13.2命题与证明（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“命题与证明”核心知识点，从命题的定义、特征、组成（题设与结论）及真假判断入手，逐步过渡到证明的含义、必要性、一般步骤，最后引入反证法，形成从概念理解到方法应用的学习支架，含思维导图辅助知识梳理。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，练习题涵盖命题真假判断、题设结论分析、逆命题改写及反证法应用等，强化推理意识与抽象能力。课中助力教师系统授课，课后通过典型例题与分层练习，帮助学生巩固逻辑推理方法，查漏补缺提升解题能力。

13.2命题与证明 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 命题的概念与结构 1. 命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 2. 命题的特征： · 必须是一个完整的语句。 · 必须对某件事情作出明确的判断（肯定或否定）。 3. 命题的组成： · 题设（条件）：命题中已知的事项，通常以“如果……”的形式出现。 · 结论：命题中由已知事项推出的事项，通常以“那么……”的形式出现。 · 一般形式：如果( p )，那么( q )（其中( p )是题设，( q )是结论）。 4. 真命题与假命题： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 · 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题（只需举出一个反例即可说明）。 证明的含义与必要性 1. 证明的定义：根据题设、公理、已证定理以及已知条件，通过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程。 2. 证明的必要性： · 对于一些命题，其正确性不是显而易见的，需要通过证明来确认。 · 证明是判断命题真假的可靠方法，能确保结论的严密性。 证明的一般步骤 1. 审题：分清命题的题设（已知条件）和结论。 2. 根据题意画图：画出符合题意的图形，图形要具有一般性，避免特殊化。 3. 写出“已知”和“求证”： · 已知：将命题的题设转化为几何符号语言，写在“已知”后面。 · 求证：将命题的结论转化为几何符号语言，写在“求证”后面。 4. 探索证明思路：从已知条件出发，结合所学公理、定理等，逐步推出求证的结论（执因索果）；或从结论出发，寻找使结论成立所需的条件（执果索因）。 5. 写出证明过程： · 证明过程要步步有据，每一步推理都要有依据（已知、公理、定义、定理等）。 · 通常用“∵”（因为）引出条件，用“∴”（所以）引出结论，并在每一步结论后注明依据。 反证法（一种特殊的证明方法） 1. 反证法的定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 2. 反证法的一般步骤： · 假设：假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立）。 · 归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、公理、定理或定义等相矛盾的结果。 · 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 型 习 练 题 判断命题真假 1．对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下列命题中，真命题是（   ） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．邻补角是互补的角 C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 4．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 5．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 写出命题的题设和结论 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 7．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 8．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 9．对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 10．下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 写出命题的逆命题 11．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 12．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 13．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被2整除 B．对顶角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同角（或等角）的余角相等 14．关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（   ） A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 15．已知下列命题，其逆命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．直角三角形的两锐角互余 判断是否为互逆命题 16．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 17．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 18．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 19．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 20．下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 用反证法证明命题 21．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 22．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 23．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 24．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 25．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 写出一个命题的已知、求证及证明过程 26．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 27．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 28．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 29．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知：________________ 求证：___________________ 证明：____________________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2命题与证明 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 命题的概念与结构 1. 命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 2. 命题的特征： · 必须是一个完整的语句。 · 必须对某件事情作出明确的判断（肯定或否定）。 3. 命题的组成： · 题设（条件）：命题中已知的事项，通常以“如果……”的形式出现。 · 结论：命题中由已知事项推出的事项，通常以“那么……”的形式出现。 · 一般形式：如果( p )，那么( q )（其中( p )是题设，( q )是结论）。 4. 真命题与假命题： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 · 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题（只需举出一个反例即可说明）。 证明的含义与必要性 1. 证明的定义：根据题设、公理、已证定理以及已知条件，通过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程。 2. 证明的必要性： · 对于一些命题，其正确性不是显而易见的，需要通过证明来确认。 · 证明是判断命题真假的可靠方法，能确保结论的严密性。 证明的一般步骤 1. 审题：分清命题的题设（已知条件）和结论。 2. 根据题意画图：画出符合题意的图形，图形要具有一般性，避免特殊化。 3. 写出“已知”和“求证”： · 已知：将命题的题设转化为几何符号语言，写在“已知”后面。 · 求证：将命题的结论转化为几何符号语言，写在“求证”后面。 4. 探索证明思路：从已知条件出发，结合所学公理、定理等，逐步推出求证的结论（执因索果）；或从结论出发，寻找使结论成立所需的条件（执果索因）。 5. 写出证明过程： · 证明过程要步步有据，每一步推理都要有依据（已知、公理、定义、定理等）。 · 通常用“∵”（因为）引出条件，用“∴”（所以）引出结论，并在每一步结论后注明依据。 反证法（一种特殊的证明方法） 1. 反证法的定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 2. 反证法的一般步骤： · 假设：假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立）。 · 归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、公理、定理或定义等相矛盾的结果。 · 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 型 习 练 题 判断命题真假 1．对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的定义，关键是条件成立时，结论不成立； 若，则可能不成立，当但时即为反例，需找出满足此条件的选项． 【详解】解：选项A：，满足条件，满足结论，故不符合题意； 选项B：，不满足条件，故不符合题意； 选项C：，不满足条件，故不符合题意； 选项D：，满足条件，不满足结论，故符合题意； 因此，选项D能说明该命题是假命题． 故选：D． 2．下列命题中，真命题是（   ） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题的判断． 选项A是余角的性质，正确；选项B缺少两直线平行的条件，错误；选项C忽略负平方根，错误；选项D相等的角不一定是对顶角，错误． 【详解】A、同角的余角相等，正确，故A为真命题； B、同位角相等需两直线平行，否则不一定相等，故B为假命题； C、正数的平方根有正负两个，不总是正数，故C为假命题； D、相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），故D为假命题； 故选：A． 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．邻补角是互补的角 C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假，熟练掌握假命题的定义是解题的关键． 根据平行线的性质、邻补角的定义、平行公理的推论，平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A、同旁内角互补的前提是两直线平行，否则不一定成立，则A是假命题； 选项B、邻补角定义是相邻且互补的角，则B是真命题； 选项C、平行线具有传递性：若，，则，则C是真命题； 选项D、 在同一平面内，若，，则，则D是真命题， 故选：A． 4．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，熟练掌握逆命题的概念是解题的关键． 逆命题是将原命题的条件和结论互换，需判断互换后的命题是否成立即可． 【详解】解：选项A：原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A逆命题不成立； 选项B：原命题“直角三角形的两锐角互余”成立，逆命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”成立，根据三角形内角和是，两角互余则第三角为，故B逆命题成立； 选项C：原命题“等边三角形的三条边相等”成立，逆命题“三边相等的三角形是等边三角形”成立，符合等边三角形的定义，故C逆命题成立； 选项D：原命题“两直线平行，内错角相等”成立，逆命题“内错角相等，两直线平行”成立，为平行线判定定理，故D逆命题成立； 故选：A． 5．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 写出命题的题设和结论 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 7．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 8．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，命题由条件和结论组成，通常形式为“如果条件，那么结论”，题目中的命题“两个锐角相等”可还原为“如果两个角是锐角，那么它们相等”，因此条件为“两个角是锐角”． 【详解】解：命题“两个锐角相等”的条件是两个角是锐角． 故选：C． 9．对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 10．下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键． 利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②、④是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式，故①正确； 该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确；结论是两个角相等，故④正确； 互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误； 综上所述判断正确的为：①②④，共3个， 故选：B． 写出命题的逆命题 11．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可． 【详解】解：∵原命题为“如果，那么”， ∴逆命题为如果 ，那么 ， 故选：B 12．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【详解】本题考查命题的有关知识，熟练掌握逆命题的意义并灵活运用是解题关键． 分别写出各命题的逆命题，并判断其真假． 【分析】的逆命题：相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角）， 逆命题不成立，不符合题意； 的逆命题：角的平分线上的点在角的内部，且到角的两边距离相等，∵角平分线的性质定理成立， 逆命题成立，符合题意； 的逆命题：锐角三角形是等边三角形，∵锐角三角形不一定等边（如三锐角不等）， 逆命题不成立，不符合题意； 的逆命题：对应角相等的三角形全等，∵对应角相等的三角形相似但不一定全等， 逆命题不成立，不符合题意； 故逆命题成立的只有． 故选． 13．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被2整除 B．对顶角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同角（或等角）的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题的真假判断．逆命题由原命题的条件和结论互换得到．需逐一分析各选项的逆命题，并判断其真假．判断逆命题真假时，需准确互换原命题的条件和结论，并结合所学几何知识进行验证．注意反例的运用． 【详解】解：A选项原命题：偶数一定能被2整除，逆命题：能被2整除的整数一定是偶数． 该逆命题为真，因为能被2整除的整数即为偶数； B选项原命题：对顶角相等，逆命题：相等的角是对顶角． 该逆命题为假，因为相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等，但不是对顶角）； C选项原命题：两直线平行，同位角相等，逆命题：同位角相等，两直线平行． 该逆命题为真，这是平行线的判定定理之一； D选项原命题：同角（或等角）的余角相等，逆命题：如果两个角的余角相等，则这两个角相等．该逆命题为真，因为若两角余角相等，则两角必是同角或等角（设两角为和，余角相等即，故）． ∴ 逆命题是假命题的只有B选项． 故选：B． 14．关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（   ） A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握命题的结构是解答此题的关键．写出该命题的逆命题，再根据相等的角不一定是对顶角判断该逆命题是假命题，即可得答案． 【详解】解：对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故①说法正确； 相等的角不一定是对顶角，故该命题的逆命题是假命题，②说法正确； 所以，①和②都正确． 故选：A． 15．已知下列命题，其逆命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键．分别写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A．若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； B．若，则，逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； C．若，，则的逆命题是若，则，，逆命题是假命题，不符合题意， D．直角三角形两锐角互余的逆命题是如果一个三角形两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 判断是否为互逆命题 16．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 17．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 18．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 19．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 20．下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】A 【分析】根据互逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据相关定理判断即可． 【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误； B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确； C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确； D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确； 故选A． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 用反证法证明命题 21．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解题关键是明确反证法的步骤． 反证法证明命题时，应假设结论的反面成立．结论是，其反面是 与 不平行． 【详解】∵ 反证法需假设结论不成立，结论的反面是与 不平行， ∴ 应假设 与 不平行， 故选 B． 22．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 23．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 24．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例．根据反证法，可证明①②③正确． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法②正确； ③若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法③正确． 故选：D． 25．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； 故选：B． 写出一个命题的已知、求证及证明过程 26．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 27．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 28．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 29．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知：________________ 求证：___________________ 证明：____________________． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出，利用全等三角形的判定，证明,由全等三角形的性质即可证明． 【详解】已知：在中，，、分别是和的角平分线， 求证：. 证明：, , 、分别是和的角平分线, , , 在和中 ， ， 即等腰三角形两底角的角平分线相等． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质和判定定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $