精品解析：河南省郑州市登封市 2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年下学期期末学情调研 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2025年4月24日17时17分，中国航天事业再创辉煌——神舟二十号载人飞船于酒泉卫星发射中心成功升空．下列四个航天图标是中心对称图形的是（ ） A. 中国火箭 B. 中国探火 C. 航天神舟 D. 中国行星探测 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，逐一分析即可． 【详解】解：已知， A：：不等式两边同乘正数3，不等号方向不变，故一定成立； B：：不等式两边同减3，不等号方向不变，故一定成立； C：：原不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边再减1，得，故一定成立； D：：若为正数，为负数（如，），则成立，但，不成立； 故选：D． 3. 下列等式由左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义及公式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、右边为，包含减法运算，不是乘积形式，故不是因式分解，不符合题意； 、左边为乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法，而非因式分解，不符合题意； 、左边为单项式，分解为两个单项式的乘积，但因式分解对象应为多项式，不符合题意； 、左边为二次三项式，右边为，即两个相同二项式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：． 4. 如图，E是平行四边形内任一点，若阴影部分的面积为6，则平行四边形的面积是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积． 过E作，延长交于N，由平行四边形的性质推出，，得到，由三角形的面积公式得到的面积的面积，于是的面积． 【详解】解：过E作，延长交于N， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积， ∴的面积． 故选：B． 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等边对等角，线段垂直平分线的性质． 6. 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明：三角形中至少有一个角不小于，先要假设（ ） A. 三角形中每一个角都小于 B. 三角形中有一个角大于 C. 三角形中至少有一个角大于 D. 三角形中有一个角小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反证法的应用，由原命题为“三角形中至少有一个角不小于”，其先要假设三角形中每一个角都小于，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：三角形中至少有一个角不小于，先要假设三角形中每一个角都小于， 故选：． 7. 如图，将线段平移至，则的值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，得出A，C两点纵坐标差等于B，D两点的纵坐标差，据此可解决问题． 【详解】解：因为线段由线段平移得到， 所以，， 所以． 故选：B． 8. 某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．利用小辉的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小辉的得分超过170分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 9. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程有增根求参数． 分式方程有增根时，增根为使分母为零的x值．将分式方程转化为整式方程后，代入增根解出参数a即可． 【详解】解：原方程可合并为：， 两边同乘得整式方程： 展开并整理得： 即 ∵分式方程有增根 ∴分式方程的增根为， 将其代入整式方程： 解得： 故选A． 10. 如图，在中，，，平分交于点，于点．下列结论：；；；．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出，根据平分得，进而得，由此得，据此可对结论进行判断；过点作于点，证明和全等得，再根据，得，则，由此得，据此可对结论进行判断；根据三角形外角性质得，再根据得，由此可对结论进行判断；在中，根据得，再根据和全等得，然后根据，得，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案；熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论正确； 过点作于点，如图所示， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论正确； ∵是的外角，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴，故结论正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故结论不正确； 综上所述：结论正确的序号有， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴实数的取值范围是， ∴， 故答案为：． 12. 如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和公式：，解题的关键是熟练掌握此公式．根据多边形内角和公式直接计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分，且，，若E为边的中点，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，三角形全等的性质与判定，三角形的中位线定理等，熟练掌握相关知识点，并作出合适的辅助线是解题的关键； 延长交于F，证明，得，再利用三角形的中位线定理求解． 详解】延长交于F， ，， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， 为的中点，， 为的中位线， ． 故答案为：． 14. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据交点的横坐标为，结合函数图象可得当时，直线在直线上方，即可求解． 【详解】解：函数和图象交于点，观察图象可知，当时，直线在直线上方，关于x的不等式的解集为 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点E是边上一动点（足够长），将沿直线折叠得到，直线与直线相交于点M，当为直角时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，30度角的直角三角形，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．先理解题意，进行分类讨论，点在的上方时或点在的下方时，结合作图，先运用30度角的直角三角形的性质得，再运用勾股定理得，根据折叠性质得，，分别列式计算，即可作答． 【详解】解： 点在的上方时，如图所示： ∵，，为直角， ∴， 在中，， ∵将沿直线折叠得到， ∴，， ∴， 设， 即，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得； 点在的下方时，如图所示： ∵，，为直角， ∴， 在中，， ∵将沿直线折叠得到， ∴，， ∴， 设， 即，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上：当为直角时，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式组，并写出满足条件的整数解． 【答案】，整数解为，，，，0 【解析】 【分析】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是正确解出每一个不等式．分别解出各不等式的解集，再找到其公共解集，求出所有整数解． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组的解集为， 原不等式组整数解为，，，，0． 17. 下面是学完分式化简后的小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务： （1）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； （2）写出正确的化简过程； （3）请从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）三；括号前是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了分式的运算——化简求值，去括号，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据去括号法则即可求解； （）先算括号内的异分母分式减法，然后算分式除法即可； （）根据分式有意义的条件得出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：三，括号前是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵且且， ∴x可以取， 原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）若和关于原点O成中心对称，请画出； （2）将平移，使得顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，此时点A对应的坐标为________，点B对应的坐标为________，点C对应的坐标为________； （3）若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，且点D在坐标轴上，则点D的坐标是________． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、中心对称的变化规律，平行四边形的性质， 熟练掌握图形变化及变化过程中点的坐标变化，分类讨论是解题的关键； （1）找出三个顶点关于原点成中心对称的对应点，连接即可； （2）根据题意，先确定的平移方式，再确定平移后的三点的坐标； （3）设，若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，则分别以，，为对角线进行求解， 再根据求得的点坐标是否在坐标轴上做出判断，综合可得结果． 【小问1详解】 如图，即为所求： 【小问2详解】 将先向左平移1个单位，可使顶点A落在y轴上，再向下平移1个单位，可使顶点B落在x轴上， 此时点A对应的坐标为，点B对应的坐标为，点C对应的坐标为； 故答案为：，，． 【小问3详解】 设，若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形， 当为对角线时， 由，解得， 点符合题意； 当为对角线时， 由，解得， 点不在坐标轴上，不符合题意，舍去； 当为对角线时， 由，解得， 点不在坐标轴上，不符合题意，舍去； 综上可知，点D的坐标是． 故答案为：． 19. 如图，在中，，点D在的延长线上，且，点F为的中点，连接并延长，交于点G． （1）求证：平分； （2）若，，，求周长． 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定（）及性质，以及三角形周长的计算．解题的关键是熟练运用平行线的性质得到角的等量关系，利用等腰三角形性质推导角的相等关系，通过全等三角形的判定定理（）证明三角形全等，再借助全等三角形的性质求解线段长度，进而计算三角形的周长． （1）利用平行线与等腰三角形的性质即可证得； （2）利用ASA公式即可判定，于是可求得的长，则可知的长，于是可求三角形的周长． 【小问1详解】 证明， ，． ， ， ， 平分． 【小问2详解】 解： 由点F是的中点知． 在和中，， ， ， ， ， ．又， 的周长为． 20. 某非遗文化公司主营景泰蓝和钧瓷两类工艺品．已知每件景泰蓝的生产成本比每件钧瓷的生产成本高元，景泰蓝的销售单价为元，钧瓷的销售单价为元．公司用元生产钧瓷的数量是用相同成本生产景泰蓝数量的倍． （1）求每件景泰蓝和钧瓷的生产成本各为多少元； （2）为弘扬传统文化，公司计划在非遗博览会上销售这两类工艺品共件，且钧瓷的销量不少于景泰蓝的倍．如何安排两类产品的销售量才能使总利润最大？ 【答案】（1）每件景泰蓝的生产成本为元，每件钧瓷的生产成本为元 （2）当钧瓷的销量为件，景泰蓝的销量为件时，总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用； （1）设钧瓷的生产成本为元件，则景泰蓝的生产成本为元件，利用数量总价单价，结合公司用元生产钧瓷的数量是用相同成本生产景泰蓝数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即钧瓷的生产成本，再将其代入中，即可求出景泰蓝的生产成本； （2）设钧瓷的销量为件，则景泰蓝的销量为件，根据钧瓷的销量不少于景泰蓝的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设两类产品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件景泰蓝的销量利润景泰蓝的销量数量每件钧瓷的销量利润钧瓷的销量数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设钧瓷的生产成本为元件，则景泰蓝的生产成本为元/件． ， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每件景泰蓝的生产成本为元，每件钧瓷的生产成本为元． 【小问2详解】 设钧瓷的销量为件，则景泰蓝的销量为件， 则有：， 解得． 设总利润为，则． ， 随着的减小而增大， 由于销量为整数， 当时，有最大值，（件）． 当钧瓷的销量为件，景泰蓝的销量为件时，总利润最大． 21. 如图，在中，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F； （2）在（1）所作的图形中，连接，，求证：四边形是平行四边形； （3）点M，N分别为射线，上的动点（不与O重合），连接，，，．若四边形为平行四边形，则，满足的数量关系是________． 【答案】（1）见详解 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． （2）根据线段垂直平分线的性质得到．根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得．根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （3）如图，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 证明：垂直平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又 ∵，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：， 理由：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 即， 故答案为：， 【点睛】本题考查了作图－基本作图，垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 22. “弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． （1）分解因式：； （2）已知：，．求的值； （3）若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）为等边三角形．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，平方差公式，完全平方公式，等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． （1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）根据，推导出，进而可得，则，由此可判断． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 当，时， 原式． 【小问3详解】 解：为等边三角形． 理由如下： ， ， ． ，b，c是的三边， ∴ ， 是等边三角形． 23. 在学习《图形的平移与旋转》时，小明同学对一类旋转问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一系列的探究． （1）【特例探究】如图1，在等边三角形中，点边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为________； （2）【类比探究】如图2，在中，，点是边上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，求的度数； （3）【拓展提升】在（2）的条件下，若时，则的长为________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角的性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）证即可得解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到； （3）根据勾股定理得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， 绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期期末学情调研 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2025年4月24日17时17分，中国航天事业再创辉煌——神舟二十号载人飞船于酒泉卫星发射中心成功升空．下列四个航天图标是中心对称图形的是（ ） A. 中国火箭 B. 中国探火 C. 航天神舟 D. 中国行星探测 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式由左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，E是平行四边形内任一点，若阴影部分的面积为6，则平行四边形的面积是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明：三角形中至少有一个角不小于，先要假设（ ） A. 三角形中每一个角都小于 B. 三角形中有一个角大于 C 三角形中至少有一个角大于 D. 三角形中有一个角小于 7. 如图，将线段平移至，则的值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 8. 某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，，平分交于点，于点．下列结论：；；；．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 13. 如图，在中，，，平分，且，，若E为边的中点，则的长度为________． 14. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为________． 15. 如图，在中，，，点E是边上一动点（足够长），将沿直线折叠得到，直线与直线相交于点M，当为直角时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式组，并写出满足条件的整数解． 17. 下面是学完分式化简后的小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务： （1）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； （2）写出正确的化简过程； （3）请从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）若和关于原点O成中心对称，请画出； （2）将平移，使得顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，此时点A对应的坐标为________，点B对应的坐标为________，点C对应的坐标为________； （3）若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，且点D在坐标轴上，则点D的坐标是________． 19. 如图，在中，，点D在的延长线上，且，点F为的中点，连接并延长，交于点G． （1）求证：平分； （2）若，，，求的周长． 20. 某非遗文化公司主营景泰蓝和钧瓷两类工艺品．已知每件景泰蓝生产成本比每件钧瓷的生产成本高元，景泰蓝的销售单价为元，钧瓷的销售单价为元．公司用元生产钧瓷的数量是用相同成本生产景泰蓝数量的倍． （1）求每件景泰蓝和钧瓷生产成本各为多少元； （2）为弘扬传统文化，公司计划在非遗博览会上销售这两类工艺品共件，且钧瓷的销量不少于景泰蓝的倍．如何安排两类产品的销售量才能使总利润最大？ 21. 如图，在中，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F； （2）在（1）所作的图形中，连接，，求证：四边形是平行四边形； （3）点M，N分别为射线，上的动点（不与O重合），连接，，，．若四边形为平行四边形，则，满足的数量关系是________． 22. “弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． （1）分解因式：； （2）已知：，．求值； （3）若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 23. 在学习《图形平移与旋转》时，小明同学对一类旋转问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一系列的探究． （1）【特例探究】如图1，在等边三角形中，点边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为________； （2）【类比探究】如图2，在中，，点是边上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，求的度数； （3）【拓展提升】在（2）的条件下，若时，则的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$