精品解析：广东省广州市越秀区2024--2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024学年第二学期期末诊断性调研 八年级数学学科 本调研卷共6页，25小题，满分120分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则的长为（ ） A B. C. D. 5 3. 广州市农科院对糯米糍、桂味两个品种的荔枝用相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 糯米糍比桂味的产量稳定 B. 桂味比糯米糍的产量稳定 C. 糯米糕、桂味的产量一样稳定 D. 无法确定哪一品种的产量更稳定 4. 如图，菱形中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ） A 2cm B. 4cm C. 8cm D. cm 6. 一次函数的图象上有两点和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数图象如图所示，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点为边上一点且，与关于轴对称，若，则线段的长为（） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 数据：2，2，5，4，8的众数是___________． 12. 计算______． 13. 将直线沿轴向下平移6个单位后得到直线，则直线与轴的交点坐标是___________ 14. 我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 15. 如图，在中，为边上的一点．，分别平分．若，则的长为___________． 16. 在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，四边形是平行四边形，，，求证：． 19. 如图，在四边形中，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 20. 为了解学生的课外阅读情况，某校随机调查了a名学生阅读课外书册数的情况，并根据统计的结果，绘制出如下不完整的扇形统计图和条形统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：值为___________，所调查的学生阅读课外书册数的中位数是___________； （2）补全条形统计图； （3）求所调查的这组学生阅读课外书册数的平均数； 21. 如图，在▱中于点． （1）尺规作图：作边中点，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知，若点是对角线的交点，连接，求的长． 22. 某校计划购买两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元． （1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A．B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 23. 如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． （1）当________________秒时，点到达点处； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 24. 如图，四边形为矩形，且点的坐标为，点为轴负半轴上一定点，点为轴负半轴上一点，且．点为边上一动点（点不与点重合），过点作直线，直线分别交轴，轴于点，连接交轴于点． （1）求点的坐标； （2）连接，若的最小值为10，求直线的解析式； （3）设，当点在边上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的最大值． 25. 如图，点为正方形的边上一动点（点不与点重合），将沿对折得到，延长交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）连接，若，求线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末诊断性调研 八年级数学学科 本调研卷共6页，25小题，满分120分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数必须非负，从而得不等式，求解不等式即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，需满足被开方数； 解此不等式得，对应选项C； 选项A未考虑2025的具体值，选项B漏掉了等号，选项D不等号方向错误，均不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉定理内容是解题关键；直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：； 故选：A． 3. 广州市农科院对糯米糍、桂味两个品种荔枝用相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 糯米糍比桂味的产量稳定 B. 桂味比糯米糍的产量稳定 C. 糯米糕、桂味的产量一样稳定 D. 无法确定哪一品种的产量更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义：方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．比较两个品种的方差即可得出结论． 【详解】解：糯米糍的方差为，桂味的方差为． 因为，所以桂味的产量波动更小，更稳定． 因此，桂味比糯米糍的产量稳定， 故选：B． 4. 如图，菱形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角相等，对角线平分一组对角． 根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形 中， ， ， 故选：A． 5. 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，先证明是等边三角形，求解，可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． 故选：D 6. 一次函数的图象上有两点和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握此性质是解题的关键；根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小；通过比较两点横坐标的大小关系，结合函数的增减性即可判断和的大小． 