精品解析：河南省郑州市登封市 2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

绝密启用前 2024－2025学年下学期期末学情调研 七年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在如下新能源车标LOGO中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（    ） A. ，， B. 和 C. 和 D. 和 3. 人体中红细胞的直径约为0.000 007 5m，将数0.000 007 5用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 6. 如图，将一个长方形纸片折叠，为折痕，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某超市为回馈顾客设计抽奖转盘，该转盘被均分成6个扇形，某顾客转动转盘一次（指向边界处重转），获得二等奖的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一个圆柱的高为，底面半径为，如果它的高不变，底面半径增加，若取3，那么它的体积增加（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度．如图是甲、乙两种物质的溶解度随温度而变化的函数图像，则下列说法错误的是（ ） A. 甲的溶解度随的增加而逐渐增大 B. 若低于，乙溶解度有可能低于10g C. 当为时，甲、乙的溶解度都为30g D. 当为时，甲的溶解度高于乙的溶解度 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 如图，中，，无需度量即可判定，理由是______． 13. 燕尾榫是一种凸凹连接构件，若个相同的构件紧密拼成一排时，其总长度为，相关数据如下图所示，则关于的关系式可以表示为______． 14. 如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 15. 将一副三角板如图放置（），在保持不动的前提下，绕点逆时针旋转一周，当时，的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，在四边形中，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若点是上一点，过点作的垂线分别交于点，交的延长线于点．若，求的度数． 18. 如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由． 19. 数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现次数 28 64 87 165 事件发生的频率 （1）表中______，______，并把折线统计图补充完整； （2）根据以上数据可得事件发生的概率为______； （3）根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 20. 已知：如图，点为的边上一点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在的内部求一点，使得点到两边的距离相等，且；（作图要求保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 21. 新能源出租车具有节能环保、运营成本低、科技感强、乘客体验更舒适等优点．为了调研新能源出租车的收费标准，某校七（2）班调研得知，其收费标准按实际里程计算， 即起步价为10元（含3千米），超过3千米后，每千米收费2元，调研结果如下： 乘车里程 0 1 2 3 5 收费元 0 10 10 10 13 请回答下列问题： （1）七（2）班所绘制表格中值为______，的值为______； （2）直接写出当时，与之间的关系式； （3）小李乘坐新能源出租车从甲社区到乙社区，到达目的地后付费21元，请问小李此次的行程有多远？ 22. 完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 23. 在中，，点是上一点，且，点是射线上一动点（点不与点重合，且），在射线上截取，连接． （1）当点与点A重合时，线段和之间的关系是______； （2）当点在线段上，且与点A不重合时，判断线段，，之间存在什么关系？并说明理由； （3）当点在线段的延长线上时，线段，，之间存在什么关系？请直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密启用前 2024－2025学年下学期期末学情调研 七年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在如下新能源车标LOGO中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查识别轴对称图形，掌握“如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴”是解题关键．根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不轴对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（    ） A. ，， B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，， 故选：C． 3. 人体中红细胞的直径约为0.000 007 5m，将数0.000 007 5用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项运算、积的乘方运算、完全平方和公式及平方差公式逐项逐项排查即可解答． 【详解】解：A、与不是同类项，故，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，根据平方差公式，计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项运算、积的乘方运算、完全平方和公式及平方差公式等知识点，熟记相关计算法则及公式是解决问题的关键． 6. 如图，将一个长方形纸片折叠，为折痕，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，根据折叠的性质，得，结合已知解答即可． 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，得 ， ∵， ∴， 故选：D． 7. 如图是某超市为回馈顾客设计的抽奖转盘，该转盘被均分成6个扇形，某顾客转动转盘一次（指向边界处重转），获得二等奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查几何概率问题，解题的关键是熟练掌握概率相应的面积与总面积之比． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵该转盘被均分成6个扇形，其中二等奖区域有两个扇形， ∴转动转盘，转盘停止后，指针指向二等奖区域的概率是， 故选：B． 8. 一个圆柱的高为，底面半径为，如果它的高不变，底面半径增加，若取3，那么它的体积增加（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意列出正确的式子是解题的关键． 用半径增加后圆柱的体积减去原来的体积，再整理化简即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：C 9. 如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得，在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线定义得，，进而可求得．本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 10. 在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度．如图是甲、乙两种物质的溶解度随温度而变化的函数图像，则下列说法错误的是（ ） A. 甲的溶解度随的增加而逐渐增大 B. 若低于，乙溶解度有可能低于10g C. 当为时，甲、乙的溶解度都为30g D. 当为时，甲的溶解度高于乙的溶解度 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像横纵坐标表示的意义判断即可． 本题主要考查了函数的图像，根据函数图像的性质和图像上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 【详解】解：A. 观察图像可知，甲的溶解度随的增加而逐渐增大，故本选项正确； B. 观察图像可知，若低于，甲溶解度有可能低于10g，故本选项错误； C. 观察图像可知，当为时，甲、乙的溶解度都为30g，故本选项正确； D. 观察图像可知，当为时，甲的溶解度高于乙的溶解度，故本选项正确. 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式计算解答即可． 本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，中，，无需度量即可判定，理由是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短的性质即可求解，正确理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴根据垂线段最短即可判定， 故答案为：垂线段最短． 13. 燕尾榫是一种凸凹连接构件，若个相同的构件紧密拼成一排时，其总长度为，相关数据如下图所示，则关于的关系式可以表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为7，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加6，即可解答． 【详解】解：关于的关系式可以表示为． 故答案为： 14. 如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 15. 将一副三角板如图放置（），在保持不动的前提下，绕点逆时针旋转一周，当时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差，分两种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂公式解答即可； （2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项解答即可． 【详解】解：（1）． （2）． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式与运算法则是解题的关键． 17. 如图，在四边形中，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若点是上一点，过点作的垂线分别交于点，交的延长线于点．若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，可得，即可得； （2）根据平行线的性质得到，由得，进而可得出答案． 【小问1详解】 ． 理由：， ． 又， ， ． 【小问2详解】 ， ． ， ． 由（1）知，， ． ， ， ． 18. 如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由． 【答案】小明的结论正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，证明即可解答． 【详解】解：小明结论正确， 理由如下：由题意得， ． ， ． 在与中， ， ， ，即， 小明的结论正确． 19. 数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现的次数 28 64 87 165 事件发生的频率 （1）表中______，______，并把折线统计图补充完整； （2）根据以上数据可得事件发生的概率为______； （3）根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 【答案】（1），124 （2） （3）黑球有3个，白球有7个（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、概率公式． （1）根据事件P发生的频率等于可得a，b的值；根据题意补全折线统计图即可； （2）随着试验次数增加，频率逐渐稳定在附近，可知事件P发生的概率为； （3）结合概率公式按要求设计方案即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 补全折线统计图如图所示． 故答案为：；124； 【小问2详解】 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， ∴事件P发生的概率为． 故答案为：； 【小问3详解】 黑球有3个，白球有7个（答案不唯一）， 此时袋中共有10个球， ∴随机摸出一个球是黑球的概率为，符合题意． 20. 已知：如图，点为的边上一点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在的内部求一点，使得点到两边的距离相等，且；（作图要求保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和，作角平分线； （1）作的角平分线，再以为圆心，为半径画弧交角平分线于点； （2）有角平分线得到，再根据求出的度数． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求；角平分线，画弧确定点 【小问2详解】 解：由（1）知：平分， ． ， ． 又， ． 21. 新能源出租车具有节能环保、运营成本低、科技感强、乘客体验更舒适等优点．为了调研新能源出租车的收费标准，某校七（2）班调研得知，其收费标准按实际里程计算， 即起步价为10元（含3千米），超过3千米后，每千米收费2元，调研结果如下： 乘车里程 0 1 2 3 5 收费元 0 10 10 10 13 请回答下列问题： （1）七（2）班所绘制表格中的值为______，的值为______； （2）直接写出当时，与之间的关系式； （3）小李乘坐新能源出租车从甲社区到乙社区，到达目的地后付费21元，请问小李此次的行程有多远？ 【答案】（1）11，14 （2） （3）小李此次的行程为千米 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，解答即可； （2）当时，； （3）根据付费21元，大于10元，令代入解析式求自变量的值即可． 本题考查了一次函数的应用，求函数的解析式，求函数自变量的值，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 故答案为：11,14； 【小问2详解】 解：当时，． 【小问3详解】 解：根据付费21元，大于10元， 令代入解析式中，得， 解得， 故小李此次的行程为千米． 22. 完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）17；（2）见解析；（3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7，理由见解析 【解析】 【分析】（1）​先观察给定的等式规律：和，再将规律中的数字替换为题目要求的 5，直接计算 的值，最后将结果除以 7，即可求得结果； ​​（2）​先设任意奇数为（m 为整数），则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，利用平方差公式展开并化简，​最后提取公因数 7，说明结果为 7 的整数倍． ​​（3）​先设任意整数为 n，则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，展开后化简，​最后将结果表示为 的形式（r 为余数），确定余数 r． 【详解】解：（1）， 故答案为：17； （2）根据题意可知，比奇数大7的数为， ． 整数， 能被7整除． （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 理由如下：根据题意设这个数为，比大7的数为， ， 比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 【点睛】本题综合考查代数推理能力，核心在于掌握平方差公式和整式变形技巧，体现数学建模思想，通过代数方法将具体问题一般化是解题的关键． 23. 在中，，点是上一点，且，点是射线上一动点（点不与点重合，且），在射线上截取，连接． （1）当点与点A重合时，线段和之间的关系是______； （2）当点在线段上，且与点A不重合时，判断线段，，之间存在什么关系？并说明理由； （3）当点在线段的延长线上时，线段，，之间存在什么关系？请直接写出结果． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，从而有，根据证明，得到； （2）过A点作交于点G,证明和都是等边三角形，则可得，由（1）可得，则可推出． （3）画出图形，分F点在上时和F点在的延长线上时两种情况讨论可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，理由如下； 如图，过A点作交于点G， ∵,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 即， 由（1）知， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，当F点在上时，过A点作交于点G 由（1）知，， ∴． ②如图，当F点在的延长线上时，过A点作交于点G， 由（1）知，， ∴． 综上，线段，，之间存在的关系是或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $