精品解析：江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级试卷数学 （2025．6） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是6的概率是 B. 事件“当时，一定大于等于零”是确定事件 C. 天气预报说明天下雨的概率为，则明天一定会下雨 D. 了解一批灯使用寿命，适合采用抽样调查的方式 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 4. 若反比例函数经过点，则该函数必过点（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 6. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（ ） A. ②①③ B. ③①② C. ②③① D. ③②① 7. 已知点和点在反比例函数的图像上，则当时，和满足的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数的图像经过平行四边形的顶点在轴上，点的坐标为，平行四边形的面积为6，则的值为（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若分式有意义，则的满足的条件为______． 12. ______． 13. 在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 14. 如图，在平行四边形中，平分，，，则______． 15. 如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则______ 16. 如图，在锐角中，，分别以和为边向外作等边和等边、分别为和的中点．当时，______． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 化简： （1） （2） 19. 解方程： 20. 为了进一步丰富学生的课外阅读，学校欲增购一些课外书，为此抽取学校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供信息，完成下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是_______； （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，最喜欢“科普”类书籍所占的圆心角度数为______°； （4）如果全校共有学生1600人，请估计该校最喜欢“体育”类书籍的学生人数． 21. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则______． 22. 下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： （1）解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 （2）请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于点和点，连接、． （1）求的值； （2）关于x的不等式的解集为 ； （3）的面积为 ； （4）点P为直线上方的反比函数图象上的一点，若，则点P的坐标为 ；． 24. 【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 25. 数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： （1）______； （2）______； （3）若，求的值； （4）当时，则的最大值为______． 26. 综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级试卷数学 （2025．6） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是6的概率是 B. 事件“当时，一定大于等于零”是确定事件 C. 天气预报说明天下雨的概率为，则明天一定会下雨 D. 了解一批灯的使用寿命，适合采用抽样调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念、确定事件的定义以及调查方式的选择，逐一分析各选项的正确性． 【详解】选项A：正六面体骰子共有6个面，每个面出现的概率均等，点数为6的概率为，正确． 选项B：当时，的算术平方根定义即为非负数，因此必然成立，属于确定事件（必然事件），正确． 选项C：概率为表示下雨的可能性很大，但概率未达到，不能保证“一定”下雨，错误． 选项D：灯寿命测试具有破坏性，全面调查会导致所有灯损坏，因此适合抽样调查，正确． 故选：C． 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式的化简与运算，涉及分式约分、符号处理、算术平方根性质及二次根式运算．根据分式约分、算术平方根性质及二次根式运算法则逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A正确． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：，故D错误． 故选：A． 4. 若反比例函数经过点，则该函数必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．根据反比例函数的图象经过点可求出，再逐一验证坐标是否符合该解析式即可得解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得 反比例函数为， 满足，而，，都不满足， 图象必经过点． 故选：B． 5. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，先证是等边三角形，推出，再结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 6. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（ ） A ②①③ B. ③①② C. ②③① D. ③②① 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【详解】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 7. 已知点和点在反比例函数的图像上，则当时，和满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，结合的条件，分析在每个象限内，随着的增大而增大，进而比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ， 点和点在第二象限内且函数值都大于， ， 故选：B． 8. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式， 根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解． 【详解】∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：C． 9. 某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 10. 如图，函数的图像经过平行四边形的顶点在轴上，点的坐标为，平行四边形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵点的坐标为， ∴，， ∵平行四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将代入得， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若分式有意义，则的满足的条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法，先将化为最简二次根式，再合并即可． 【详解】解：． 故答案： 13. 在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 设盒子中大约有白球x个，根据黑球有8个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为，据此列方程解题即可． 【详解】解：设盒子中大约有白球x个，根据题意得： 解得: 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，平分，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由得． 【详解】解：反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点， ， ， ， 故答案为：6． 16. 