1.1探索勾股定理（共2课时） 作业单 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大版数学八年级上册 1.1探索勾股定理 第1课时 作业单 【基础知识】 1.(2025·陕西省·同步练习)在中，若，则下列正确的是  (    ) A. B. C. D. 2.(2025·广东省·同步练习)在中，，，，那么的长是  (    ) A. B. C. D. 3.(2025·广东省·同步练习)如图，在中，，，，则正方形的面积为  (    ) A. B. C. D. （T3图） （T4图） （T5图） 4.如图，在中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.(2025·广东省广州市·期中考试)如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母所代表的正方形的面积为          ． 6.(2025·四川省自贡市·期末考试)如图，已知是中边上的高，，，． 求的长． 7.(2025·广东省·同步练习) 求出下列直角三角形中未知边的长度． 8.(2025·全国·教材习题)如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？ 【提升知识】 9.(2025·湖南省长沙市·模拟题)如图，四边形是菱形，，，于，则(    ) A. B. C. D. 10.(2025·辽宁省沈阳市·模拟题)如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为(    ) A. B. C. D. 11.(2025·湖南省衡阳市·期末考试)如图，在长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 12.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·期末考试)我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为，则阴影部分的周长为______． 13.(2025·山东省·月考试卷)如图，在矩形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线分别与、交于点、，则          ． 14.(2025·广东省·同步练习)如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接，，三城市的沿江高速公路．已知沿江高速公路的建设成本是万元，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 【拓展知识】 15.(2025·黑龙江省绥化市·期末考试)如图，经过村和村将，村看成直线上的点的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破已知处与村的距离为米，处与村的距离为米，且． 求，两村之间的距离； 为了安全起见，爆破点周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 2025-2026学年北师大版数学八年级上册 1.1探索勾股定理 第2课时 作业单 学科网（北京）股份有限公司 【基础知识】 1.(2025·广东省·同步练习)在直角三角形中，若勾为，股为，则弦为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·陕西省·同步练习)如图，在中，若，则正方形和正方形的面积和为  (    ) A. B. C. D. （T2图） （T4图） 3.(2025·陕西省·同步练习)如果梯子的底端离建筑物，那么长为的梯子可以达到该建筑物的高度是(    ) A. B. C. D. 4.(2025·广东省·同步练习)如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为    ． A. B. C. D. 5.(2025·广东省·同步练习)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是(    ) A. B. C. D. （T5图） （T6图） 6.(2025·广东省·同步练习)历史上对勾股定理的一种证法采用了下面的图形，其中两个全等的直角三角形的边，在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是  (    ) A. B. C. 四边形四边形 D. 四边形 7.(2025·陕西省·同步练习)如图，的顶点，都在由边长为的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为          ． （T7图） （T8图） 8.(2025·广东省·同步练习)我国古代著作周髀算经中记载了“赵爽弦图”如图，若勾，弦，则小正方形的面积是          ． 9.(2025·广东省·同步练习)如图，在中，，，，，求的长． 10.(2025·广东省·同步练习)年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ 【提升知识】 11.(2025·陕西省·同步练习)如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为  (    ) A. B. C. D. 12.(2025·山东省聊城市·模拟题)如图，图是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为(    ) A. B. C. D. （T11图） （T12图） 13.(2025·辽宁省大连市·期末考试)一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． 求此架云梯的顶端到地面的距离； 如果云梯的顶端下滑了到达处，求它的底部在水平方向移动的距离的长． 14.(2025·全国·教材习题)蚂蚁沿图中所示的折线由点爬到了点，蚂蚁一共爬行了多少厘米图中小方格的边长代表？ 【拓展知识】 15.(2024·江苏省宿迁市·期中考试)【问题背景】 著名的赵爽弦图如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【探索求证】图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图推导勾股定理； 【问题解决】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，且测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】在第向中若时，，，，，设，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年北师大版数学八年级上册 1.1探索勾股定理 第1课时 作业单答案 1.【答案】  【解析】因为在中，，所以故选D． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，是边的中点， 则， 故选：． 根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出． 本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：在中，，，则． 故选：． 利用勾股定理作答即可． 本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 5.【答案】  【解析】本题考查勾股定理，正方形的面积，利用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理可直接求得正方形字母所代表的正方形的边长． 【详解】解：如图， 其中两个正方形的面积分别为和， ，． 为直角三角形， ， 正方形字母所代表的正方形的面积为． 故答案为：． 6.【答案】解：是中边上的高， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 的长为．  【解析】利用勾股定理求出，从而得出的长． 本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键，属于基础题． 7.【答案】解：由题意知，．  【解析】略 8.【答案】解：以两直角边为直径的两个半圆的面积之和等于以斜边为直径的半圆的面积．  【解析】见答案 9.【答案】  【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．设对角线相交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再利用勾股定理求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【解答】 解：如图，设对角线相交于点， 四边形是菱形，，，  ，，， 在中，由勾股定理得， ， ， 即 ，解得 ． 故选A． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型，连接，设交于点证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接，设交于点， 由作图可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ． 故选：． 11.【答案】  【解析】设，由折叠的性质得，．四边形是长方形，在中，由勾股定理得，即，解得，，． 12.【答案】  【解析】解：在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， ， 正方形的面积是， ． 的面积为， ， ， ， 即， 阴影部分的周长为． 故答案为：． 根据勾股定理得，则正方形的面积是，因为的面积为，所以，即可算出阴影部分的周长为． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 13.【答案】  【解析】解：连接， 由作法得垂直平分， ， 设，， 在中，， 解得， ， ， ． 故答案为． 14.【答案】解：，，，．．，，，．．．万元． 答：该沿江高速公路的造价预计是万元．   【解析】略 15.【答案】解：在中，米，米， 米． 答：，两村之间的距离为米； 公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，过作于以点为圆心，米为半径画弧，交于点，，连接，， ， 米． 由于米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． 米， 米， 故EF米， 则需要封锁的路段长度为米．  【解析】根据勾股定理可直接求出； 利用三角形的面积公式求得米．再根据米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出的长． 2025-2026学年北师大版数学八年级上册 1.1探索勾股定理 第2课时 作业单答案 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】在中，， 则正方形和正方形的面积和是． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】因为，所以故答案为． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】解：，，，，，，同理，．  【解析】略 10.【答案】解：能利用它验证勾股定理．根据面积相等法，得，．．．  【解析】略 11.【答案】  【解析】在中，由勾股定理得，则因为，所以，所以． 由题图易知，阴影部分的面积为故选A． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】解：， 则此架云梯的顶端到地面的距离为． 答：此架云梯的顶端到地面的距离为； 如果云梯的顶端下滑了到达处， 则， 则， ． 答：它的底部在水平方向移动的距离的长为．  【解析】利用勾股定理直接求解即可． 如果云梯的顶端下滑了到达处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可． 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 14.【答案】解：由勾股定理求得，，的长分别为，，， 所以它一共爬行了．   【解析】见答案 15.【答案】【小题】 ， ， ， 即； 【小题】 设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即千米， 千米， 新路比原路少千米； 【小题】 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：．   【解析】  此题主要考查了勾股定理的证明与应用： 梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；   设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；   在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． $$