【详解】解：因为一次函数为，其一次项系数， 因此y随x的增大而减小； 因为两点横坐标分别为和，且，第二个点的x值更大； 因为函数中y随x的增大而减小，当x增大时，y值会减小， 因此，当x从增加到时，对应的y值从减小到，即； 无论取何值，只要一次项系数为负数，上述关系恒成立； 故选A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 逐一分析各选项的运算是否正确，利用平方根的性质和运算法则进行判断． 【详解】解：A． 和不能合并，故A错误． B． 根据根式除法法则，，故B错误． C．平方根的结果非负，，故C错误． D． 化简，则，等式成立，故D正确． 故选：D． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是关键；由图象知，且，解不等式组即可求解． 【详解】解：由图象知，函数图象从左往右是上升的，即；且图象与y轴交点位于y轴负半轴上，即， ∴， 解得：， 故选：D． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 已知，要求的值．通过平方已知等式，结合代数恒等式，推导出的取值． 详解】解：将已知等式两边平方：展开左边得：， 解得：， 设，则其平方为：， 代入得：，解得：， 因此，的值为， 故选：C． 10. 如图，在中，，，点为边上一点且，与关于轴对称，若，则线段的长为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至点M，使，连接，过点D作于点F，先证明是的垂直平分线，则，继而证明四边形是矩形，可推导出，再证明，可得，由勾股定理，求出，即可解答． 【详解】解：延长至点M，使，连接，过点D作于点F， 如图，有， 由轴对称，得 ∴， ， 即是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 数据：2，2，5，4，8的众数是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义．直接根据众数的定义作答即可． 【详解】解：2出现了2次，出现次数最多， ∴数据：2，2，5，4，8的众数是2， 故答案为：2． 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 将直线沿轴向下平移6个单位后得到直线，则直线与轴的交点坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“上加下减”的原则求出平移后新直线的解析式，再把代入所得的解析式解答即可． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移6个单位后，得到， 把代入得，， 所以该直线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 14. 我国是最早发现勾股定理国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，为边上的一点．，分别平分．若，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是关键． 根据平行四边形的性质，运用勾股定理得到，如图所示，过点作交于点，得到四边形，四边形都是平行四边形，可证，得，同理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理，，得， 在平行四边形中，， ∴， 故答案为：5 ． 16. 在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系、求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由表格结合直线的表达式即可判断①；先用a表示出m、n，然后判断的正负即可；③根据一次函数解析式判断③即可；先求得直线L过定点，然后根据两点之间垂线段最短以及两点间距离求解即可判定④． 【详解】解：由表格以及函数解析式可得：当时，，所以方程的解为，故①正确； 由题意可得：，解得：， ∵， ∴，不一定大于零， ∴不一定成立，即②错误； 若对于任意，总有，即的图象始终在的图象上方， ∴这两条直线平行， ∴， ∴，解得：， ∴，即③正确； ∵， ∴两式相加可得：， ∴，， ∴， 令，解得：， ∴直线l过定点， 根据垂线段最短，的最大值为原点O到定点的距离，即 ， ∴的最大值为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法和加法运算，先根据二次根式的性质和乘法运算法则计算，再加法运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，四边形是平行四边形，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，灵活运用平行四边形的判定与性质定理成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到，再结合易证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】四边形是平行四边形， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ． 19. 如图，在四边形中，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）11 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、求直角三角形面积等知识点．勾股定理用于直角三角形中求边长，勾股定理的逆定理用于判断三角形是否为直角三角形，注意要先判定直角三角形，进而计算四边形面积． （1）知道两直角边长运用勾股定理，即可求出斜边长度； （2）先运用勾股定理的逆定理判定形状，再分别求直角与面积，两个三角形面积之和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中， ． 的长是5． 【小问2详解】 （2）， 又， ． ， ． ， ． 四边形的面积． 四边形的面积是11． 20. 为了解学生的课外阅读情况，某校随机调查了a名学生阅读课外书册数的情况，并根据统计的结果，绘制出如下不完整的扇形统计图和条形统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为___________，所调查的学生阅读课外书册数的中位数是___________； （2）补全条形统计图； （3）求所调查的这组学生阅读课外书册数的平均数； 【答案】（1）25，6 （2）见解析 （3）这组学生阅读课外书册数的数据的平均数是6册 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图综合． （1）用4册人数除以百分比即可求出的值，根据中位数的定义求解即可； （2）先求出学生阅读课外书册数为5册的人数，再补全条形统计图； （3）根据平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图与条形统计图的信息可知： ， 这组学生阅读课外书册数的数据的中位数第13个数，是6册， 故答案为：25，6册 【小问2详解】 学生阅读课外书册数为5册的人数有：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 根据平均数的定义可得： （册）， ∴这组学生阅读课外书册数的数据的平均数是6册． 21. 如图，在▱中于点． （1）尺规作图：作边中点，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知，若点是对角线的交点，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （2）由点是对角线的交点可得点O为的中点，，则，为直角斜边上的中线，为的中位线，可得，，则，，进而可得． 【小问1详解】 如图，作线段的垂直平分线，交于点E，连接， 则点E即为所求． 【小问2详解】 ∵点是对角线的交点， ∴点O为的中点，． ∵， ∴． ∵点E为的中点， ∴为直角斜边上的中线，为的中位线， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 某校计划购买两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元． （1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A．B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 【答案】（1）A型机器人模型和型机器人模型的单价分别为5万元和3万元 （2）该校购买两种型号机器人所需费用最多为93万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数解析式成为解题的关键．（1）设A型机器人模型和型机器人模型的单价分别为万元和万元．先根据题意找准等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型机器人台，由题意得：，解得：，即；再根据题意列出一次函数及诶小时求解即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型和型机器人模型的单价分别为万元和万元． 由题意得，，解得∶． 答：型机器人模型和型机器人模型的单价分别为5万元和3万元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人台， 由题意得：，解得：， 为整数 设该校购买两种型号机器人所需费用为万元， 由题意得，． ， ∴随着得增大而增大． 当时，有最大值，最大值． 答：该校购买两种型号机器人所需费用最多为93万元． 23. 如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． （1）当________________秒时，点到达点处； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题、菱形的性质、含30度直角三角形的性质、函数图象与不等式等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． （1）先根据菱形的性质求得，再根据速度、路程、时间的关系即可解答； （2）分点P在上和上两种情况、分别根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、三角形面积公式求解即可； （3）先根据（2）得到的函数解析式画出函数图象，然后根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵菱形，， ∴， ∴， ∴点到达点处时，． 【小问2详解】 解：①当点P上时，即时， 如图：分别过D、E作，则， ∵在菱形中，． ∴，即， ∴， ∴的面积为，即； ②当点P在上时，即时， 如图：分别过E作，则 ∵在菱形中，，点为边的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴的面积为，即。 综上，关于的函数解析式为． 【小问3详解】 解：根据，画出函数图象如下： 由函数图象可得：的面积不大于2时自变量的取值范围为且． 24. 如图，四边形为矩形，且点的坐标为，点为轴负半轴上一定点，点为轴负半轴上一点，且．点为边上一动点（点不与点重合），过点作直线，直线分别交轴，轴于点，连接交轴于点． （1）求点的坐标； （2）连接，若的最小值为10，求直线的解析式； （3）设，当点在边上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的最大值． 【答案】（1）点的坐标为 （2） （3）点在运动过程中，S的值始终不变，值为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． （1）先求出C点坐标，再由求出E点坐标即可； （2）如图：作点A关于的对称点，连接，，当共线时取等号，的最小值为10，即，进而求出D点坐标，然后运用待定系数法求解即可； （3）设，由，求出，由，求出，然后代入计算即可解答． 【小问1详解】 解：为矩形，点， 点， 又∵， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图：作点A关于的对称点，连接，， ， ， 当共线时取等号， 又∵的最小值为10， ， 又∵点， 点，即， 在中，， ∴，解得：， ∴， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 又由（1）知 ，解得∶， 的解析式为． 【小问3详解】 解：定值为， 设， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴,,即, ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 25. 如图，点为正方形的边上一动点（点不与点重合），将沿对折得到，延长交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）连接，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由折叠的性质以及正方形的性质证明即可证明结论； （2）设，则、，设，由（1）知 易得，，再根据勾股定理可得、进而得到，然后代入化简即可解答； （3）如图：延长到使得，连接，先证明可得、，易得，运用勾股定理可得；设，则，，易得；设，则，根据勾股定理列方程可得，则，进而得到；设，易得，解得，即、；设，则、、，最后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由翻折得到， ， 又∵为正方形， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：设，则， ， 设，由（1）知 ，， 在中，， ，化简得， ． 【小问3详解】 解：如图：延长到使得，连接， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ，解得， ∴ 设，则， ， ， ，解得， ， 设，则 又∵ ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $