安徽省黄山市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

2023-2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则 A． B． C． D． 2. 已知复数，，则复数的虚部为 A. B. C. D. 3．的展开式中，常数项为 A． B． C． D． 4. 函数的图象大致是 A． B． C． D． 5. 双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为 A． B． C． D． 6. 如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，第6题图 ，,平面， 是的中点，则直线与直线所成角的正弦值为 A. B. C. D. 7. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增4个表演项目，现有A，B，C三个场地申请承办这4个新增项目的比赛，每个场地至多承办其中3个项目，则不同的安排方法有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8．等比数列的前项和为，前项积为，，当 最小时，的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是 A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，方差变大 B．若变量和之间的相关系数，则变量和之间的负相关性很强 C．在回归分析中，决定系数的模型比决定系数的模型拟合的效果要好 D. 某人每次射击击中靶心的概率为，现射击次，设击中次数为随机变量，则 10. 已知点，动点在圆上，则 A. 直线截圆所得的弦长为 B. 的面积的最大值为 C. 满足到直线的距离为的点位置共有个 D. 的取值范围为 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，己知抛物线焦点为,为坐标原点，一束平行于轴的光线经过抛物线内一点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点沿直线反射出且经过点，则下列结论正确的是第11题图 A． B．延长交直线于点,则三点共线 C．若点关于直线的对称点恰在射线上，则 D．从点向以线段为直径的圆作切线，则切线长最短时 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上. 12．等差数列的前项和为，则 ． 13．在能源改革的浪潮下，新能源汽车逐渐成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 14. 已知函数，存在，使，则的最大值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知函数． （1）若对任意，都有，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值． 16.（15分） 如图，已知平面，，，，， 点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试判断的大小是否等于平面与平面夹角的大小，请说明理由，并求出平面与平面夹角的余弦值. 17.（15分） 暑假即将开启，甲、乙两名同学计划7月中旬一起外出旅游体验生活，甲同学了解到黄山北站自6月15日零时起开通了黄山直达重庆的动车组列车，于是想去山城重庆游玩，但乙同学觉得重庆温度太高，想去四季如春的昆明，两人决定用“石头、剪刀、布”的游戏决定胜负，比对方多得2分者胜出，游戏结束，获胜者决定去哪里.规定：每局获 胜者得1分，负者和平局均得0分.设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，平局的概率为，且每局结果相互独立. （1）记前两局游戏中，甲所得总分为，求的分布列和期望； （2）记“游戏恰好进行三局结束”为事件，“乙获胜”为事件，求. 18.（17分） 如图，在矩形（为坐标原点）中，，，点，点，分别是，的等分点，直线和直线的交点为 （1）分别写出点，的坐标； （2）试证明点在椭圆：上； （3）设直线与椭圆分别相交于，两点，直线与椭圆的另一个交点为，求的面积的最大值． 19.（17分） 对于无穷数列，若满足：，对，都有（其中 为常数），则称具有性质“”. （1）若具有性质“”，且，，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列具有性质“”，， ，，试求数列的前项和； （3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，， ，求证：具有性质“”. 学科网（北京）股份有限公司高二数学试题·第 1 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题答案 一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共计 分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B D A A C B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 选项 BD BCD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 160 13. 答案不唯一,中的任何一个值均可 14. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）任意,都有，则时，，即，所以 ……………………………………………………………2分 则，，所以， …………………4分 所以曲线在点处切线方程为，即 . ……………………………………………………………………………………………6分 （2）因为，由函数处有极小值，所以，所以， …………………………………8分 由，得， 当时，；当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， ……………………11分 因为，所以的最大值为. ………………………13分 16.解：（1）因为平面，，所以面， 又面，所以， 又因为，点为中点，所以， ……………………………3分 因为，所以面， 又面，所以平面平面； ……………………………………6分 （2） 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，假设， 由题意可知，,,， 则,， ……………………………8分 设平面的一个法向量为，则由可知，，令，则，所以， ………10分 取平面的法向量，则 ，即面与 面夹角的余弦值为， ………………………12分 又在中，，所以， ……………13分 又，所以，即的大小等于平面与平面夹角的大小，且夹角的余弦值为. ……………………………15分 （本题采用传统几何法更简单，其他解法酌情给分） 17.（15分） 解：（1）所有可能得取值为， ………………………………………………1分 且，， …………4分 故的分布列为： 0 1 2 …………………………………………………………………………………………5分 所以 ……………………………………………7分 （2） “游戏恰好进行三局结束”，即三局结束有一方胜出， 甲同学胜出的概率为，乙同学胜出的概率为， ……11分 所以，又， ……………………………………13分 所以. ……………………………………………15分 18.（17分） 解：（1），； ……………………………4分 （2）设，又，， 则直线， 直线， ………………………………………………………6分 点的坐标是方程的解，可得， 化简得，所以在椭圆上. …………………………8分 （3）设,，不妨设，， 由，消去得， 则， ………………………………………………10分 因为点关于原点对称，所以， ……………………………11分 直线与轴的交点为，记为点，则 ， …13分 所以， ………14分 令，则， 所以， 当，即时，的最大值为. ……………………………………17分 19.（17分） 解：（1）由具有性质“”，则当时，， ……………1分 故，，， …………………………………………2分 又，，故， 即； ……………………………………………………………………………4分 （2） 无穷数列具有性质“”，即对，都有， 所以是公比为2的等比数列. ……………………………………………………5分 设，，由，， 即有，解得，故，， ……………7分 则， ……………9分 则数列的前项和 …………………………………………………………………………………11分 （3）由既具有性质“”，又具有性质“”，可知 当时，有，，…………………12分 则有，， ………………13分 因为，故， ………………14分 故，即，由，，则， …………………15分 当，即时，有， 即对任意的时，有，即具有性质“”. ………………………………………………………………………………17分 高二数学答案·第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$