专题2.1 正数和负数（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.1 正数和负数 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正数与负数的定义 1 知识点梳理02：具有相反意义的量 2 知识点梳理03：整数和分数 2 知识点梳理04：有理数的分类 3 知识点梳理05：正负数的实际应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：正负数的定义 3 考点2：相反意义的量 4 考点3：正负数的实际应用 5 考点4：有理数的定义 5 考点5：O的意义 6 考点6：有理数的分类 6 考点7：带“非”字的有理数 7 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 10 知识点梳理01：正数与负数的定义 1.正数：像、、等这样的数都是正数，它们都是大于的数。为了强调，正数前面有时也可以加上“”（读作正）号，例如也可以写作，不过通常“”号可以省略不写。 技巧点拨：判断一个数是否为正数，不能仅依据前面是否带有“”号，比如当是负数时，就是正数，所以要从数与的大小关系来准确判断正数。 2.负数：像、、等这样的数都是负数，它们都是小于的数。负数前面的“”号不能省略。 技巧点拨：同样不能简单认为带“”号的数就一定是负数，要结合具体情境或通过与比较大小来确定。例如在表示相反意义的量时，规定了正方向后，与正方向相反的量用负数表示，但单独一个数，需明确其与的大小关系来判定是否为负数。 3.的性质：既不是正数，也不是负数。的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如是一个确定的温度，不能说没有温度。 知识点梳理02：具有相反意义的量 1.概念：在实际生活中，常常会遇到一些具有相反意义的量，比如前进和后退、上升和下降、收入和支出、零上温度和零下温度等。 技巧点拨：具有相反意义的量必须满足两个条件：一是它们必须是同一属性的量，比如都是表示长度、重量、温度等；二是它们的意义恰好相反，并且规定其中一种意义的量为正，那么另一种与之相反意义的量就为负。 2.表示方法：为了更好地区分这些具有相反意义的量，若把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示。例如，若规定收入为正，那么支出就为负；规定向东为正，那么向西就为负等。 技巧点拨：哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。在具体问题中，要先明确规定正方向，才能准确用正、负数表示相反意义的量。 知识点梳理03：整数和分数 1.整数：整数包括正整数、零、负整数。例如：、、、、、、等等。整数也可以看作是分母为的数（这里所说的分数不包括分母是的分数情况除外）。 技巧点拨：要注意区分正整数、和负整数，它们在数轴上的位置不同，且在进行运算等操作时也有各自的规则。 2.分数：分数包括正分数和负分数，例如：、、（可看作）、、、（可看作）等等。因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 技巧点拨：在进行分数运算时，要掌握通分、约分等基本运算方法，并且要注意分数的正负性对运算结果的影响。 知识点梳理04：有理数的分类 1.按定义分类：有理数可分为整数和分数。其中整数包括正整数、、负整数；分数包括正分数和负分数。 技巧点拨：这种分类方式明确了有理数是由整数和分数这两大类组成的，能帮助我们更好地理解有理数的构成，在后续学习有理数的运算等知识时，也需要依据这种分类来分别探讨不同类型有理数的运算规则。 2.按符号分类：有理数可分为正有理数、、负有理数。正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。 技巧点拨：按符号分类可以让我们从数的正负性角度去分析和处理问题，比如在比较有理数的大小时，根据其正负性可以先确定大致的大小关系，再进一步比较具体数值。同时，要记住既不是正有理数也不是负有理数，它是正数与负数的分界点。 知识点梳理05：正负数的实际应用 1.表示误差范围：在一些实际测量或统计等情况中，会用到正负数来表示与标准值或预期值的偏差。例如，某零件的标准长度为，允许的误差范围是，那么实际生产出来的零件长度在到之间都是合格的，这里的和就分别表示比标准长度多和少的情况。 技巧点拨：理解正负数在表示误差范围时的意义，能帮助我们判断实际数据是否符合要求，以及对产品质量等进行评估。 2.记录数据变化：在经济领域、气象数据记录等方面，常常用正负数来记录数据的增减变化。比如，若本月销售额比上月增加了，可以记作，若减少了，则记作；在气象中，气温升高记作，降低记作等。 技巧点拨：通过正负数清晰地记录数据的变化情况，便于后续对数据进行分析、统计和趋势预测等操作。 考点1：正负数的定义 【典例精讲】（2025·云南楚雄·三模）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 【变式训练1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 【变式训练2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 考点2：相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷藏室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）世界数学史上，首次正式引入负数的是中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中．如盈利500元，记作元，那么亏损180元，记作： 元． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 考点3：正负数的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南永州·期中）乙醇，俗称酒精，化学式为（或）或，是一种带有一个羟基的有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）现在有某种圆形零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 考点4：有理数的定义 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数：，，，，，，，其中有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题： （1）是 循环小数（填“纯”或“混”） （2）的循环节是 ． 