精品解析： 河南省许昌市长葛市2024-2025学年八年级下学期期末质量监测数学试卷

2024～2025学年下学期期末质量监测 八年级数学 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题中均有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置） 1. 用一个的值说明“”，这个值可以是（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列由线段、、组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 对于任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要使成为菱形，则可添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛应该选择(    ) 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 A. 甲 B. 乙   C. 丙   D. 丁 8. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，平分，交于点，连接，恰好平分，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①CN⊥BD； ②MN＝NP； ③四边形MNCP是菱形； ④ND平分∠PNM． 其中正确的有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（每小题3分，共15分，请将结果写在答题卡上对应位置） 11. 化简： ______． 12. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线解析式为______． 13. 在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 14. 在平面直角坐标系内，一次函数与（、均不为0）的图象如图所示，则关于，的方程组的解是______． 15. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是______；此时点的坐标为______． 三、解答题（8小题，共75分，请将解答过程写在答题卡上对应位置） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接、，求的面积． 18. 已知A、B两地相距4800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出y、y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 19. 为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）图①中m的值是 ； （2）本次调查获取样本数据的众数为 元，中位数为 元； （3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数． 20. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 21. 期中试题再回顾： 如图，四边形是正方形，点是的中点，连接． （1）过点作交于点，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； （2）求证：点是的中点； （3）连接，当时，______． 22. 端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍． （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？ （2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子的数量m（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？ 23. （1）【操作与探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，若，求证：，请将下面证明思路补充完整． ①添加辅助线：延长至点，使，连接，； ②先证明______可得到，再证明____________可得到，从而得到：； ③若，，求的长． （2）【迁移与应用】如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），，分别在，上，交于点，，若，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年下学期期末质量监测 八年级数学 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题中均有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置） 1. 用一个的值说明“”，这个值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式．根据可知要说明“”，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”，则， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2. 下列由线段、、组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决． 【详解】解：A、，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； B、，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； C、，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； D、，故选项D中三条线段不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质得到，再估算出的值即可解答． 【详解】解：，， 即， 的值应在4和5之间， 故选：B． 【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出的值是解题的关键． 4. 对于任意的实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断是否存在实数m使该表达式无意义，从而确定正确选项即可． 【详解】解：选项A： 被开方数为，需满足，即．当时，表达式无意义，故A不符合条件． 选项B： 被开方数为，需满足，即．当时，表达式无意义，故B不符合条件． 选项C： 被开方数为．由于，则，对任意实数均成立，故C一定有意义． 选项D： 被开方数为，需满足，即．当时，表达式无意义，故D不符合条件． 综上，只有选项C对任意实数均成立， 故选：C． 5. 如图，要使成为菱形，则可添加一个条件是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：当，则为菱形，故A符合要求； 当，则为矩形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则为矩形，故D不符合要求； 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得：，由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为正选项即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而增大， ∴， ．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； ．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意； ．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； ．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛应该选择(    ) 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 A. 甲 B. 乙   C. 丙   D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可． 【详解】∵=＞=， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2， ∴选择甲参赛； 故选A． 【点睛】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键． 8. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当时，的图像在图像的上方，据此即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：当时，，即不等式的解集为：． 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，平分，交于点，连接，恰好平分，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点C作于点F，证明出是等腰直角三角形，得到，勾股定理求出，然后得到，证明出是等腰直角三角形，得到，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点C作于点F ∵在矩形中， ∴，， ∵平分 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵恰好平分，， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①CN⊥BD； ②MN＝NP； ③四边形MNCP是菱形； ④ND平分∠PNM． 其中正确的有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN＝AB，由直角三角形的性质得NP＝CD，则MN＝NP，②正确；周长四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC， ∵AD＝AC， ∴OC＝BC， ∵N是OB的中点， ∴CN⊥BD，①正确； ∵M、N分别是OA、OB的中点， ∴MN是△AOB的中位线， ∴MN∥AB，MN＝AB， ∵CN⊥BD， ∴∠CND＝90°， ∵P是CD的中点， ∴NP＝CD＝PD＝PC， ∴MN＝NP，②正确； ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD， 又∵NP＝PC，MN＝NP， ∴MN＝PC， ∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误； ∵MN∥CD， ∴∠PDN＝∠MND， ∵NP＝PD， ∴∠PDN＝∠PND， ∴∠MND＝∠PND， ∴ND平分∠PNM，④正确； 正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分，请将结果写在答题卡上对应位置） 11. 化简： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简．给分子分母同乘以，将原分式进行分母有理化即可．熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线y=2x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=2x+2． 故答案为：y=2x+2． 【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 13. 在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义、方差的定义，先根据平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的定义求解即可判断． 【详解】解：由题意得，第一组数据的平均数为， ； ∵去掉一个最高分和一个最低分后第二组数据的平均数为， ， ， 故答案：． 14. 在平面直角坐标系内，一次函数与（、均不为0）的图象如图所示，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的方程组即的解是． 故答案为：． 15. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是______；此时点的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作点关于轴的垂线，可推出垂线的长度即为，则要使取最小值，点、、应在一条直线上，再结合含直角三角形特征、勾股定理即可得解． 【详解】解：作轴， 菱形中，， ， 中，， 则要使取最小值，点、、应在一条直线上， 作轴， 此时即为最小值， 点的坐标为， ， 则菱形中，， ， ， ，， 最小值为， ， ， 又， ， ． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、含直角三角形特征、垂线段最短、勾股定理，解题关键是结合含直角三角形特征找出的最小值． 三、解答题（8小题，共75分，请将解答过程写在答题卡上对应位置） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的乘除法的法则运算，再将各项化简为最简二次根式即可． （2）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 17. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接、，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点问题； （1）设函数解析式为，把经过的两个点的坐标代入得到关于、的二元一次方程组，求解得到、的值，即可得解； （2）设直线交轴于点，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 一次函数的图象经过点和点， ， 解得， 所以，这个函数的解析式为． 【小问2详解】 如图，设直线交轴于点， 当时， ∴ ∴， ∴ ． 18. 已知A、B两地相距4800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出y、y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 【答案】（1）y1=80x(0≤x≤60)，y2=-120x+7200(20≤x≤60)；（2）甲出发36分钟后两人相遇，相遇时乙离A地2880米． 【解析】 【分析】（1）根据题意利用函数图像信息进行分析计算即可； （2）由题意可知两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，以此建立方程求解，进而得出答案. 【详解】解：（1）由题意设甲步行时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米， 甲离A地的距离为y1=80x(0≤x≤60) 乙离A地的距离为y2=-120x+7200(20≤x≤60)． （2）由题意可知： 两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，即y1=y2， ∴80x=-120x+7200，解得x=36(分钟)． 当x=36时，y=80×36=2880(米)． 答：甲出发36分钟后两人相遇，相遇时乙离A地2880米． 【点睛】本题考查一次函数图象和一元一次方程的实际应用，读懂题意和一次函数图象信息是解题的关键. 19. 为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）图①中m的值是 ； （2）本次调查获取样本数据的众数为 元，中位数为 元； （3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数． 【答案】（1）32 （2）10，15 （3）864人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，用样本估计总体，是解题的关键． （1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数，再根据10元组人数求出其占比，即得； （2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元； （3）2400乘20元和30元总人数占比，即得． 【小问1详解】 解：∵（人）， ∴， ∴图①中的m值是32． 故答案为： 32． 【小问2详解】 ∵10元组16人，人数最多， ∴众数为10元， ∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且，， ∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组， ∴中位数15元． 故答案为：10，15． 【小问3详解】 （人）， 故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人 20. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 21. 期中试题再回顾： 如图，四边形是正方形，点是的中点，连接． （1）过点作交于点，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； （2）求证：点是的中点； （3）连接，当时，______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的尺规作法画图即可； （2）根据正方形的性质，得到，，进而用“”证到，再利用全等的性质，最终得证； （3）要求的长度，可构造直角三角形，利用勾股定理求长度，设，则，用两种不同的方法表示出的长度，列方程解出x，进而求出，的长度，最终利用勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形，点是的中点， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ， 点是的中点； 【小问3详解】 如图，连接，过点P作， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和二次根式的计算，综合性很强，熟练掌握它们并运算正确是关键． 22. 端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍． （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？ （2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子的数量m（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？ 【答案】（1）A种粽子单价为5元/个，则B种粽子单价为6元/个；（2）购进A种粽子1200个，购进B种粽子1000个，总费用最低，最低是12000元 【解析】 【分析】（1）设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，由“用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个”列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2200-m）个，先由题意得不等式5m≤6（2200-m），解得m≤1200，再由题意得y=-m+13200，然后由一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个， 根据题意，得：， 解得：x=5， 经检验，x=5是原方程的解， ∴1.2x=6； 答：A种粽子单价为5元/个，则B种粽子单价为6元/个； （2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2200-m）个， 依题意，得：5m≤6（2200-m）， 解得：m≤1200， 由题意得：y=5m+6（2200-m）=-m+13200， 当m=1200时，y最小=12000， 2200-1200=1000， 答：购进A种粽子1200个，购进B种粽子1000个，总费用最低，最低是12000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 23. （1）【操作与探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，若，求证：，请将下面的证明思路补充完整． ①添加辅助线：延长至点，使，连接，； ②先证明______可得到，再证明____________可得到，从而得到：； ③若，，求的长． （2）【迁移与应用】如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），，分别在，上，交于点，，若，，直接写出的值． 【答案】（1）①作图见解析；②；；；③；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意画图即可； ②先证明，再证明即可得出答案； ③设正方形边长为x，根据②中结论列方程求解即可； （2）作，连接，设，则，根据（1）中结论得出，根据勾股定理得出，求出，再分别求出的长即可． 【详解】解：①画图如图所示： ②证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③设正方形边长为x， ∵，， ∴， 由②得， 根据勾股定理得，， 解得， 正方形的边长． （2）作，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则， 根据解析（1）可得：， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题关键是根据正方形的性质证明三角形全等，利用勾股定理求出线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $