专题2.5 有理数的乘法和除法（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.5 有理数的乘法和除法 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的乘法法则 2 知识点梳理02：倒数的概念 3 知识点梳理03：有理数的除法法则 3 知识点梳理04：有理数的乘除混合运算 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：两个有理数的乘法运算 4 考点2：多个有理数的乘法运算 5 考点3：有理数乘法的实际应用 6 考点4：倒数的认识与运算 8 考点5：有理数乘法运算律 9 考点6：有理数的除法运算 11 考点7：有理数除法的应用 13 考点8：有理数乘除混合运算 15 考点9：有理数乘除中的简便运算 16 考点10：有理数四则混合运算 19 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 22 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 23 考点13：数轴上的翻折 25 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 32 知识点梳理01：有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 技巧点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来： 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 技巧点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 技巧点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 知识点梳理02：倒数的概念 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 技巧点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点梳理03：有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 技巧点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点梳理04：有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 考点1：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则．根据两个数的正负以及加减乘除法运算法则，对每个选择作出判断，得正确答案即可． 【规范解答】解：因为，根据数轴可知，或或， 则，所以选项A错误，不符合题意； ，所以选项B错误，不符合题意，C正确，符合题意； 当时，； 当时，； 当时，．所以选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【答案】①②③④ 【思路引导】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 【规范解答】解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 考点2：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）在数轴上表示下列各有理数： ，， （2）求上述各数中所有非负数的乘积． 【答案】（1）数轴见解析； 【思路引导】本题考查了有理数的乘法，绝对值，相反数，数轴，有理数，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先化简，再将各数表示在数轴上即可； （2）先找出非负数，再计算它们的乘积即可． 【规范解答】解：（1）， 把各数表示在数轴上如下： （2）所有非负数为， 【变式训练】（（24-25七年级上·全国·期末）若a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且， (1)计算； (2)确定的符号； (3)化简． 【答案】(1)100 (2) (3) 【思路引导】本题考查了整式的加减的应用、化简绝对值、数轴、有理数的乘法，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图可得，，从而得出，代入计算即可得解； （2）先确定出，，，即可得解； （3）求出，再根据绝对值的性质化简即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴确定的符号为； （3）解：∵， ∴， ∴． 考点3：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米 (2)20.4升 【思路引导】(1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． (2) 计算各里程的绝对值的和，计算出耗油量较即可． 本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵(千米)， ∴该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）， 答：这个过程中共耗油20.4升． 【变式训练】（24-25七年级上·河南周口·期末） 出租车司机张师傅某天上午营运全是在东西向的长江路上进行的，如果向东为正，向西为负，这天上午他行车里程（单位：） 如下： ，，，，，，，，． (1)最后一名乘客送到目的地，出租车在东面还是西面？在多少千米处？ (2)请你帮张师傅算一下，这天上午他一共行驶了多少里程？ (3)若每千米耗油，则这天上午张师傅一共用了多少升油？ 【答案】(1)出租车在西面，距离出发地21千米处 (2)111 千米 (3)11.1升 【思路引导】本题考查有理数的混合运算以及正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）把，，，，，，，，相加求和即可求解； （2）根据有理数的加法，可得答案； （3）求出这些数的绝对值的和，再乘以0.1即可． 【规范解答】（1）解：， 答：最后一名乘客送到目的地，出租车在西面，距离出发地21千米处； （2）解：（千米）， 答：这天上午他一共行驶了111千米； （3）解：， 答：这天上午张师傅一共用了11.1升油． 考点4：倒数的认识与运算 【典例精讲】24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，． (1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点； (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)B、C两点间的距离是，A、D两点间的距离是7 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，倒数，相反数． （1）先分别根据绝对值、倒数、相反数的概念得出点，，，表示的数，再根据数轴上数的特点，在数轴上表示数即可； （2）根据两点间距离的求法直接求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 的倒数为，0的相反数为0， ∴点，，，分别表示，，0，4， ∴点，，，四个点在数轴上表示如下： （2）解：∵， ∴B、C两点间的距离是， ∵， ∴A、D两点间的距离是7． 考点5：有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； (1)你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学    B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确    D．三位同学解题过程都正确 (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 【答案】(1)C (2) 【思路引导】本题考查了有理数的运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的乘除运算法则、准确计算是解题的关键； （1）根据有理数的运算法则即可做出判断； （2）观察所求的式子，可以按照乙同学的解法求解． 【规范解答】（1）解：甲同学的解法：原式，运算过程正确； 乙同学的解法：原式的倒数为， 所以，运算过程正确； 丙同学的解法：原式，除法没有分配率，运算过程错误； 所以甲乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误； 故选：C； （2）解： ； ． 【变式训练】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算，先去括号，再根据加法结合律和交换律进行计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 考点6：有理数的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）将一个十进制数转化为二进制数的步骤：将给定的十进制数除以2，记录余数，然后继续将商除以2，再记录余数…重复上述步骤，直到商为0．最后，将所得余数逆序排列，得到的数就是该十进制数对应的二进制数． 例如，将10转换为二进制数： 余0；余1；余0；余1． 逆序排列余数得到10的二进制数表示为 如果需要将十进制数转化为其他进制数也可以用这个方法，例如转化为六进制就除以6直到商为0，逆序排列余数就得到一个六进制数，试用以上方法将十进制数120转化为六进制数( )6． 【答案】320 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，根据所给计算方式进行计算即可，理解题中所给计算方式是解题的关键． 【规范解答】解：由题知， 因为余0，余2，余3， 所以将十进制数120转化为六进制数为． 故答案为：320． 【变式训练】（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【规范解答】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 考点7：有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【规范解答】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，．求： (1)小虫最后是否回到出发点A？如果没有，在出发点A的什么地方？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行2厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)最后是回到了出发点A (2)12厘米 (3)27粒 【思路引导】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果即可得出小虫最后是否回到出发点A； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【规范解答】（1）解： 故小虫最后是回到了出发点A． （2）解：①第一次爬行后的位置：， ②第二次爬行后的位置：， ③第三次爬行后的位置：， ④第四次爬行后的位置：， ⑤第五次爬行后的位置：， ⑥第六次爬行后的位置：， ⑦第七次爬行后的位置：， ∵ ∴小虫离开出发点最远是12厘米． （3）解：(厘米) (粒) 答：小虫一共得到27粒芝麻． 考点8：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查化简多重符号，有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先化简多重符号，再根据有理数的加减混合运算法则计算，即可解题； （2）根据有理数的四则混合运算法则计算，即可解题． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·期中）如图，小天有5 张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，应如何抽取? 最小值是多少? (2)从中抽出三张卡片，使得三张卡片中，两张上的数字先乘，再除以第三张上的数字所得的结果最大，应如何抽取? 最大值是多少? 【答案】(1)抽取写有和的卡片，最小值是 (2)抽取写有，5和的卡片，最大值是 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘法、除法运算．熟练掌握有理数的大小比较，有理数的乘法、除法运算是解题的关键． （1）由负数小于0，小于正数，且两个负数比大小绝对值大的反而小，可知当抽取写有和的卡片，此时这2张卡片上的数字相除的商最小，然后计算求解即可； （2）同理（1），由题意知，抽取写有，5和的卡片，能取最大值，然后计算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵负数小于0，小于正数，且两个负数比大小绝对值大的反而小， ∴抽取写有和的卡片，此时这2张卡片上的数字相除的商最小为； ∴抽取写有和的卡片，最小值是； （2）解：同理（1），由题意知，抽取写有，5和的卡片，能取最大值，且最大值为， ∴抽取写有，5和的卡片，最大值是． 考点9：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【规范解答】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）先确定运算结果的符号，将带分数转化成假分数，根据有理数的乘除法可以解答本题； （4）根据乘法分配律计算． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点10：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）计算下列各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】（）利用加法交换律和结合律计算即可； （）先进行乘除运算，再进行加法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行括号内的运算，再进行括号外运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行括号内运算，再进行除法运算，最后进行减法运算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）原式 ． 【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【思路引导】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和顺序是解题的关键．注意应用运算律简便计算． （1）先变形为，再利用加减交换律和结合律计算即可； （2）先计算小括号，再计算中括号，最后计算乘除即可； （3）变形为，再计算括号内的，最后计算乘法即可； （4）先运用乘法分配律计算，再运用加法交换律与结合律简便计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】(1)该商店本周一共销售了1450条 (2)该商场本周共盈利667元 【思路引导】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）用7天的标准销量加上7天销量的出入数量即可； （2）用盈利的金额减去亏损的金额即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知 （条） 答：该商店本周一共销售了1450条． （2）解：由题意可知 ＝667（元） 答：该商场本周共盈利667元． 【变式训练】（24-25七年级上·山东滨州·期中）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元 【思路引导】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，最后乘以油价8，即得小明家一个月的汽油费用． 【规范解答】（1）（千米）， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米； （2） （千米）， 答：这七天中平均每天行驶千米； （3）（元）， 答：小明家一个月的汽油费用约为元． 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了利用数轴比较大小，有理数的加减法，绝对值和相反数，理解数轴是解题关键．由数轴可知，，再逐项判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，， ，，，， A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论： ； ； ； ． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【思路引导】本题考查数轴，绝对值的定义．根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【规范解答】解： ，， ，且距离原点比较远，，且距离原点比较近， 中点所表示的数在原点的左侧， ， ①正确； 由数轴所表示的数可知，可能大于0，也可能小于0， 符号不确定， ②不正确； 可能大于0，也可能小于0， 与不一定相等， ③不正确； 在原点的左侧，而在原点右侧， 表示数的点到表示数的点距离为， 到的距离为， 即： ④正确； 故答案为：①④． 考点13：数轴上的翻折 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【规范解答】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【规范解答】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 1．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【规范解答】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：； 故选B． 3．（2022·宁夏·中考真题）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴上点的位置可得，，据此化简求解即可． 【规范解答】解：由数轴上点的位置可得，， ∴， 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的除法，正确得到，是解题的关键． 4．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ． 【答案】－6或零下6 【思路引导】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降”，列出式子即可求解． 【规范解答】解：山顶的气温约为 故答案为：－6或零下6． 【考点剖析】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键． 5．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 【答案】B 【思路引导】根据有理数乘法法则计算可求解． 【规范解答】解：． 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级上·全国·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变． 根据倒数的定义进行求解即可． 【规范解答】解： 的倒数是， 故选：D． 2．（2025·河北唐山·二模）下列计算结果为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了正负数的定义，有理数加法，有理数减法，有理数乘法，有理数除法，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【规范解答】解：．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的运算，有理数的比较，熟练掌握运算法则是解题关键．将各选项的运算符号代入计算，再比较大小即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 使算式的运算结果最小，应填入的运算符号是， 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）我国已成功申办2008年的第29届奥运会．按每4年一次，第50届奥运会将在 年举行，这一年共有 天． 【答案】 【思路引导】本题考查的是整数的混合运算，数学常识，先列式求解第50届奥运会将在年举行，再判断年是闰年，从而可得答案. 【规范解答】解：， ， 所以是闰年， 所以这一年有天； 故答案为：， 5．（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行,这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米，它们每爬行1秒，3秒，5秒···（连续的奇数），就调头爬行,那么，它们相遇时，已爬行的时间是 秒． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，先理解题意得出它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为厘米，再得出不调头，它们相遇时间为秒，根据它们每爬行1秒，3秒，5秒···（连续的奇数），就调头爬行,则（秒），即可作答． 【规范解答】解：依题意，它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为：（米） 则米厘米， ∵两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行,这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米， 如不调头，它们相遇时间为（秒）， ∵它们每爬行1秒，3秒，5秒···（连续的奇数），就调头爬行, ∴（秒） ∴（秒） 即它们相遇时，已爬行的时间是秒． 故答案为： 6．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： ． 【答案】2 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，先进行乘除运算，再进行减法运算即可． 【规范解答】解：原式； 故答案为：2． 7．（24-25七年级上·北京·期中）的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 【答案】 【思路引导】此题主要考查了倒数以及有理数大小比较的方法，倒数：乘积是1的两数互为倒数；有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【规范解答】解：的倒数是； ，，而， ． 故答案为：；． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．求出的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可． 【规范解答】解：原式的倒数为： ， 故原式． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则；根据有理数乘法的交换律和结合律计算即可． 【规范解答】解：原式 10．（24-25七年级上·福建南平·期中）某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 【答案】(1)；；12 (2)一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元 【思路引导】本题主要考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接根据正负数的意义、有理数加减运算即可解答； （2）根据有理数的混合运算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是． 故答案为；；12． （2）解：根据题意得： （元）． 答：一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元． 培优拔高 11．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【规范解答】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 12．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些． 【规范解答】解：(元) ， 因此准备820元就够了， 符合实际需要的估算方法是选项D． 故选：D． 13．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一列火车长200米， 以每分钟1200米的速度通过一座大桥，从车头到车尾一共用了2分钟．那么桥的长度是多少米？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了基本的数量关系，理解火车走的路程的组成部分是解题的关键． 根据火车走过的路程桥长车身长列式即可． 【规范解答】解： ， ∴正确的算式是． 故选：B ． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 【答案】152 【思路引导】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义等知识；由题意平均成绩为标准数与5个数的平均数的和． 【规范解答】解：平均成绩为：（个）； 答：他们的平均成绩是152个． 15．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）学校举行运动会，有名同学进行乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，那么一共要比赛 场：有支小足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行，一共要进行 场比赛才能产生冠军． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数乘除运算和减法运算的实际应用，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：①（场）， 所以一共要比赛场； ②（场）， 所以一共要进行场比赛才能产生冠军； 故答案为：；． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中），两个港口相距千米，水由流向，水流速度是千米时，甲船由向行驶，乙船由向行驶，两船在，之间往返航行．已知甲在静水中的速度是千米时，乙在静水中的速度是千米时．则甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用 小时． 【答案】/ 【思路引导】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键．分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可，进而求两者的差，即可求解． 【规范解答】解：甲船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时． 甲船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时． 乙船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 时． 甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用小时 故答案为：； 17．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】432 【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【规范解答】解： ． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）去年9月30日到某景区旅游的人数为1万人，同年“十一”期间（10月1日至10月7日）该景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化/万人 (1)“十一”期间游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)“十一”期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票原价为每人15元，在10月5日发现来景区人数减少，决定10月6日和10月7日两天门票打八折出售吸引游客，求“十一”期间景区的门票一共收入为多少万元? 【答案】(1)“十一”期间游客人数最多的是10月3日，有3.6万人； (2)2.9万人 (3)288.9万元 【思路引导】本题考查了正负数和有理数运算的应用，正确列式、准确计算是解题的关键； （1）分别求出每一天的人数，即可做出判断； （2）计算这7天的平均数即可得到结果； （3）门票收入=前5天的收入+后2天的收入列出式子求解即可． 【规范解答】（1）解：10月1日，游客人数为：万人； 10月2日，游客人数为：万人； 10月3日，游客人数为：万人； 10月4日，游客人数为：万人； 10月5日，游客人数为：万人； 10月6日，游客人数为：万人； 10月7日，游客人数为：万人； 所以“十一”期间游客人数最多的是10月3日，有3.6万人； （2）解：万人； 答：“十一”期间该景区平均每天接待2.9万人； （3）解：万元； 答：“十一”期间景区的门票一共收入288.9万元. 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 【答案】(1)38.5元 (2)最高价格39.5元，最低价格31元 (3)877.4元 【思路引导】此题考查正数和负数的实际意义，有理数的加减法的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）用原价加上表格中前三个数据，求和即可； （2）分别求出每天的价格即可得到答案； （3）分别求出卖出的价格与买入的价格，两者相减即可得到答案． 【规范解答】（1）解：（元） 答：星期三收盘时，每股是38.5元； （2）周一价格：（元） 周二价格：（元） 周三价格：（元） 周四价格：（元） 周五价格：（元）； 答：最高价格：39.5元，最低价格31元； （3）卖出价格为：（元） 买入价格为：（元） ∴收益（元） 答：收益877.5元． 20．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【思路引导】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 有理数的乘法和除法 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的乘法法则 2 知识点梳理02：倒数的概念 3 知识点梳理03：有理数的除法法则 3 知识点梳理04：有理数的乘除混合运算 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：两个有理数的乘法运算 4 考点2：多个有理数的乘法运算 4 考点3：有理数乘法的实际应用 5 考点4：倒数的认识与运算 6 考点5：有理数乘法运算律 7 考点6：有理数的除法运算 8 考点7：有理数除法的应用 9 考点8：有理数乘除混合运算 10 考点9：有理数乘除中的简便运算 10 考点10：有理数四则混合运算 11 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 13 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 14 考点13：数轴上的翻折 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 17 知识点梳理01：有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 技巧点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来： 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 技巧点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 技巧点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 知识点梳理02：倒数的概念 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 技巧点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点梳理03：有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 技巧点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点梳理04：有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 考点1：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 考点2：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）在数轴上表示下列各有理数： ，， （2）求上述各数中所有非负数的乘积． 【变式训练】（（24-25七年级上·全国·期末）若a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且， (1)计算； (2)确定的符号； (3)化简． 考点3：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【变式训练】（24-25七年级上·河南周口·期末） 出租车司机张师傅某天上午营运全是在东西向的长江路上进行的，如果向东为正，向西为负，这天上午他行车里程（单位：） 如下： ，，，，，，，，． (1)最后一名乘客送到目的地，出租车在东面还是西面？在多少千米处？ (2)请你帮张师傅算一下，这天上午他一共行驶了多少里程？ (3)若每千米耗油，则这天上午张师傅一共用了多少升油？ 考点4：倒数的认识与运算 【典例精讲】24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，． (1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点； (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ 考点5：有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； (1)你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学    B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确    D．三位同学解题过程都正确 (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 【变式训练】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 考点6：有理数的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）将一个十进制数转化为二进制数的步骤：将给定的十进制数除以2，记录余数，然后继续将商除以2，再记录余数…重复上述步骤，直到商为0．最后，将所得余数逆序排列，得到的数就是该十进制数对应的二进制数． 例如，将10转换为二进制数： 余0；余1；余0；余1． 逆序排列余数得到10的二进制数表示为 如果需要将十进制数转化为其他进制数也可以用这个方法，例如转化为六进制就除以6直到商为0，逆序排列余数就得到一个六进制数，试用以上方法将十进制数120转化为六进制数( )6． 【变式训练】（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 考点7：有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，．求： (1)小虫最后是否回到出发点A？如果没有，在出发点A的什么地方？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行2厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 考点8：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·期中）如图，小天有5 张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，应如何抽取? 最小值是多少? (2)从中抽出三张卡片，使得三张卡片中，两张上的数字先乘，再除以第三张上的数字所得的结果最大，应如何抽取? 最大值是多少? 考点9：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (2) (4) 考点10：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）计算下列各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 考点11：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【变式训练】（24-25七年级上·山东滨州·期中）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论： ； ； ； ． 其中所有正确结论的序号是 ． 考点13：数轴上的翻折 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 1．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 3．（2022·宁夏·中考真题）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ． 5．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 基础夯实 1．（24-25七年级上·全国·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 2．（2025·河北唐山·二模）下列计算结果为正数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）我国已成功申办2008年的第29届奥运会．按每4年一次，第50届奥运会将在 年举行，这一年共有 天． 5．（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行,这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米，它们每爬行1秒，3秒，5秒···（连续的奇数），就调头爬行,那么，它们相遇时，已爬行的时间是 秒． 6．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： ． 7．（24-25七年级上·北京·期中）的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 8．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 9． （2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 10．（24-25七年级上·福建南平·期中）某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 培优拔高 11．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 12．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一列火车长200米， 以每分钟1200米的速度通过一座大桥，从车头到车尾一共用了2分钟．那么桥的长度是多少米？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 15．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）学校举行运动会，有名同学进行乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，那么一共要比赛 场：有支小足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行，一共要进行 场比赛才能产生冠军． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中），两个港口相距千米，水由流向，水流速度是千米时，甲船由向行驶，乙船由向行驶，两船在，之间往返航行．已知甲在静水中的速度是千米时，乙在静水中的速度是千米时．则甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用 小时． 17．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）去年9月30日到某景区旅游的人数为1万人，同年“十一”期间（10月1日至10月7日）该景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化/万人 (1)“十一”期间游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)“十一”期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票原价为每人15元，在10月5日发现来景区人数减少，决定10月6日和10月7日两天门票打八折出售吸引游客，求“十一”期间景区的门票一共收入为多少万元? 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 20．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$