【详解】（1）解：，357是平衡数； ，314567不是平衡数； 故答案为：是；不是； （2）解：同意． 理由：设这个三位平衡数为， ， 一定能被3整除， 即任意一个三位平衡数一定能被3整除． 23．阅读材料，并解答问题： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． (1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“” (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小． 【答案】(1)> (2) 【详解】（1），， ； 故答案为：． （2），，， ，，， ，， ， 两点之间，线段最短， ， ． 【点睛】此题考查的是实数的估数及勾股定理，掌握两点之间线段最短是解决此题的关键． 24．综合与实践 问题情境：在综合实践课上，白老师和同学们利用如图所示的两块相同的大木板裁剪小木板． 任务一：裁剪三块面积分别为，，的正方形木板， 莉莉设计如下裁剪方案： ①如图1，先在右下角裁剪下的正方形木板A． ②如图1，继续在左下角裁剪下的正方形木板B． ③如图1，最后在左上角裁剪下的正方形木板C． （在裁剪过程中每两个正方形之间无缝隙） 任务二：裁剪四块面积为，且长与宽的比为3∶2的长方形， 倩倩设计如下裁剪方案： 按图2方式裁剪四块相邻的长方形，每块面积为，且长与宽的比为3∶2． 根据以上任务内容完成下列问题： (1)任务一中裁剪的正方形A的边长为______cm． (2)①求大长方形木板的面积． ②图1中D部分的周长为______cm． (3)通过计算说明倩倩设计的方案能够成功裁剪四块小长方形木板吗？（） 【答案】(1)5 (2)①；②16 (3)能 【详解】（1）解：正方形A的面积为, 因此边长为． 故答案为：5 （2）解：①由（1）知正方形A的边长为， 正方形B的边长为， 正方形C的边长为， 则大长方形的面积为， ② 图1中长方形D的长为， 宽为， 周长为． 故答案为：16 （3）解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 整理得， 则（负值已舍去）， 小长方形的长为，宽为，两个小长方形的长为，宽为， ，， 倩倩设计的方案能够成功裁剪四块小长方形木板． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，和无理数的估算，正确开平方是解题关键． 25．设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 【答案】(1)20 (2)①不一定，② 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴偶数中2，4，8，14，奇数中1，7，11，13与15互素， ∴； ∵， ∴偶数中2，4，8，14，16，20，奇数中1，5，11，13，17，19与21互素， ∴； ∴． （2）解：根据题意，得， 故， 故不一定成立． 解：设p为素数，当时， ； 当时， ； 当时， ； 由此得到规律如下： 当时， ； 故素数为p，指数为k时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$