第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测 B---2025-2026学年沪科版八年级数学上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测B 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列语句中，真命题是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C．﹣3是的平方根 D．相等的两个角是对顶角 【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题； C、﹣3是的平方根，是真命题； D、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题； 故选：C． 2.在△ABC中，作BC边上的高，以下选项中正确的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：在△ABC中，作BC边上的高，作法正确的是： 故选：C． 3.一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【解答】解：由三角形的外角定理可知， ∠1＝45°+30°＝75°． 故选：C． 4.下列几组线段能组成三角形的是（　　） A．3cm，5cm，8cm B．2cm，2cm，6cm C．1.2cm，1.2cm，1.2cm D．9cm，15cm，4cm 【解答】解：A、3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意； B、2+2＝4＜6，不能组成三角形，不符合题意； C、1.2+1.2＝2.4＞1.2，能组成三角形，符合题意； D、9+4＝13＜15，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 5.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+7x＝180°． ∴x＝（）°． ∴7x＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 6.如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【解答】解：根据S△ABC＝12可知：，AD＝4， ∴BC＝6， 根据AE是中线可知： ， 故选：B． 7.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 8.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2 【解答】解：∵点D，E分别为边BC，AD中点， ∴， ∴， ∵F是EC的中点， ， ∴， ∵△ABC的面积等于4cm2， ∴S△BEF＝1cm2， 即阴影部分的面积为1cm2， 故选：A． 9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【解答】解：A、∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴结论A正确， 故该选项不符合题意； B、∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∴结论B正确， 故该选项不符合题意； C、∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴， 即S△ABE＝S△ACE， ∴结论C正确， 故该选项不符合题意； D、∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线， ∴结论D错误， 故该选项符合题意； 故选：D． 10.如图，△ABC，点P为△ABC外一点（点P不在直线AB、BC、AC上），连接PB、PC．若∠PBA＝α，∠PCA＝β，∠BAC＝γ，对于①α+γ﹣β；②α﹣β﹣γ；③β﹣α﹣γ；④360°﹣α﹣β﹣γ，则∠BPC的度数可能是（　　） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：如图一，∠P+∠PDB+α＝∠ADC+β+γ， ∵∠PDB＝∠ADC， ∴∠P+α＝β+γ， ∴∠P＝β+γ﹣α； 如图二，在四边形ABPC中，α+β+γ+∠P＝360°， ∴∠P＝360°﹣α﹣β﹣γ； 如图三，α+γ+∠ADB＝∠P+β+∠PDC， ∵∠ADB＝∠PDC， ∴α+γ＝∠P+β， ∴∠P＝α+γ﹣β； 如图四，延长CA交PB于点D， ∵∠BDA是△PCD的外角， ∴∠BDA＝∠P+β， ∵∠BAC是△ABD的外角， ∴γ＝α+∠BDA＝α+β+∠P， ∴∠P＝γ﹣α﹣β； 如图五，延长CB， ∵∠1是△BCP的外角， ∴∠1＝∠4+∠BPC， 同理，∠2＝∠3+∠BAC， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠BPC+∠BAC， 又∵∠1+∠2＝α，∠3+∠4＝β，∠BAC＝γ， ∴α＝β+γ+∠BPC， ∴∠BPC＝α﹣β﹣γ； 如图6，延长BC， ∵∠3是△ABC的外角， ∴∠3＝∠1+∠BAC， 同理，∠4＝∠2+∠BPC， ∴∠3+∠4＝∠1+∠2+∠BAC+∠BPC， ∵∠1+∠2＝α，∠3+∠4＝β，∠BAC＝γ， ∴β＝α+γ+∠BPC， ∴∠BPC＝β﹣α﹣γ． 综上判断①、②、③、④都正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.写出“对顶角相等”的逆命题　 　 ． 【解答】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等； ∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角． 12.若a，b，c是△ABC的三边，试化简：|a﹣b﹣c|+|a+b﹣c|＝　 　 ． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a＜b+c，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|+|a+b﹣c| ＝﹣（a﹣b﹣c）+a+b﹣c ＝﹣a+b+c+a+b﹣c ＝2b． 故答案为：2b． 13.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 【解答】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB， ∵∠BA'C＝115°， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A， ∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'， ∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°， 故答案为：100°． 14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有 　 　 ． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°， ∵∠BAD＝∠C， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠CAB＝90°，故①正确， ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C， ∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确， ∵EF∥AC， ∴∠AEF＝∠CAE， ∵∠CAD＝2∠CAE， ∴∠CAD＝2∠AEF， ∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°， ∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确， 无法判定∠AEF＝∠BEF，故②错误； 故答案为：①③④． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知△ABC中，∠B﹣∠A＝70°，∠B＝2∠C，求∠A、∠B、∠C的度数． 【解答】解：∵∠B﹣∠A＝70°，∠B＝2∠C， ∴∠A＝∠B﹣70°＝2∠C﹣70°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C﹣70°+2∠C+∠C＝180°， ∠C＝50°， ∴∠A＝30°，∠B＝100°，∠C＝50°． 16.如果一个三角形的一边长为5cm，另一边长为2cm，若第三边长为x cm． （1）第三边x的范围为 　 　 ． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【解答】解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则 x＜5+2． 即x＜7． 根据三角形两边的差小于第三边，则 5﹣2＜x． 即3＜x． 综上所述 3＜x＜7． 故答案为：3＜x＜7． （2）∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长为5cm． ∴三角形的周长＝5+5+2＝12（cm）． ∵两条边的长为5cm，另外一条边的长为2cm， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°．求∠B，∠ADC的度数． 【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°， ∴∠ACB＝2∠BCD＝62°， 又∵∠A＝68°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝50°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝50°+31°＝81°． 综上所述，∠B，∠ADC的度数分别是50°，81°． 18.如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3， ∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3， ∵AB＝9， ∴AC＝6． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”． （1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数． 【解答】解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下： ∵∠A＝35°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3， ∴△ABC是“三倍角三角形”； （2）∵∠B＝30°， ∴∠A+∠C＝150°， 设最小的角为x， ①当30°＝3x时，x＝10°， ②当x+3x＝150°时，x＝37.5°，30＜37.5， ③30°×3＝90°，180﹣30﹣90＝60°， 答：△ABC中最小内角为10°或30°． 20.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）． （1）∠ABO的度数为　 　 °，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”； 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∵∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB为“灵动三角形”， 故答案为：30；是； （2）∵AB⊥OM， ∴∠BAO＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAC＝30°， ∵∠MON＝60°， ∴∠ACO＝180°﹣∠OAC﹣∠MON＝90°， ∴∠ACO＝3∠OAC， ∴△AOC为“灵动三角形”； 六、（本题满分12分） 21.已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证： （1）∠EGH＞∠ADE； （2）∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF． 【解答】证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角， ∴∠EGH＞∠B， 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE．（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EGH＞∠ADE； （2）∵∠BFE是△AFE的外角， ∴∠BFE＝∠A+∠AEF， ∵∠EGH是△BFG的外角， ∴∠EGH＝∠B+∠BFE． ∴∠EGH＝∠B+∠A+∠AEF， 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF． 七、（本题满分12分） 22.如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC． （1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝　　 °； （2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝　　 °； （3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）； （4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 　 　 ． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝15°． 故答案为：15； （2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝30°． 故答案为：30； （3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α（90°＜α＜180°）， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣90°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴； （4）设∠AOC＝x（0°＜x＜180°）， ①如图1，图2，当0°＜x≤90°时， ∵∠AOB＝90°，∠AOC＝x， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣x， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴， 即∠AOC＝2∠DOE； ②如图3，当90°＜x＜180°时， 同（3）可得：， 则∠AOC＝2∠DOE； 综上，∠AOC与∠DOE的数量关系为∠AOC＝2∠DOE， 故答案为：∠AOC＝2∠DOE． 八、（本题满分14分） 23.实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝　　 ； ②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，已知∠A＝30°，那么∠ABD+∠ACD＝　　 ； （2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数； ②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝110°，∠BF4C＝62°，则∠A的度数为 　　 ． 【解答】解：（1）①∵BC∥EF，∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠DBC＝∠DEF＝45°，∠DCB＝∠DFE＝45°， ∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝45°，∠ACD＝15°， ∴∠ABD+∠ACD＝60°， 故答案为：60°； ②∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠DCB＝60°， 故答案为：60°； （2）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由如下： 如图3，过点D作射线AF． 根据三角形外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD， 又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C； （3）①如图4，由（2）可得∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A， ∵∠BAC＝40°，∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝80°， ∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴， ∴ ∵∠BDC＝∠BEC+∠EBD+∠ECD， ∴∠BEC＝∠BDC﹣∠EBD﹣∠ECD＝120°﹣40°＝80°； ③如图5，设∠ABF1＝x°，∠ACF1＝y°，则∠ABD＝10x°，∠ACD＝10y°， ∵∠BDC＝110°，∠BF4C＝62° ∴∠A+4x°+4y°＝62°，∠A+10x°+10y°＝110°， 解得x+y＝8°， ∴∠A＝62°﹣32°＝30°， 即∠A的度数为30°． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测B 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列语句中，真命题是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C．﹣3是的平方根 D．相等的两个角是对顶角 2.在△ABC中，作BC边上的高，以下选项中正确的是（　　） A．B．C．D． 3.一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 4.下列几组线段能组成三角形的是（　　） A．3cm，5cm，8cm B．2cm，2cm，6cm C．1.2cm，1.2cm，1.2cm D．9cm，15cm，4cm 5.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 6.如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 8.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2 9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 10.如图，△ABC，点P为△ABC外一点（点P不在直线AB、BC、AC上），连接PB、PC．若∠PBA＝α，∠PCA＝β，∠BAC＝γ，对于①α+γ﹣β；②α﹣β﹣γ；③β﹣α﹣γ；④360°﹣α﹣β﹣γ，则∠BPC的度数可能是（　　） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.写出“对顶角相等”的逆命题　 　 ． 12.若a，b，c是△ABC的三边，试化简：|a﹣b﹣c|+|a+b﹣c|＝　 　 ． 13.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知△ABC中，∠B﹣∠A＝70°，∠B＝2∠C，求∠A、∠B、∠C的度数． 16.如果一个三角形的一边长为5cm，另一边长为2cm，若第三边长为x cm． （1）第三边x的范围为 　 　 ． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°．求∠B，∠ADC的度数． 18.如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”． （1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数． 20.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）． （1）∠ABO的度数为　 　 °，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”； 六、（本题满分12分） 21.已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证： （1）∠EGH＞∠ADE； （2）∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF． 七、（本题满分12分） 22.如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC． （1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝　　 °； （2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝　　 °； （3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）； （4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 　 　 ． 八、（本题满分14分） 23.实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝　　 ； ②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，已知∠A＝30°，那么∠ABD+∠ACD＝　　 ； （2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数； ②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝110°，∠BF4C＝62°，则∠A的度数为 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$