如图，在锐角中，，分别以和为边向外作等边和等边、分别为和的中点．当时，______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，等边三角形的性质，连接，根据等边三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵等边和等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵F、G分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式将括号展开，将其余二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）按照二次根式乘除运算法则将各项化简，再合并同类二次根式即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母的分式相减法则进行计算，即可作答． （2）先通分，再根据同分母的分式相加法则进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．首先找出最简公分母，方程两边同时乘以，进而去分母，再去括号，移项，未知数系数化为1，求出方程的根即可，最后注意检验方程的根． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 整理得：， 则， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 20. 为了进一步丰富学生的课外阅读，学校欲增购一些课外书，为此抽取学校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是_______； （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，最喜欢“科普”类书籍所占的圆心角度数为______°； （4）如果全校共有学生1600人，请估计该校最喜欢“体育”类书籍的学生人数． 【答案】（1）200 （2）见解析 （3） （4）240人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，正确计算样本容量是解题的关键． （1）根据样本容量频数所占百分数，计算解答． （2）利用频数之和等于样本容量，根据计算补图即可． （3）利用圆心角计算公式计算即可． （4）利用总人数乘以最喜欢“体育”类书籍的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：∵（人）， 故答案为：200． 【小问2详解】 解：根据题意，科普类的人数，得（人）， 补图如下： 【小问3详解】 解：根据题意，得． 故答案为：90． 【小问4详解】 解：根据题意，得（人）， 答：全校喜欢“科普”的学生有240人． 21. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 22. 下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： （1）解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 （2）请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 【答案】（1）A，C （2）小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，理解题意是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择一个方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间，可得：解法一所列方程中的表示小明每小时做朵，由小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数可得： 解法二所列方程中的表示小明做了小时； 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于点和点，连接、． （1）求的值； （2）关于x的不等式的解集为 ； （3）面积为 ； （4）点P为直线上方的反比函数图象上的一点，若，则点P的坐标为 ；． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可； （2）先求出点A的坐标，再利用数形结合直接写出不等式的解集即可； （3）先求出直线的解析式得到点C坐标，利用代入数据计算即可； （4）根据题意实际就是求直线与反比例函数的交点坐标，联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图像相交于点和点， ∴， ∴； 小问2详解】 解：由（1）可知， ∴点和点 由图象可知，关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图，直线交y轴于点C， 设直线的解析式为 依题意把点，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 记直线与轴的交点为点， 令，则， ∴ 即， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵点P为直线上方的反比函数图象上的一点，且， 即就是求出直线与反比例函数的交点坐标， 联立方程组得：， ∴， ∴或， 经检验或是原分式方程的解， 解得，或， ∴或， 故答案为：或 24. 【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）2， （2）7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的理解与应用，以及代数式的化简分母有理化的运用． （1）找到最接近7的平方数，确定的范围即可知道整数部分和小数部分； （2）分别确定的小数部分和的整数部分，然后代入式子即可； （3）先确定的范围，再同时加4即可得出的整数部分和小数部分，代入代数式，最后进行化简即可． 【详解】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， 故答案为：2，； （2）∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， ∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：7； （3）∵， ∴， ∴的整数分是6，小数部分， ∵，其中x是整数且， ∴，， ∴． 25. 数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： （1）______； （2）______； （3）若，求的值； （4）当时，则的最大值为______． 【答案】（1） （2） （3）2 （4）4 【解析】 【分析】本题考查新定义，分式的运算，解一元一次方程，解题的关键是得到的结果以，5个为一组进行循环； （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的取值范围求出最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 ∵， ，， ∴， ∴， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； 【小问4详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，最小， 此时最大为； 故答案为：4． 26. 综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 【答案】（1）（2）①；②见解析；（3）；（4）． 【解析】 【分析】（1）可得，由折叠知，得； （2）①由中点定义得,由折叠知，得，由，得，解得；②可得，得，可得，得,得四边形是平行四边形，由，得是菱形； （3）由折叠知，，可得，，得，得，由，得，可得，即得; （4）由，得，可得，得,设，得，由，得，解得，即得． 【详解】解（1）∵点落在线段上，且， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，点恰好为的中点， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； ②当时，∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （3）由折叠知，， ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵矩形中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，菱形判定，勾股定理，为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$