精品解析：安徽省黄山市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

黄山市2024-2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分： 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. {10，100} D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 4. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C D. 5. 设为椭圆和双曲线一个公共点，且在第四象限，是的左焦点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 从中任取3个数，使这3个数恰好成等比数列的不同取法有（ ）种. A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 8. 甲、乙两人各抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛掷3次，乙抛掷2次，且每次抛掷结果相互独立，则甲正面向上次数大于乙正面向上次数的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ ） A. B. C. 如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车 D. 如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车 10. 已知点和点是以原点为圆心，为半径的圆上的两个动点，圆心到直线的距离为，点为直线：上动点，则（ ） A. 面积为定值 B. 以为直径的圆可能与直线相交 C. 当直线与直线平行时，的最大值小于 D. 设直线l与两坐标轴分别交于，两点，则的最大值为 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，则下列说法正确的有（ ） A B. 直线被第一象限花瓣截得弦长的最大值为 C. 直线被第二象限花瓣截得弦长的最大值为 D. 阴影区域的面积小于8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从正态分布，且，若，则_______. 13. 不等式的解集是______. 14. 已知函数（且），存在三个极值点，，（），若是极小值点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样. （1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值； 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 阴性 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列的前项和为，满足，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，.求的前13项和. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间和极值. （2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） （1）求的方程； （2）若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； （3）已知，两点在曲线上，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 19. 设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. （1）当，时，求游戏成功的概率； （2）当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； （3）设，对于，取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄山市2024-2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分： 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，所以复数对应的点，即可得到答案. 【详解】由题意，复数，所以复数对应的点，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. {10，100} D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数函数不等式求出集合A，然后由交集运算可得. 【详解】， 又， 所以. 故选：B 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以也成等差数列，即成等差数列， 所以， 故选：C. 4. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及与的符号即可求解. 【详解】由题得函数的定义域为， 由题意得，所以函数是偶函数，可排除选项A； 由，可排除选项B； 由，可排除选项D. 故选：C 5. 设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第四象限，是的左焦点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得椭圆和双曲线的焦点重合，设其右焦点为，然后根据椭圆的定义和双曲线的定义列方程组可求得结果. 【详解】由题意得椭圆：焦点轴上，长轴长为4，短轴长为2，焦距为， 双曲线的焦点轴上，实轴长为，虚轴长为2，焦距为， 所以椭圆和双曲线的焦点重合，设其右焦点为， 因为为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第四象限，是的左焦点， 所以， 所以，得. 故选：A 6. 在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，最后结合线面角的向量求法求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 设正方体的棱长为，则，，，， 可得，，， 设面的法向量为， 得到，令，解得，故， 设直线与平面所成的角为， 故，故D正确. 故选：D 7. 从中任取3个数，使这3个数恰好成等比数列的不同取法有（ ）种. A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设成等比数列，则，根据等比中项得，根据的情况分类讨论即可. 【详解】不妨设成等比数列，则， 所以，即， 所以当时，只有1种情况； 当时，，则，共有2种情况； 当时，，则共有3种情况， 当时，，则共有4种情况， 当时，，则共4种情况， 当时，，则共3种情况， 当时，，则共2种情况， 当时，，则共1种情况， 根据分类加法计算原理共有种情况， 故选：B. 8. 甲、乙两人各抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛掷3次，乙抛掷2次，且每次抛掷结果相互独立，则甲正面向上次数大于乙正面向上次数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式求出甲和乙单独抛掷的概率，再结合互斥事件与独立事件的概率公式求解目标事件的概率即可. 【详解】设甲抛硬币正面向上次数为，乙抛硬币正面向上的次数为， 由题意得抛硬币一次得到正面向上的概率为，则，， 由二项分布概率公式得， ，，， ，，， 而每次抛掷结果相互独立，得到甲正面向上次数大于乙正面向上次数的情况如下， 当时，，概率为， 当时，或，概率为， 当时，或或，概率为， 且这三种情况互斥，由互斥事件概率公式得概率为，故A正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ ） A. B. C. 如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车 D. 如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，所以，故A正确； 对于B，的密度曲线矮胖，数据分散，的密度曲线瘦高，数据集中，所以，故B错误； 对于C，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，故C正确； 对于D，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知点和点是以原点为圆心，为半径的圆上的两个动点，圆心到直线的距离为，点为直线：上动点，则（ ） A. 面积为定值 B. 以为直径的圆可能与直线相交 C. 当直线与直线平行时，的最大值小于 D. 设直线l与两坐标轴分别交于，两点，则最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】用几何法求弦长，再求的面积，确定A的真假；根据点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，可判断B的真假；确定点的位置，且的最大值，判断C的真假；利用平面向量数量积的定义判断D的真假, 【详解】如图： 对A：取的中点为，由题意，且， 所以，所以. 所以，为定值.故A正确； 对B：以为直径的圆的半径为，又点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最小值为：，所以以为直径的圆与直线必相离，故B错误； 对C：如图： 当直线与直线平行时，，延长交与点，此时最小， 此时，在中，,， 所以，所以.故C正确； 对D：因为,，所以，当时取等号，故D错误. 故选：AC 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 直线被第一象限花瓣截得弦长的最大值为 C. 直线被第二象限花瓣截得弦长的最大值为 D. 阴影区域的面积小于8 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可求得逆时针旋转后的抛物线方程，联抛物线方程解出交点坐标，再结合对称性由两点间距离公式判断A；由题意得到直线截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断B；分别求出抛物线与抛物线斜率为的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；求出抛物线在点处的切线，求出三角形的面积，再结合对称性即可推理得到D正确. 【详解】对于A，开口向右的抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线，方程分别为、、， 由，解得或，则，由对称性可得， 所以，故A正确； 对于B，由得，所以， 由题意直线截第一象限花瓣弦长为，， 所以，令，则， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取到最大值为，故B错误； 对于C，设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合， 所以直线被第二象限花瓣截得弦长的最大值为，故C正确； 对于D，抛物线，求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点，因此， 所以四叶图的面积小于，故D正确.    故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从正态分布，且，若，则_______. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性，列方程即可求出参数. 【详解】易知正态分布曲线关于对称，且， 则，所以. 故答案为：0.5 13. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数（且），存在三个极值点，，（），若是极小值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求导，根据极值点的定义，将问题转化为函数求求交点，利用指数函数图象以及切线的概念，可得答案. 【详解】易得， 设，令，得或， 由，得， 则在同一坐标系中函数的图象和直线有两个不同的公共点. （1）当时，注意到，当时，直线是曲线的一条切线， 故，此时，如图（1），由图可知，且在附近左正右负， 左正右负，是极大值点，不符合题意； （2）当时，注意到，当时，直线是曲线的一条切线，故， 此时，，从而在0附近，左正右负，0是极大值点；如图（2）， 由图可知，，且在附近左负右正，左正右负，是极大值点； ，且在附近左正右负，左负右正，是极小值点；符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样. （1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值； 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 阴性 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析， （2）有关，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接填出列联表并计算出概率； （2）提出零假设，代入公式计算出的值，与参考值进行比较推断原假设是否成立，即可得出结论. 【小问1详解】 根据试验结果得列联表： 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 90 5 95 阴性 10 95 105 合计 100 100 200 检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，所以的估计值为. 【小问2详解】 零假设为：某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病无关， 根据列联表数据计算得 . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有关， 此推断犯错误的概率不超过0.001. 16. 已知数列的前项和为，满足，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，.求的前13项和. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）由等差中项法可判断数列是等差数列，再结合可求公差，最后利用等差数列的通项公式即可； （2）解法一：先求出，再利用累加法求出，最后结合即可求出； 解法二：构造数列，其为各项是的常数列，求出，其余同法一. 【小问1详解】 因，则， 所以数列是首项为的等差数列， 由于，得，则公差为，所以， 则的通项公式为. 【小问2详解】 解法一：由（1）知，，故， 所以，当时，， 又因为，代入化简可得（，）. 因为也符合上式，所以， 注意到， 所以的前13项和为. 解法二： 由（1）知，，故， 即， 又因为，所以数列是各项为的常数列，即， 所以， 注意到， 所以的前13项和为. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间和极值. （2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调性和极值， （2）对讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 . 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） （1）求的方程； （2）若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； （3）已知，两点在曲线上，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，利用点在上，可得曲线的方程. （2）设，利用与的面积相等，列式，可得与的关系，在利用在曲线上，可求点坐标. （3）设，，,则，，根据直线，均与以为圆心、为半径的圆相切，可探索的关系，在用表示的中点，可得中点的轨迹方程. 【小问1详解】 设，则. 因为点在上，所以. 所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图： 设，，，且. 又，所以直线的方程为：， 令，可得. 所以，， 因为与的面积相等，所以. 整理得：，因为，所以， 所以，因为，所以. 由， 又，，，所以，即. 【小问3详解】 设，，,则，. 再设直线与以为圆心、为半径的圆相切. 则. 若，因为, 所以方程有两解，设为，，则 ， 因为，所以. 又，， 所以， 所以. 设的中点为，则，即. 所以. 若，因为，则，所以方程只有一解：. 此时以为圆心，以为半径的圆与轴相切. 此时的坐标可以为，，所以对应的点坐标为，. 所以线段的中点在圆：上. 综上可知线段的中点在定圆上. 19. 设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. （1）当，时，求游戏成功的概率； （2）当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； （3）设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【答案】（1） （2）（且），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【小问1详解】 当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； 【小问2详解】 设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$