精品解析：河南省南阳市邓州市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

河南省南阳市邓州市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 将方程依据等式的性质变形为，其步骤是（ ） A. 移项 B. 合并同类项 C. 去分母 D. 去括号 2. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 把矩形小尺与直角三角板按如图放置，，，若，则为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 正五边形的外角和为360° B. 三角形的内角和为180° C. 六边形有18条对角线 D. 三角形中至少有两个锐角 7. 如图，，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 8. 如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（ ） A. B. C. D. 9. 一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是_________________．（填一种即可） 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 13. 如果一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是__________． 14. 如图是可调躺椅的示意图，与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 15. 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为26，请写出符合条件的所有x的值________________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）解方程： （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 解方程组，下面是两同学的解答过程： 小春： 解：将方程变形为． 小冬： 解：将方程两边同乘2，得到，再与另一个方程相加，得到． （1）小春解法的依据是______，运用的方法是______；小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号） ①等式的性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． （2）请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程． 18. 如图所示，正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）把沿方向平移后，点A移到点，在网格中画出平移后得到的； （2）把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后得到的； （3）在平移过程中，线段扫过的图形的面积是______． 19. 如图，已知直角三角形中，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）： ①作线段的垂直平分线交于G，交于E， ②作的角平分线，交于F，交于D． （2）若，求的大小． 20. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“相伴方程”．问题解决： （1）在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是____________（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 22. 综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“两次轴对称变化”主题下设计的问题． 【观察发现】如图1、图2的网格图中与关于直线对称，与关于直线对称． 【发现1】图1中直线，且与的水平距离为4个单位，那么可以看作是向右平移得到的，平移距离为___________个单位长度． 【发现2】图2中直线与相交于O，所夹锐角为，那么可以看作是绕旋转中心___________，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________； 【操作实践】如图3，直线与垂直，垂足为O，请作出关于直线的轴对称图形． 【发现3】与成___________图形； 【拓展应用】 1．如图4，通过两次轴对称变化使得线段与线段重合，请画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段； 2．利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解决问题：如图5，在中，，点是内部一定点，，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图5中画出使周长最小的点的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值____________． 23. 项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（ ）．（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市邓州市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 将方程依据等式的性质变形为，其步骤是（ ） A. 移项 B. 合并同类项 C. 去分母 D. 去括号 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解方程的一般步骤，根据变形前后等号左边式子的变化即可求解． 【详解】解：将方程等号两边现时乘以3，可变形为， 去掉了等号左边的分母，因此该步骤是：去分母， 故选C． 2. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将方程的解代入原方程，解关于k的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 化简得：， 移项得：， 即：， 两边同时除以， 解得：， 因此，k的值为4， 故选：B． 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意； B、由可得，原不等式不正确，不符合题意； C、由可得，原不等式不正确，不符合题意； D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意； 故选：A 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 5. 把矩形小尺与直角三角板按如图放置，，，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质、三角形外角的性质，根据四边形是矩形，可知，根据直角三角形两锐角互余可知，根据三角形外角的性质可以求出． 【详解】解：如下图所示， 四边形是矩形， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 故选：C． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 正五边形的外角和为360° B. 三角形的内角和为180° C. 六边形有18条对角线 D. 三角形中至少有两个锐角 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形的外角和及对角线条数公式，三角形内角和定理进行判断即可． 【详解】解：多边形的外角和恒为， 则A不符合题意； 三角形的内角和为， 则B不符合题意； 六边形的对角线条数为：（条）， 则C符合题意； 假设三角形中只有一个锐角，那么其余两个角为直角或钝角， 则其内角和大于，不符合三角形内角和定理， 故三角形中至少有两个锐角， 则D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的外角和及对角线，三角形内角和定理，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7. 如图，，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质定理：全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质得到 ，即可求出． 【详解】解：∵ ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了平方米，进而即可求出答案． 【详解】解：利用平移可得，两条小路的总面积是： ． 故选：A． 9. 一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的构建是解题的关键．根据题意，设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，结合恰好配套，确定等量关系，列出方程后联立构成方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 10. 如图，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的外角性质．熟练运用三角形内角和定理，三角形外角性质、角平分线的相关只是并作出合理的辅助线是解题的关键．根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质结合选项分析即可求解． 【详解】解：∵ 平分 平分 ， ， ， ，故A正确； ∵点为的两外角平分线的交点， ， ， ， ∴ ，故B正确； ∴ ，故D正确； ∵，∴， 故C错误； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是_________________．（填一种即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据题意得：，即，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，即， 所以a的整数值可能是3，4，5， 故答案为：3（答案不唯一） 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【解析】 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 13. 如果一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，再根据解集为，结合求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”列不等式即可解答． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”是解题关键． 14. 如图是可调躺椅的示意图，与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．连接并延长至点，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，即可求出结论． 【详解】解：连接并延长至点，如图所示． 在中，，， ， ． ，， ， 即， ， 故答案为：． 15. 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为26，请写出符合条件的所有x的值________________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，根据输出结果，由运算程序求出所有的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：若第一次输入，输出结果为时，则，解得：； 若第二次输出结果为时，则，解得：； 若第三次输出结果为时，则，解得：（不符合题意）； ∴所有正数的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）解方程： （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 （1） （2）不等式组的解集为， 数轴表示如下： ． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，不等式组的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤和不等式组的解题步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程一般步骤计算求解即可． （2）根据，解①得，解②得，求得解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）∵， ∴解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为． 17. 解方程组，下面是两同学的解答过程： 小春： 解：将方程变形为． 小冬： 解：将方程两边同乘2，得到，再与另一个方程相加，得到． （1）小春解法的依据是______，运用的方法是______；小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号） ①等式的性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． （2）请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程． 【答案】（1）①，④；②，⑤ （2） 解：将方程两边同乘2， 得到， 再与另一个方程相加， 得， 解得． 将代入方程， 得， 原方程组的解为． 【解析】 【分析】本题考查了等式性质、代入法和加减法消元解二元一次方程组． （1）利用等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程； （2）用代入法消元解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：小春的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；小东的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法； 故答案为：① ④；② ⑤ 【小问2详解】 略 18. 如图所示，正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）把沿方向平移后，点A移到点，在网格中画出平移后得到的； （2）把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后得到的； （3）在平移过程中，线段扫过的图形的面积是______． 【答案】（1） 如图， 即为所求． （2） 如图， 即为所求． （3）9 【解析】 【分析】本题考查作图−平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）连接，，则在平移过程中，线段扫过的图形为平行四边形，，结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，， 则在平移过程中，线段扫过的图形为平行四边形， ． 在平移过程中，线段扫过的图形面积为9． 故答案为：9． 19. 如图，已知直角三角形中，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）： ①作线段的垂直平分线交于G，交于E， ②作的角平分线，交于F，交于D． （2）若，求的大小． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线和作角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握作线段的垂直平分线和作角平分线以及直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作法和角平分线的作法作图即可； （2）根据直角三角形的性质列方程求出，，进一步求出，及，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 又平分， ， ， ， 垂直平分线段， ， ． 20. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“相伴方程”．问题解决： （1）在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是____________（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解新定义，熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式组的解法． （1）求出两个方程的解和不等式组的解集，然后进行判断即可； （2）先求出方程的解为，不等式组的解集为，根据关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，得出，然后求出k的取值范围即可． 【小问1详解】 解：方程①的解为：； 方程②的解为：； 不等式组的解集为：； ∵在的范围内，不在的范围内； ∴不等式组的“相伴方程”是②； 【小问2详解】 解：由，得， 解不等式组，得不等式组的解集为， 关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ， ， 即，k的取值范围是． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元 （2）该校最多可以购买甲种书40本 【解析】 【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元， 可得方程， 解得， 原方程的解为， 答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书40本， 答：该校最多可以购买甲种书40本． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． 22. 综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“两次轴对称变化”主题下设计的问题． 【观察发现】如图1、图2的网格图中与关于直线对称，与关于直线对称． 【发现1】图1中直线，且与的水平距离为4个单位，那么可以看作是向右平移得到的，平移距离为___________个单位长度． 【发现2】图2中直线与相交于O，所夹锐角为，那么可以看作是绕旋转中心___________，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________； 【操作实践】如图3，直线与垂直，垂足为O，请作出关于直线的轴对称图形． 【发现3】与成___________图形； 【拓展应用】 1．如图4，通过两次轴对称变化使得线段与线段重合，请画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段； 2．利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解决问题：如图5，在中，，点是内部一定点，，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图5中画出使周长最小的点的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值____________． 【答案】观察发现： 发现1：8； 发现2：O，； 操作实践：如图，即为所作， 发现3：中心； 拓展应用：1．如图： 2：如图： 6 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换的应用以及等边三角形的判定，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 观察发现：发现1：观察可得出结果； 发现2：连接，，分别作，的垂直平分线交于点O，则旋转中心为点O，旋转角度为； 操作实践：分别作出关于直线的对称点，，再顺次连接即可； 发现3：连接，，，相交于点O，则：与成中心图形； 拓展应用：1．先作线段关于直线l的对称图形得到线段，然后作的垂直平分线，则线段和关于直线对称． 2．过点P分别作关于的对称点．连接，则的周长，当G，E，F，H在同一直线上时，的周长最小值等于的长．再判定是等边三角形，即可得到，即可得到的周长最小值等于6． 【详解】解：观察发现：发现1：平移距离为个单位， 故答案为：8； 发现2：连接，，分别作，的垂直平分线交于点O， 则可以看作是绕旋转中心O，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为； 故答案为：O，； 操作实践：略 发现3：连接，，，相交于点O，则：与成中心图形； 故答案为：中心； 拓展应用：1．线段关于直线l的对称图形为线段，线段关于直线的对称图形为． 2．周长最小值为6． 如图5，过点P分别作关于的对称点G、H．连接，则， ∴的周长， ∴当G，E，F，H在同一直线上时，的周长最小值等于的长． 此时，∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值等于6． 23. 项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（ ）．（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 【答案】 [知识储备] 1．；2．； [任务一：寻找密铺] 1．；2．； [任务二：创作密铺] 1．，； 2．，无；结论：“智慧小组”方案； [任务三：应用密铺] 方案1：①设正三角形x个，正方形y个，则， ∵x、y为正整数， ∴， 故可由3个正三角形和2个正方形组合密铺，如图： ②设正三角形m个，正六边形n个，则， ∵m、n为正整数， ∴或， 故可由2个正三角形和2个正六边形组合密铺或4个正三角形和1个正六边形组合密铺； 方案2：设正三角形a个，正方形b个，正六边形c个，则， ∵a、b、c为正整数， ∴， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图： 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和、正多边形的性质、平面镶嵌、二（三）元一次方程的解，熟练掌握相关知识并灵活运用是解答的关键． [知识储备] 1．根据正多边形的性质及内角和公式求解即可；2．根据周角为可得答案； [任务一：寻找密铺] 1．根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可；2．根据五边形的内角和求解即可； [任务二：创作密铺]1．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而可得解为；2．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而分析方程无解；进而可得结论； [任务三：应用密铺]方案1：分正三角形和正方形、正三角形和正六边形讨论求解即可；方案2：根据镶嵌原理和三个正多边形的内角度数列方程讨论求解即可． 【详解】解：[知识储备] 1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． [任务一：寻找密铺] 1．A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； 故答案为：ABD； 2．∵五边形的内角和为，， ∴； [任务二：创作密铺] 由于正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程，可以找到方程的正整数解为； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程，发现方程无正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：“智慧小组”方案； [任务三：应用密铺] 方案1：略 方案2：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $