13.2 命题与证明 讲义 (5大知识点+巩固练习）---2025-2026学年沪科版八年级数学上册

13.2命题与证明 一、主要知识点 知识点1 命题、公理、定理、推论 1.命题 判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题． 命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式. 要点诠释： 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 2.公理 人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据． 3.定理 从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据． 要点诠释： 也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 4.推论 由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 【例1】下列语句是命题的是（　　） A．对顶角一定相等吗？ B．人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C．画一个角等于已知角 D．若a＝b，则a2＝b2 【例2】下列命题中是真命题的是（　　） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．如果a∥b，b∥c，那么a⊥c C．同旁内角相等，两直线平行 D．若a，b是两个无理数，则a+b一定也是无理数 【例3】命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（　　） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【例4】举反例说明下面的命题是假命题：“若a，b都是正数，且c＝ab，则c≥a．”你举的反例是：　 ． 【例5】把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ． 知识点2 逆命题和逆定理 互逆命题 　　在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理. 【例6】已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 【例7】下列说法正确的有（　　） ①所有定理都是真命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3 演绎推理 演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 要点诠释： 演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明． 【例8】小中、小兴、小华、小为的职业分别是工程师、设计师、程序员的一种，其中只有小兴和小为的职业相同，小中是工程师，小华不是设计师，小兴的职业是（　　） A．工程师 B．设计师 C．程序员 D．不确定 【例9】某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项（不考虑顺序），以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数是（　　）人． A．15 B．12 C．10 D．8 【例10】一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是843”；小明说：“它是247”；小亮说：“它是103”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字．这只皮箱的密码是 　 　 ． 知识点4 三角形内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【例11】如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（　　） A．96° B．86° C．84° D．66° 【例12】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　　 度． 知识点5 三角形外角 三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 【例13】如图，下列判断正确的是（　　） A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2＝∠1 【例14】如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B 【例15】一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为 　　 ． 二、巩固练习 1.下列句子是命题的是（　　） A．连接CD B．画∠ACB＝48° C．小于90的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 2.下列命题是假命题的是（　　） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 3.下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．直角都相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 4.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝65°，则∠B的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 5.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 6.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．105° 7.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，若∠BCA＝60°，则∠B+∠E的值是（　　） A．59° B．60° C．61° D．62° 8.写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　 　 ，该逆命题是 　　 命题（填“真”或“假”）． 9.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ． 10.“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题： ①6666是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意六位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有　 　 （填序号）． 11.将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式　 　 ． 12.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在 　 　 的手上． 13.如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　 　 ． 14.如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B′处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB′的度数为 　 　 ． 15.如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，点N为△ABC的两外角平分线的交点．对于以下结论： ①∠A＝∠N； ②∠BMC+∠BNC＝180°； ③∠BMC＝∠A∠ACB； ④∠BNC＝90°∠A． 则一定正确的是 　 　 ．（填写序号） 16.命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明． 17.如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 18.如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　 　 ＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴∠1②　 　 ． ∵CE平分∠ACD． ∴∠2＝③　 　 ． ∴∠1+∠2＝④　 　 °． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑤　 　 ． 19.（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 20.综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝　 　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系　 　 ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2命题与证明 一、主要知识点 知识点1 命题、公理、定理、推论 1.命题 判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题． 命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式. 要点诠释： 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 2.公理 人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据． 3.定理 从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据． 要点诠释： 也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 4.推论 由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 【例1】下列语句是命题的是（　　） A．对顶角一定相等吗？ B．人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C．画一个角等于已知角 D．若a＝b，则a2＝b2 【解答】解：A、对顶角一定相等吗？，不是命题，不符合题意； B、人们经常用实验、归纳的方法去发现命题，不是命题，不符合题意； C、画一个角等于已知角，不是命题，不符合题意； D、若a＝b，则a2＝b2，是命题，符合题意； 故选：D 【例2】下列命题中是真命题的是（　　） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．如果a∥b，b∥c，那么a⊥c C．同旁内角相等，两直线平行 D．若a，b是两个无理数，则a+b一定也是无理数 【解答】解：利用相关知识逐项分析判断如下： A、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题，符合题意； B、如果a∥b，b∥c，那么a∥c，故原说法错误，是假命题，不符合题意； C、同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误，是假命题，不符合题意； D、若a，b是两个无理数，则a+b不一定也是无理数，故原说法错误，是假命题，不符合题意． 故选：A． 【例3】命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（　　） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【解答】解：题设为：两条直线平行于同一条直线，结论为：这两条直线平行， 故选：A． 【例4】举反例说明下面的命题是假命题：“若a，b都是正数，且c＝ab，则c≥a．”你举的反例是：　 ． 【解答】解：举的反例是：，，， 此时c＝ab，但是c＜a， 故答案为：，，，显然c＜a（答案不唯一）． 【例5】把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ． 【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， ∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 知识点2 逆命题和逆定理 互逆命题 　　在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理. 【例6】已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 【解答】解：根据求一个命题的逆命题可知： 命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”的逆命题是如果﹣a＝﹣b，那么a＝b， 故选：B． 【例7】下列说法正确的有（　　） ①所有定理都是真命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：定理是真命题，故所有定理是真命题，故①说法正确； 真命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若a＝b，则a2＝b2，此命题是真命题，但其逆命题是假命题，故②说法错误； 假命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若a＞b，则a2＞b2，此命题是假命题，其逆命题为：若a2＞b2，则a＞b，此命题是假命题，故③说法错误； 并不是每个定理的逆命题都是正确的，即并不是每个定理都有逆定理，故④说法错误； 故正确的说法只有1个； 故选：A． 知识点3 演绎推理 演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 要点诠释： 演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明． 【例8】小中、小兴、小华、小为的职业分别是工程师、设计师、程序员的一种，其中只有小兴和小为的职业相同，小中是工程师，小华不是设计师，小兴的职业是（　　） A．工程师 B．设计师 C．程序员 D．不确定 【解答】解：∵小华不是设计师， ∴小华是工程师或程序员， ∵小中是工程师，且只有小兴和小为的职业相同， ∴小华是程序员， ∴小兴和小为均是设计师． 故选：B． 【例9】某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项（不考虑顺序），以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数是（　　）人． A．15 B．12 C．10 D．8 【解答】解：∵每位同学选择其中的两项， ∴该班人数有30（人）； 选择BD组合的刚好有10人，则还有20人， 其中选E的人数有12，那么没选E的有8人， 即全部是AC组合， ∴AC组合的人数有8人． 故选：D． 【例10】一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是843”；小明说：“它是247”；小亮说：“它是103”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字．这只皮箱的密码是 　 　 ． 【解答】解：∵三个人说出的数中，3和4都有重复，且位置相同， ∴他们猜对的数字不可能是3和4，可以排除这两个数， ∴小光猜对的数字是8， ∵8在百位上， ∴1和2可以排除， ∴小明猜对了个位上的7，小亮猜对了十位上的0， ∴这个三位数密码是807， 故答案为：807． 知识点4 三角形内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【例11】如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（　　） A．96° B．86° C．84° D．66° 【解答】解：根据三角形内角和定理可得：∠C＝180°﹣76°﹣20°＝84°， 故选：C． 【例12】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　　 度． 【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， 则3x+4x+5x＝180°， 整理得，12x＝180°， 解得x＝15°， ∴∠A＝3x＝3×15°＝45°，∠B＝4x＝4×15°＝60°，∠C＝5x＝5×15°＝75°， ∴△ABC中最大角的度数为75°， 故答案为：75． 知识点5 三角形外角 三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 【例13】如图，下列判断正确的是（　　） A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2＝∠1 【解答】解：根据三角形的外角都大于与它不相邻的两个内角可得： ∠2＞∠1； 故选：B． 【例14】如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B 【解答】解：根据图形可知：∠A≠∠E，∠C≠∠E，∠B≠∠E+∠F， ∵∠D相当于△ABC的外角， ∴∠D＝∠A+∠B，故选项A、B、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【例15】一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为 　　 ． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠ADC＝45°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝15°， ∴∠α＝∠BAC﹣∠BAD＝75°， 故答案为：75°． 二、巩固练习 1.下列句子是命题的是（　　） A．连接CD B．画∠ACB＝48° C．小于90的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 【解答】解：A．连接CD是作图语句，不是命题，故A不符合题意； B．画∠ACB＝48°是作图语句，不是命题，故B不是命题，故B不符合题意； C．小于90的角是锐角？是问句，不是命题，故C不符合题意； D．相等的角是对顶角是命题，故D符合题意． 故选：D． 2.下列命题是假命题的是（　　） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，符合题意； B、对顶角相等，是真命题，不符合题意； C、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题，不符合题意； D、同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； 故选：A． 3.下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．直角都相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【解答】解：A、逆命题为相等的角都是直角，不成立，不符合题意； B、逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，不成立，不符合题意； C、逆命题为相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； D、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，成立，符合题意． 故选：D． 4.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝65°，则∠B的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝65°， ∴∠BCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣65°＝25°， ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠BCE＝25°（两直线平行，内错角相等）， 即∠B的度数是25°， 故选：A． 5.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【解答】解：∵∠ADE＝90°，∠BED＝45°， ∴∠DCE＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∵∠A＝30°， ∴∠α＝∠A+∠ACB＝30°+45°＝75°， 故选：D． 6.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．105° 【解答】解：由三角板可知：∠5＝60°， ∵直尺两边平行， ∴∠2＝45°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣45°＝45°， ∴∠4＝∠3＝45°（对顶角相等）， ∴∠1＝∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣45°﹣60＝75°， 故选：B． 7.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，若∠BCA＝60°，则∠B+∠E的值是（　　） A．59° B．60° C．61° D．62° 【解答】解：∵∠BCA＝60°． ∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝180°﹣60°＝120°． ∵CE平分∠ACD， ∴， ∵∠ECD是△BCE的外角． ∴∠B+∠E＝∠ECD＝60°． 所以∠B+∠E的值为60°． 故选：B． 8.写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　 　 ，该逆命题是 　　 命题（填“真”或“假”）． 【解答】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它是真命题． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真． 9.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ． 【解答】解：命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数． 10.“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题： ①6666是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意六位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有　 　 （填序号）． 【解答】解：①根据定义6666正读倒读都一样，故6666是“回文数”；①是真命题； ②两位数的“回文数”为：11，22，33，44，55，66，77，88，99，合计9个；②是真命题； ③三位数的“回文数”中，百位和个位是1的为：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191，合计10个，同理百位和个位是2的有10个，依次类推，则三位数的“回文数”合计10×9＝90个；③是真命题； ④设任意六位数m的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为a，b，c，d，e，f，则p＝100000a+10000b+1000c+100d+10e+f， 根据定义，a＝f，b＝e，c＝d， ∴p＝100001a+10010b+110c＝11×9091a+11×910b+11×10c＝11×（9091a+910b+10c）， ∴p是11的倍数；④是真命题； 故答案为：①②③④． 11.将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式　 　 ． 【解答】解：将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 12.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在 　 　 的手上． 【解答】解：假设小雅说的是真话，则红桃A在小雅手上，所以小培说的是真话，不合题意， 假设小培说的是真话，小雅说的是假话，则小粹说的是真话，不合题意， 假设小粹说的是真话，则小雅说的是假话，则小培说的就是假话了，符合题意， 所以红桃A在小培手上． 故答案为：小培． 13.如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　 　 ． 【解答】解：如图，连接BC．设DC与BE交于点F， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC， ∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°， 即∠D+∠E等于50°， 故答案为：50°． 14.如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B′处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB′的度数为 　 　 ． 【解答】解：由折叠性质可知△BMN≌△B′MN， ∴∠BMN＝∠B′MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠B′MN＝∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB′＝∠B′MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故答案为：54°． 15.如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，点N为△ABC的两外角平分线的交点．对于以下结论： ①∠A＝∠N； ②∠BMC+∠BNC＝180°； ③∠BMC＝∠A∠ACB； ④∠BNC＝90°∠A． 则一定正确的是 　 　 ．（填写序号） 【解答】解：∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB， ∴， ∴∠MBC+∠BCM ， ∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠BCM， ∵点N为△ABC的两外角平分线的交点， ∴， ∴∠CBN+∠BCN ， ∴， ∴∠BMC+BNC， ∴∠A≠∠N， ∴①错误，②④均正确； 连接AM交BC于D， ∴∠BMC＝BMD+CMD＝∠MAD+∠AMD+∠MAC+∠ACM＝∠A∠ACB， ∴③正确． 故答案为：②③④． 16.命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明． 【解答】解：（1）逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线平行； （2）（1）中的命题是真命题， 已知：如图，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，EG⊥FG， 求证：AB∥CD， 证明：∵EG⊥FG， ∴∠G＝90°， ∴∠EFG+∠FEG＝180°﹣90°＝90°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∴∠BEF+∠EFD＝2（∠EFG+∠FEG）＝180°， ∴AB∥CD． 17.如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BFD， ∴AB∥CD； 选择①③为题设，②为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∴∠B＝∠C； 选择②③为题设，①为结论， 由平行线性质可知∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠BFD， ∴CE∥BF， ∴∠2＝∠CGD， 又∵∠1＝∠CGD， ∴∠1＝∠2． 18.如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　 　 ＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴∠1②　 　 ． ∵CE平分∠ACD． ∴∠2＝③　 　 ． ∴∠1+∠2＝④　 　 °． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑤　 　 ． 【解答】解：由条件可知∠BAC+∠ACD＝180°． ∵AE平分∠BAC， ∴． 由条件可知． ∴∠1+∠2＝90°． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 19.（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB． 同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）①解：由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 又∵∠B＝36°，∠D＝16°， ∴∠P． ②∠P，证明如下： 由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 20.综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝　　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系　 　 ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 【解答】解：（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝110°， ∵点P是∠ABC 和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°； （2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q， ∴∠CBQ+∠BCQ∠MBC∠BCN（∠MBC+∠BCN）（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）（180°+∠A）＝90°∠A， ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． 故答案为：∠Q＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ∠ABC∠MBC（∠ABC+∠A∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝4∠E＝90°，则∠E＝22.5°， ∴∠A＝2∠E＝45°； ②∠EBQ＝4∠Q＝90°，则∠Q＝22.5°，∠E＝67.5°， ∴∠A＝2∠E＝135°； ③∠Q＝4∠E，则5∠E＝90°， ∴∠E＝18°， ∴∠A＝2∠E＝36°； ④∠E＝4∠Q，则∠E＝72°， ∴∠A＝2∠E＝144°； 综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 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