考点5：O的意义 【典例精讲】（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）下面关于0的说法正确的是(　　) A．0既可以带正号，也可以带负号，所以0既可以是正数，也可以是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 【变式训练2】（把下列各数填在相应的括号内： +5，+，0.31，0，-1.3，，62.6，-8.3，，7，100 （1）正整数：（                                     ） （2）分数：（                                       ） （3）非负数：（                                     ） 考点6：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·广东东莞·期中）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．把下面的有理数填入它们属于的集合内． 正有理数集合{ 　                      　}； 负有理数集合{ 　                      　}； 整数集合{ 　                          　}． 【变式训练1】（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【变式训练2】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数填在相应的集合里：3，，，，，0，，． 负数集合：{ 　                      　}； 整数集合：{ 　                      　}； 正有理数集合：{ 　                      　}； 考点7：带“非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： ，，0，，，， (1)负整数集合{ 　                      　}； (2)正分数集合{ 　                      　}； (3)非负整数集合{ 　                      　}； 【变式训练1】（24-25七年级上·江西九江·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，0.161616161…，，0，0.375，， 正数：{___________}； 分数：{_______________； 非正整数：{______________}； 负数：{___________________}； 有理数：{__________________}． 【变式训练2】（23-24七年级上·山东威海·期中）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，， 正数集合{_____________________}； 负分数集合{_____________________}； 非负整数集合{_____________________}； 1．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 3．（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（  ） A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数 5．（2018·湖北黄石·中考真题）下列各数是无理数的是（　　） A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．π 基础夯实 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 3．（22-23七年级上·重庆永川·期中）史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用于生产和生活中．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若收入50元可记作元，则支出30元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（24-25七年级上·青海西宁·期中）中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）把下列各数填入相应的横线内： ，，，，，． 自然数： ；负分数： ；正有理数： ． 6．（2025·江西吉安·一模）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：{ 　                      　}； 正整数集合：{ 　                      　}； 分数集合：{ 　                      　}； 8．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）将下列各数填在相应的大括号里： 整数：{ 　                      　}； 正分数：{ 　                      　}； 非正有理数：{ 　                      　}； 9．（2025七年级上·全国·专题练习）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 10．（24-25七年级上·山西阳泉·阶段练习）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，，， 整数集合：{                      } 有理数集合：{                    } 非负数集合：{                    } 非负整数集合：{                  } 培优拔高 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）在，，，，中，分数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知一组数：，，，，0，把这些数分别填在下面对应的集合中：①负数集合： ；②整数集合： ；③非负数集合： ； 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，0.02，，，，，2020． 正数集合{______________________________________________}； 负数集合{______________________________________________}； 整数集合{______________________________________________}； 分数集合{______________________________________________}； 非负有理数集合{________________________________________}． 6．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 7．（2022七年级上·全国·专题练习）将下列各数填在相应的集合内. 5，，，，0，2010，，6.2，. 正数集合{ }；负数集合{ }； 自然数集合{ }；整数集合{ }； 分数集合{ }；负分数集合{ }； 非负数集合{ }；非正整数集合{ }； 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数分别填入相应的数集里． 6.75，，12，，0，，. 负有理数集{____________________}； 整数集{________________________}； 分数集{________________________}． 9．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内：，，0.5，0，，13，，，，． (1)正数集合：{ } (2)整数集合：{ }； (3)非负数集合：{ } (4)分数集合：{ } 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 正数和负数 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正数与负数的定义 1 知识点梳理02：具有相反意义的量 2 知识点梳理03：整数和分数 2 知识点梳理04：有理数的分类 3 知识点梳理05：正负数的实际应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：正负数的定义 3 考点2：相反意义的量 5 考点3：正负数的实际应用 6 考点4：有理数的定义 7 考点5：O的意义 8 考点6：有理数的分类 9 考点7：带“非”字的有理数 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 19 知识点梳理01：正数与负数的定义 1.正数：像、、等这样的数都是正数，它们都是大于的数。为了强调，正数前面有时也可以加上“”（读作正）号，例如也可以写作，不过通常“”号可以省略不写。 技巧点拨：判断一个数是否为正数，不能仅依据前面是否带有“”号，比如当是负数时，就是正数，所以要从数与的大小关系来准确判断正数。 2.负数：像、、等这样的数都是负数，它们都是小于的数。负数前面的“”号不能省略。 技巧点拨：同样不能简单认为带“”号的数就一定是负数，要结合具体情境或通过与比较大小来确定。例如在表示相反意义的量时，规定了正方向后，与正方向相反的量用负数表示，但单独一个数，需明确其与的大小关系来判定是否为负数。 3.的性质：既不是正数，也不是负数。的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如是一个确定的温度，不能说没有温度。 知识点梳理02：具有相反意义的量 1.概念：在实际生活中，常常会遇到一些具有相反意义的量，比如前进和后退、上升和下降、收入和支出、零上温度和零下温度等。 技巧点拨：具有相反意义的量必须满足两个条件：一是它们必须是同一属性的量，比如都是表示长度、重量、温度等；二是它们的意义恰好相反，并且规定其中一种意义的量为正，那么另一种与之相反意义的量就为负。 2.表示方法：为了更好地区分这些具有相反意义的量，若把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示。例如，若规定收入为正，那么支出就为负；规定向东为正，那么向西就为负等。 技巧点拨：哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。在具体问题中，要先明确规定正方向，才能准确用正、负数表示相反意义的量。 知识点梳理03：整数和分数 1.整数：整数包括正整数、零、负整数。例如：、、、、、、等等。整数也可以看作是分母为的数（这里所说的分数不包括分母是的分数情况除外）。 技巧点拨：要注意区分正整数、和负整数，它们在数轴上的位置不同，且在进行运算等操作时也有各自的规则。 2.分数：分数包括正分数和负分数，例如：、、（可看作）、、、（可看作）等等。因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 技巧点拨：在进行分数运算时，要掌握通分、约分等基本运算方法，并且要注意分数的正负性对运算结果的影响。 知识点梳理04：有理数的分类 1.按定义分类：有理数可分为整数和分数。其中整数包括正整数、、负整数；分数包括正分数和负分数。 技巧点拨：这种分类方式明确了有理数是由整数和分数这两大类组成的，能帮助我们更好地理解有理数的构成，在后续学习有理数的运算等知识时，也需要依据这种分类来分别探讨不同类型有理数的运算规则。 2.按符号分类：有理数可分为正有理数、、负有理数。正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。 技巧点拨：按符号分类可以让我们从数的正负性角度去分析和处理问题，比如在比较有理数的大小时，根据其正负性可以先确定大致的大小关系，再进一步比较具体数值。同时，要记住既不是正有理数也不是负有理数，它是正数与负数的分界点。 知识点梳理05：正负数的实际应用 1.表示误差范围：在一些实际测量或统计等情况中，会用到正负数来表示与标准值或预期值的偏差。例如，某零件的标准长度为，允许的误差范围是，那么实际生产出来的零件长度在到之间都是合格的，这里的和就分别表示比标准长度多和少的情况。 技巧点拨：理解正负数在表示误差范围时的意义，能帮助我们判断实际数据是否符合要求，以及对产品质量等进行评估。 2.记录数据变化：在经济领域、气象数据记录等方面，常常用正负数来记录数据的增减变化。比如，若本月销售额比上月增加了，可以记作，若减少了，则记作；在气象中，气温升高记作，降低记作等。 技巧点拨：通过正负数清晰地记录数据的变化情况，便于后续对数据进行分析、统计和趋势预测等操作。 考点1：正负数的定义 【典例精讲】（2025·云南楚雄·三模）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 【答案】B 【思路引导】本题考查正负数的应用，根据正负数可以表示具有相反意义的量求解即可． 【规范解答】解：∵公元2025年记作年， ∴公元前1000年可记作年， 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 【答案】C 【思路引导】本题考查了相反意义的量，正负数的意义，正确理解题意是解题的关键． 根据相反意义的量，正负数的定义即可作出判断． 【规范解答】解：为了表示具有相反意义的量，我们又引进了负数， 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可． 【规范解答】 解：由题意得：“”所表示的数是， 故选：． 考点2：相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷藏室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，理解具有相反意义的量是关键，根据零上和零下具有相反意义选择即可． 【规范解答】根据题意，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示． 已知零上记作，则零下应记作． 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）世界数学史上，首次正式引入负数的是中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中．如盈利500元，记作元，那么亏损180元，记作： 元． 【答案】 【思路引导】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，根据盈利为正，则亏损为负，进行作答即可． 【规范解答】解：盈利500元，记作元，那么亏损180元，记作：元； 故答案为： 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 【答案】，， 【思路引导】本题考查的是正负数，具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负．根据此逐项求解即可． 【规范解答】解：具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉应记为， 故答案为：； ∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：； ∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 考点3：正负数的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南永州·期中）乙醇，俗称酒精，化学式为（或）或，是一种带有一个羟基的有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，解题关键是明确正负数表示具有相反意义的量． 根据零上记作，可确定零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，由此可表示出零下． 【规范解答】解：∵零上记作， ∴零上温度用正数表示，零下温度用负数表示， ∴零下应记作， 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，根据误差不大于可知，尺寸记录的数字部分大于和小于的零件为不合格的零件，据此求解即可． 【规范解答】解：∵要求误差不大于， ∴不合格的零件的尺寸有，共1个， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）现在有某种圆形零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【思路引导】本题考查了具有相反意义的量．圆形零件的标准直径为，超出的记作正数，不足的记作负数，根据要求求出圆形零件的最大直径和最小直径，通过比较判断零件是否合格． 【规范解答】解：圆形零件，标明要求是， 这个圆形零件直径的最大值为，最小值为， ， 这个圆形零件合格． 故答案为： 合格． 考点4：有理数的定义 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数：，，，，，，，其中有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，整数和分数统称为有理数，根据有理数的定义进行解答即可． 【规范解答】解：在，，，，，，中，有理数是，，，，，共有个， 故选：D． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 【答案】A 【思路引导】本题主要考查有理数的定义，利用有理数的定义，有理数包括整数和分数，故是有理数． 【规范解答】解：∵是分数， ∴是有理数， 故选：A． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题： （1）是 循环小数（填“纯”或“混”） （2）的循环节是 ． 【答案】 纯 24 【思路引导】本题考查了新定义，循环小数等知识，认真读题，理解题意是解题关键． （1）根据纯循环小数和混循环小数的概念判断即可； （2）根据循环节的概念判断即可； 【规范解答】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数， 故答案是：纯； （2）的循环节是24， 故答案为：24． 考点5：O的意义 【典例精讲】（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是 ． 【答案】数轴上的原点（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【规范解答】解：有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是表示数轴上的原点； 故答案为数轴上的原点（答案不唯一）． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）下面关于0的说法正确的是(　　) A．0既可以带正号，也可以带负号，所以0既可以是正数，也可以是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【思路引导】根据0是正数和负数的分界，0既不是正数也不是负数进行解答． 【规范解答】解：大于0的数是正数，在正数前面加“”的数叫负数，0既不是正数，也不是负数． 故选：D． 【考点剖析】此题考查了0的归类，注意：0既不是正数，也不是负数． 【变式训练2】（把下列各数填在相应的括号内： +5，+，0.31，0，-1.3，，62.6，-8.3，，7，100 （1）正整数：（                                     ） （2）分数：（                                       ） （3）非负数：（                                     ） 【答案】（1）正整数：（ +5， 7，100）；（2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ）；（3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100） 【思路引导】根据正整数，分数和非负数的意义进行判断即可，注意0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0． 【规范解答】解：（1）正整数：（ +5， 7，100） （2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ） （3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100） 【考点剖析】本题考查有理数的分类，掌握0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0是本题的解题关键． 考点6：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·广东东莞·期中）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．把下面的有理数填入它们属于的集合内． 正有理数集合{ 　                      　……}； 负有理数集合{ 　                      　……}； 整数集合{ 　                          　……}． 【答案】；； 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．据此解答即可． 【规范解答】解：正有理数集合{，……}； 负有理数集合{，……}； 整数集合{，……}． 故答案为：；；． 【变式训练1】（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【思路引导】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【规范解答】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【变式训练2】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数填在相应的集合里：3，，，，，0，，． 负数集合：{________…}； 整数集合：{________…}； 正有理数集合：{________…}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，实数的分类，实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数；其中整数包括正整数、负整数；分数包括正分数、负分数；有理数包括正有理数、负有理数；其中正有理数包括正整数、正分数；负有理数包括负整数，负分数．据此判断即可． 【规范解答】解：负数集合：； 整数集合：； 正有理数集合：． 考点7：带“非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： ，，0，，，， (1)负整数集合{    }； (2)正分数集合{    }； (3)非负整数集合{    }． 【答案】(1)， (2)， (3)0， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负整数、非负整数、正分数是解题关键． （1）根据负整数的概念进行解答即可； （2）根据正分数的概念进行解答即可； （3）根据非负整数的概念进行解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 负整数集合：，． （2）解：，， 正分数集合：，． （3）解：，， 非负整数集合：0，． 【变式训练1】（24-25七年级上·江西九江·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，0.161616161…，，0，0.375，， 正数：{___________…}； 分数：{_______________…}； 非正整数：{______________…}； 负数：{___________________…}； 有理数：{__________________…}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的性质，正确掌握正数、分数、非正整数、负数的概念是解题的关键． 根据有理数的分类对各数进行判断，即可得出结果． 【规范解答】解：，，， 正数：{0.161616161…，0.375，，…}； 分数：{0.161616161…，，0.375，，…}； 非正整数：{，0，…}； 负数：{，，…}； 有理数：{，0.161616161…，，0，0.375，…}． 【变式训练2】（23-24七年级上·山东威海·期中）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，， 正数集合{_____________________…}； 负分数集合{_____________________…}； 非负整数集合{_____________________…}； 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据正数，负分数，非负整数的定义，完成填空即可求解． 【规范解答】解：正数集合{，，，，，…}； 负分数集合{，，…}； 非负整数集合{，，，…}； 1．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【规范解答】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 2．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“”表示，那么低于标准质量就用“”表示，据此求解即可． 【规范解答】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为：． 3．（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解． 【规范解答】解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 4．（2023·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（  ） A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数 【答案】C 【思路引导】直接利用有理数、无理数、正负数的定义分析得出答案． 【规范解答】既不是正数也不是负数，是有理数． 故选C 【考点剖析】此题主要考查了实数，正确把握实数有关定义是解题关键． 5．（2018·湖北黄石·中考真题）下列各数是无理数的是（　　） A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．π 【答案】D 【规范解答】分析： 详解：A、1是整数，为有理数； B、﹣0.6是有限小数，即分数，属于有理数； C、﹣6是整数，属于有理数； D、π是无理数； 故选D． 【考点剖析】本题主要考查的是无理数的定义，熟练掌握无理数的三种常见类型是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【规范解答】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【规范解答】本题考查负数的概念，负数是指小于0的数． 根据负数的概念判断即可． 【思路引导】解：在这些数中，是负数的是， 故选：A． 3．（22-23七年级上·重庆永川·期中）史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用于生产和生活中．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若收入50元可记作元，则支出30元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【思路引导】本题考查了相反意义的量． 根据题意，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，据此作答即可． 【规范解答】解：∵收入50元可记作元， ∴支出30元可记作元， 故选：B． 4．（24-25七年级上·青海西宁·期中）中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，结合题中所给的信息解答是解答的关键． 根据题意向上为正，下降为负结合负数的定义解答即可． 【规范解答】解：由题意，水位上升3米记作+3米，则水位下降应记为负数． 下降8米即与上升方向相反，数值为8米， 故记作米． 故选C． 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）把下列各数填入相应的横线内： ，，，，，． 自然数： ；负分数： ；正有理数： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的分类，掌握自然数，负数，正有理数的定义是解题的关键．根据定义，自然数：如的数是自然数；负分数：正分数前面加一个负号的数是负分数；正有理数包括正分数、正整数，由此即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴自然数有：； 负分数有：； 正有理数有：； 故答案为：；；． 6．（2025·江西吉安·一模）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【规范解答】 解：根据算筹计数法，“”所表示的数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______｝…； 正整数集合：｛______｝…； 分数集合：｛______｝… 【答案】；； 【思路引导】本题考查了有理数定义及其分类， 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：； ； . 8．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）将下列各数填在相应的大括号里： 整数：{    …}； 正分数：{    …}； 非正有理数：{    …}． 【答案】0，2021，；，，；0，，， 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的定义．根据有理数的分类进行填写即可得． 【规范解答】解：整数：{0，2021，，}； 正分数：{，，， }； 非正有理数：{0，，，，}． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)正数； (2)B、D； (3)正数，A． 【思路引导】本题考查了数字规律问题，找出题中数字排列规律是解题的关键． （1）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （2）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （3）因为，根据规律，即得答案． 【规范解答】（1）解：由数字排列规律可知：A是正数，B是负数，C是正数，D是负数．每4个数一循环， 所以在A处的数是正数； （2）解：由（1）可知，负数排在B，D的位置上； （3）解：， 根据（1）中数字排列规律可知，第2 028个数是正数，排在对应A的位置上． 10．（24-25七年级上·山西阳泉·阶段练习）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，，， 整数集合：{                      } 有理数集合：{                    } 非负数集合：{                    } 非负整数集合：{                  } 【答案】，，；，，，，，，，，；，，，，，，；，， 【思路引导】本题考查有理数的分类，根据整数，分数，非负数以及非负整数的定义进行分类即可．解题的关键是掌握：整数与分数统称为有理数；整数包括正整数、零、负整数；非负数包括正数和零；非负整数包括正整数和零． 【规范解答】解：整数集合：{，，        } 有理数集合：{，，，，，，，，} 非负数集合：{，，，，，，} 非负整数集合：{，，       }． 故答案为：，，；，，，，，，，，；，，，，，，；，，． 培优拔高 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【答案】B 【思路引导】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【规范解答】解：A、前进米和后退米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、身高增加厘米和体重减少千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； C、超过克和不足克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、节约吨水和浪费吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数，理解身份证号码位数的含义是解题关键．根据身份证号码的组成，第17位奇数表示男性，偶数表示女性，据此解答即可得． 【规范解答】解：因为小明的妈妈是一位女性， 所以小明的妈妈的身份证号码的第17位数字是偶数， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）在，，，，中，分数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查有理数的分类，牢记分数的定义是解题的关键．小数可以化为分数，可将小数看作分数，根据分数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：分数有，，，共4个， 故选：A． 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知一组数：，，，，0，把这些数分别填在下面对应的集合中：①负数集合： ；②整数集合： ；③非负数集合： ； 【答案】 ，0 ，，，0 【思路引导】本题考查了有理数的分类、正负数的定义等知识点，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 根据有理数的分类及正负数的定义解答即可． 【规范解答】解：负数集合：；整数集合：，0；非负数集合：，，，0． 故答案为：；，0；，，，0． 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，0.02，，，，，2020． 正数集合{______________________________________________…}； 负数集合{______________________________________________…}； 整数集合{______________________________________________…}； 分数集合{______________________________________________…}； 非负有理数集合{________________________________________…}． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数分为正数、负数和零进而确定正数、负数集合即可；根据整数分为零和正整数、负整数进而确定整数集合即可；有限小数和无限循环小数是分数来确定分数集合，正有理数和零是非负有理数确定非负有理数集合即可． 【规范解答】解：正数集合{3，0.02，，，，2020，…}； 负数集合{，，，…}； 整数集合{，3，0，2020，…}； 分数集合{，0.02，，，，，…}； 非负有理数集合{3，0，0.02，，，，2020，…}． 故答案为：，，；，，；，3，0，2020；，0.02，，，，；3，0，0.02，，，，2020． 6．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【答案】水面低于标准水位高度为 【思路引导】根据正数和负数表示相反意义的量即可解答． 【规范解答】解：某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位高度为． 故答案为：水面低于标准水位高度为． 【考点剖析】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量用正数和负数表示是解答本题的关键． 7．（2022七年级上·全国·专题练习）将下列各数填在相应的集合内. 5，，，，0，2010，，6.2，. 正数集合{ …}；负数集合{ …}； 自然数集合{ …}；整数集合{ …}； 分数集合{ …}；负分数集合{ …}； 非负数集合{ …}；非正整数集合{ …}； 【答案】5，，2010，6.2；，，，；5，0，2010；5，，0，2010，，；，，6.2；；5，，0，2010，6.2；，0，， 【思路引导】根据有理数的分类进行判断即可． 【规范解答】解：正数集合{5，，2010，6.2，…}；负数集合{，，，，…}； 自然数集合{5，0，2010，…}；整数集合{5，，0，2010，，，…}； 分数集合{，，6.2，…}；负分数集合{，…}； 非负数集合{5，，0，2010，6.2，…}；非正整数集合{，0，，，…}. 故答案为：5，，2010，6.2；，，-35，-1；5，0，2010；5，，0，2010，，；，，6.2；；5，，0，2010，6.2；，0，，． 【考点剖析】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数． 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数分别填入相应的数集里． 6.75，，12，，0，，. 负有理数集{____________________…}； 整数集{________________________…}； 分数集{________________________…}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类解答即可，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【规范解答】解：负有理数集{，}； 整数集{，12，0}； 分数集{6.75，，，}． 9．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内：，，0.5，0，，13，，，，． (1)正数集合：{______…}； (2)整数集合：{______…}； (3)非负数集合：{______…}； (4)分数集合：{_______…}． 【答案】(1)，0.5，13，， (2)0，13，，， (3)，0.5，0，13，， (4)，，0.5，，， 【思路引导】此题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键： （1）根据正数定义解答即可； （2）根据整数定义解答即可； （3）根据非负数定义解答即可； （4）根据分数定义解答即可 【规范解答】（1）解：正数集合：{，0.5，13，，…}； （2）解：整数集合：{0，13，，，…}； （3）解：非负数集合：{，0.5，0，13，，…}； （4）解：分数集合：{，，0.5，，，，…}． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$