辽宁省大连市西岗区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市西岗区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列各函数中，是的正比例函数的是(    ) A. B. C. D. 4.已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 不能确定 5.反比例函数的图象一定经过的点是(    ) A. B. C. D. 6.下列关于矩形叙述正确的是(    ) A. 对角线相等且互相垂直 B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 对角线相等且互相平分的四边形 D. 矩形的对角线平分一组对角 7.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8.一件商品的成本是元，经过两次技术革新后成本为元，如果每次成本降低的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是(    ) A. B. C. D. 9.如图是一次函数的图象，当图象上的点在第一象限内时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.一元二次方程的解是______． 12.如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点若四边形的面积为，则的值是______． 13.如图，平行四边形的顶点、在轴上，顶点在轴正半轴上，，，点的坐标，则点的坐标为______． 14.在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程______． 15.如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点，若，则此时容器的最高点到桌面的高度为______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：． 17.本小题分 解下列方程： ； 用配方法解：． 18.本小题分 如图，▱中，是的中点，是等边三角形求证：四边形是矩形． 19.本小题分 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶减速时间忽略不计，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为千米时汽车在区间测速路段行驶的路程千米与在此路段行驶的时间时之间的函数图象如图所示． 的值为______； 当时，求与之间的函数关系式； 通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速此路段要求小型汽车行驶速度不得超过千米时 20.本小题分 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，三角点阵中前行的点数之和为． 探索：三角点阵中前行的点数之和为______，前行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______． 体验：三角点阵中前行的点数之和______填“能”或“不能”为． 运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用盆同样规格的花，按照第一排盆，第二排盆，第三排盆，，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 21.本小题分 已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接． 求双曲线的函数关系式； 双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______； 四边形的面积为______直接填答案． 22.本小题分 【操作发现】如图，某数学小组在折叠矩形过程中，发现：当点与点重合时，折痕与、边交于、两点，四边形可能是特殊的平行四边形，请判断四边形的形状并给出证明； 【拓展探究】如图，该小组在的操作后，若点的对称点为，连接，若，且，则的长为______； 【类比延伸】该数学小组将两个全等的等腰直角三角形直角边重合，拼成平行四边形后，按上述过程折叠平行四边形，点与点重合时，折痕与、边交于、两点，若原等腰直角三角形斜边长为，则折痕的长为______画出图形并直接写出答案 23.本小题分 定义：在平面直角坐标系中，对两点和，若，则称为、两点的“绝对距离”． 已知点，则 ______； 函数的图象上存在点，若，则点的坐标为______； 菱形顶点的坐标是，，，． 若点在菱形的边上且，求点的坐标； 已知点，且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于，则的取值范围是______． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 如果一个二次根式符合下列两个条件：、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么这个根式叫做最简二次根式． 【解答】 解：、原式，故A不符合题意． B、原式，故B符合题意． C、原式，故C不符合题意． D、原式，故D不符合题意． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：根据题意得，， 解得． 故选：． 根据被开方数大于等于列式进行计算即可得解． 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 3.【答案】  【解析】解：符合正比例函数的定义，它是正比例函数， ，，不符合正比例函数的定义，它们不是正比例函数， 故选：． 一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，据此进行判断即可． 本题考查正比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：， 随的增大而减小， 又点、都在一次函数的图象上，且， ． 故选：． 由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：反比例函数中， A、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； C、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、，此点在函数图象上，故本选项符合题意． 故选：． 根据对各选项进行逐一判断即可． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键． 6.【答案】  【解析】解：矩形的对角线相等，本选项错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项错误； C.对角线相等且互相平分的四边形，本选项正确； D.菱形的对角线平分一组对角，本选项错误． 故选：． 直接根据矩形性质逐一进行判断即可． 本题考查矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 7.【答案】  【解析】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 根据根的判别式即可求出答案． 本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 故选：． 如果每次成本降低的百分率都是，根据成本是元，表示出第一次成本降低后的价钱为元，然后再根据价钱为元，表示出第二次成本降低后的价钱为元，根据两次降价后的价钱为元，列出关于的方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 9.【答案】  【解析】解：观察函数图象，可知：当时，图象上的点在第一象限内． 故选：． 观察函数图象，可找出当图象上的点在第一象限内时的取值范围． 本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，利用数形结合解决实际问题是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：过作于． 由翻折变换可知，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 过作于由翻折变换可知，，，由四边形是矩形，推出，在中，由勾股定理得，求得，，所以，，因此，由勾股定理求出． 本题考查了矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 11.【答案】或  【解析】解：原方程可变形为：，解得，． 本题应对方程进行变形，提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为，这两式中至少有一式值为”来解题． 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12.【答案】  【解析】解：点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点． ， 反比例函数图象在第二、四象限， ． 故答案为：． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 13.【答案】  【解析】解：四边形为平行四边形， ， 点坐标为， ， 在中，由勾股定理得， 点的坐标为． 故答案为：． 根据平行四边形的性质得出，再根据勾股定理求出的长，由此即可求出点坐标． 本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理算出是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：设该班的学生有人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 设该班的学生有人，则每人送出件礼物，根据共有互赠纪念品件可列出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，根据礼物件数找出等量关系． 15.【答案】  【解析】解：如图，过点作桌面的平行线，交于，过点作于，过点作于， 则， 四边形为正方形， ，， ， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 容器的最高点到桌面的高度为：， 故答案为：． 过点作桌面的平行线，交于，过点作于，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，根据正弦的定义求出，得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、正方形的性质，熟记锐角三角函数的定义、正方形的性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：原式 ． 根据二次根式的运算及零指数幂运算法则计算即可． 题目考查了实数运算，掌握二次根式的运算及零指数幂运算是解题的关键． 17.【答案】，；   ，．  【解析】， ， 或， ，； ， ， ，即， ， ，． 根据因式分解法即可求出答案． 根据配方法即可求出答案． 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 18.【答案】证明：是等边三角形， ，， 又四边形是平行四边形， ， ，． 则，， 是的中点， ． 在与中， ， ≌， ． 又， ， 平行四边形是矩形．  【解析】欲证明平行四边形是矩形，只需证得该四边形的一个内角是度即可． 本题考查了矩形的判定．此题根据矩形的定义进行证明的：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 19.【答案】  【解析】解：由题意得，， 解得， 故答案为：； 设当时，与之间的函数关系式为，则： ， 解得， ； 当时，， 先匀速行驶小时的速度为：千米时， ， 这辆汽车减速前没有超速． 根据可得以平均时速为千米时行驶小时路程为千米，据此可得的值； 利用待定系数法解答即可； 求出先匀速行驶小时的速度即可判断． 本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键． 20.【答案】解：，，  不能 由题知， 前排盆景的总数可表示为， 令得， 解得，． 因为为正整数， 所以， 即一共能摆排．  【解析】解：由题知， 三角点阵中前行的点数之和为：； 三角点阵中前行的点数之和为：； 三角点阵中前行的点数之和为：； 三角点阵中前行的点数之和为：； ， 所以三角点阵中前行的点数之和为：． 当时， ， 即三角点阵中前行的点数之和为． 当时， ， 即三角点阵中前行的点数之和为． 故答案为：，，． 不能． 令得， 解得， 因为为正整数， 所以三角点阵中前行的点数之和不能为． 故答案为：不能． 见答案． 依次求出前为正整数行点数之和，发现规律即可解决问题． 根据中发现的规律即可解决问题． 根据中发现的规律即可解决问题． 本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前行点数之和的变化规律是解题的关键． 21.【答案】；   ；   ．  【解析】过作于，如图： 令，则，令，则， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ≌， ，， ， 在上， ， ， ； 由反比例函数图象性质可知，若还有交点，交点一定在上， ， 直线的解析式为：， 联立直线与双曲线解析式得， 解得：或， 另一个交点为：； 故答案为：； ， ， ． 故答案为：． 过作于，先求出，的坐标，然后根据三角形全等求出点坐标，代入双曲线解析式求解即可； 根据双曲线的性质可知，若有另一个交点则一定在上，求出直线的解析式，联立双曲线和直线的解析式求解另一个交点即可； 根据三角形面积公式，将四边形的面积等积变换为的面积，从而得解． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、全等三角形的判定与性质以及等积变换，熟练掌握根据坐标求三角形面积是本题解题的关键． 22.【答案】四边形菱形．证明见解析；  ；  画图见解析；折痕的长为．  【解析】四边形菱形． 证明：连接，与交于点，如图， 四边形是矩形， ， ， 折叠矩形，点与点重合， 垂直平分， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； 点的对称点为， ， 由知：四边形菱形， ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 将两个全等的等腰直角三角形直角边重合，拼成平行四边形后，按上述过程折叠平行四边形，点与点重合时，折痕与、边交于、两点，如图， 连接，与交于点， 由题意得：，为全等的等腰直角三角形，斜边长为， ，， 点与点重合时，折痕与、边交于、两点， 垂直平分， 四边形是平行四边形， ，， 经过点，即，． 连接，， 由知：四边形为菱形， ， 设，则， 过点作，交的延长线于点，则为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 通过证明≌，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； 利用折叠的性质，矩形与菱形的性质得到，则，利用相似三角形的判定与性质得到，则，即，再利用勾股定理求得，则结论可求； 由题意画出图形即可；利用等腰直角三角形的性质得到，，利用平行四边形的性质和折叠的性质得到，，经过点，即，；连接，，由知：四边形为菱形，则，设，则，过点作，交的延长线于点，则为等腰直角三角形，利用勾股定理列出方程求得值，再利用勾股定理解答即可得出结论． 本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键． 23.【答案】；   或；   ； 或．  【解析】，， ， 故答案为：； 设， 则， 当时，， 解得：舍去； 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：， ； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； 解法一： 由题意得：菱形的顶点为：，，，， 设直线的解析式为，则有， 解得：， ， 当点在边上时，设， ，即， 解得：，此时点与点重合，不符合题意，舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ，即， 解得：，此时点与点重合，不符合题意，舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ， ， 解得：舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ， ， 解得：， 综上可得； 解法二：，且， 由“绝对距离”定义可设点坐标为， 故E点在函数的图象上， 又点在菱形的边上， 故联立和直线的表达式， 可解得，此时， 故E； 由本题题意可知到点的“绝对距离”等于的点的轨迹为以为对角线的交点的正方形上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为的值． 且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于， 即上述正方形与菱形有且只有两个交点， 接下来开始寻找临界值，如图所示： 当正方形与线段有一个交点时，令直线的解析式中， 可得，此时； 当正方形的一个顶点在线段上时，令直线的解析式中， 可得，此时； 当点在正方形的边上时，令点所在的边的解析式为，代入点， 可得，故点所在的正方形边的解析式为， 令，则，此时； 当点在正方形的边上时，令点所在的边的解析式为，代入点， 可得，故点所在的正方形边的解析式为， 令，则，此时， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 根据定义直接求即可； 设，则，分类讨论求解绝对值方程即可得答案； 解法一：根据点可能在菱形的四条边上分四类具体讨论；解法二：由题意及“绝对距离”定义可设点坐标为，故E点在函数的图象上，又点在菱形的边上，故联立和直线的表达式求得的交点坐标即为点坐标； 由本题题意可知到点的“绝对距离”等于的点的轨迹为以为对角线的交点的正方形上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为的值．且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于，即上述正方形与菱形有且只有两个交点，再寻找临界值，最终综合起来确定的取值范围． 本题一道以新定义为背景的代几综合题，主要考查了一次函数的性质，菱形的性质，正方形的性质，计算题较大．最后一问难度也较大，要利用数形结合来把点转化为“公共点”的问题来解决，熟练掌握以上内容并灵活运用是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$