精品解析：吉林省辽源市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

辽源市局直初中2024-2025学年度下学期教学质量监测八年级数学试题 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形 中，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 3. 已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 181 185 181 185 方差 3.7 3.7 7.3 8.0 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员代表辽源市参加省运动会的比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 丙 C. 丁 D. 乙 5. 下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 5，6，8 B. 5，4，9 C. 5，12，13 D. 5，11，12 6. 如图，直线与两坐标轴交于两点，点是线段上一动点（不与两端点重合）．过点作轴于点，作轴于点，小明认为矩形的周长不变且始终为8，小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距为．关于两人的判断，下面说法正确的是（ ） A. 小明与小红都是正确的 B. 小明与小红都是错误的 C. 小明是正确的，小红是错误的 D. 小明是错误的，小红是正确的 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 8. 如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为_____． 9. 从某市5000名初一学生中，随机地抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是__________. 10. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的，以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则阴影部分的面积是________． 11. 如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=6cm，AB=9cm，求EC的长． 14. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 15. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和线段上运动． （1）求直线的函数表达式； （2）是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 16. 我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四边形．解决下列问题． （1）四边形的形状是_______，理由是_______． （2）若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂，，则橡皮筋会不会断裂？请说明理由．（参考数据：） 17. 如图1，在四边形中，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连结． 根据所学知识判断小丽和小明的作法是否正确，并选择一个说明理由． 18. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图： 分析数据： 平均数 中位数 众数 甲组 80 80 乙组 83 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：______，_______，_______． （2）已知该校八年级有1000人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少人？ （3）根据以上数据，你认为两组中哪组的学生对网络安全知识知识掌握的更好？并说明理由（写出一条理由即可）． 19. 某地区的甲乙两地相距，一辆货车从甲地出发匀速开往乙地，货车出发后，一辆小汽车从乙地出发匀速开往甲地，两车同时到达各自的目的地．已两车行驶的路程之和与货车行驶的时间之间的函数关系如图所示． （1）货车的速度是_______，_______，_______． （2）当时，求关于的函数解析式． （3）当两车相距时，直接写出的值． 20. 如图，在四边形中，，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也停止运动．设运动时间为． （1）________；_________；________．（用含t的代数式表示） （2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 21. 近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服x套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲系列汉服，若汉服店保持这两个系列汉服的售价不变，请直接写出使汉服店利润最大的进货方案． 22. 【综合与实践】 问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现： （1）在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点都是格点，则边长分别是_____，_____，_____，_____；四边形的面积为_____． 实践探究： （2）在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，并求出矩形的面积． 继续探究： （3）若中有两边的长分别为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的（顶点都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽源市局直初中2024-2025学年度下学期教学质量监测八年级数学试题 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含平方因子且分母不含根号． 【详解】A. ，被开方数含分母，可化简，故不是最简二次根式， B. ，分母含根号，需有理化，故不是最简二次根式， C. ，被开方数5无平方因子，且分母无根号，符合最简二次根式条件， D. ，被开方数含平方因子4，可化简，故不是最简二次根式， 故选：C． 2. 在平行四边形 中，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3. 已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， 解得． 故选：C． 4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 181 185 181 185 方差 3.7 3.7 7.3 8.0 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员代表辽源市参加省运动会的比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 丙 C. 丁 D. 乙 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用平均数和方差做决策，首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可． 【详解】解：乙和丁的平均数均为185，高于甲和丙的181，故候选人为乙和丁， 乙的方差为3.7，丁的方差为8.0，方差越小，成绩越稳定，因此乙的发挥更稳定， 所以乙同时满足平均数最高且方差最小，应选择乙． 故选：D． 5. 下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 5，6，8 B. 5，4，9 C. 5，12，13 D. 5，11，12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】解：A. 三边为5、6、8，最长边为8．计算，而，不满足勾股定理，排除． B. 三边为5、4、9，因，不满足三角形三边关系（两边之和需严格大于第三边），直接排除． C. 三边为5、12、13，最长边为13．计算，与相等，满足勾股定理，为直角三角形． D. 三边为5、11、12，最长边为12．计算，而，不相等，排除． 故选：C． 6. 如图，直线与两坐标轴交于两点，点是线段上一动点（不与两端点重合）．过点作轴于点，作轴于点，小明认为矩形的周长不变且始终为8，小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距为．关于两人的判断，下面说法正确的是（ ） A. 小明与小红都是正确的 B. 小明与小红都是错误的 C. 小明是正确的，小红是错误的 D. 小明是错误的，小红是正确的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的三线合一，发现图中的等腰三角形以及能发现并利用垂线段最短是解决问题的关键．先由直线的函数表达式可求出两点的坐标，并发现三角形是等腰直角三角形，再根据，分别垂直于轴和轴，可将，分别转化为，，进而解决问题．根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短． 【详解】解：由直线与两坐标轴交于两点，得，，． 所以， ∴是等腰直角三角形． ∵点在线段上运动，且轴，轴， ∴和都是等腰直角三角形， 所以，． 故． 即矩形的周长为定值8． 所以小明说法正确． 在中，根据勾股定理得，． 根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短， ∵， 所以点为的中点，且此时． 所以小红的说法正确． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：，解得：． 故答案为：． 8. 如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为_____． 【答案】x≥1.5 【解析】 【分析】根据函数图像不难发现, 2x≥ax+4表示的区域就是直线y＝2x在直线y＝ax+4上方（包括自身）的区域,再代入A（m，3）到正比例函数中求出m,即可解题. 【详解】解：∵函数y＝2x过点A（m，3）， ∴2m＝3， 解得：m＝1.5， ∴A（1.5，3）， ∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5． 故答案为：x≥1.5 【点睛】本题考查了一次函数与一次不等式的关系,属于简单题,熟悉一次函数图像和性质是解题关键. 9. 从某市5000名初一学生中，随机地抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是__________. 【答案】众数 【解析】 【分析】服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数． 故答案为: 众数. 【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 10. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的，以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】##4平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形和三角形面积的计算，根据勾股定理计算边长是解决本题的关键． 先通过勾股定理求出直角三角形的一条直角边，再计算出大正方形和四个直角三角形的面积，最后用大正方形面积减去四个直角三角形面积得到阴影部分（小正方形）的面积． 【详解】解：在中，因为， 已知，， 则， 大正方形的边长为， 可得大正方形面积， 已知直角三角形的两条直角边，， 可得一个直角三角形面积， 因为有4个全等的直角三角形， 所以四个直角三角形的面积， 阴影部分面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积， 即． 故答案为：． 11. 如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的关键． 【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ∴， ， ∴四边形是平行四边形，共有3个． 在图（2）中，分别是的边的中点， 同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个． … 按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 13. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=6cm，AB=9cm，求EC的长． 【答案】3cm 【解析】 【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BACD，AB=CD=9cm， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD=6cm， ∴CE=CD-DE=9-6=3（cm）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质． 14. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 【答案】（1）长方形的周长为 （2）剩余部分的面积为 【解析】 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式，利用二次根式混合运算顺序进行计算即可； （2）用长方形的面积减去正方形的面积列式，利用二次根式的混合运算进行计算即可． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为： 【小问2详解】 剩余部分的面积为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和线段上运动． （1）求直线的函数表达式； （2）是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与面积问题，坐标与图像，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意用待定系数法直接求一次函数解析式即可； （2）令，求出点坐标即可求得的面积；先求出的解析式，再分别讨论的面积是的面积的时M的横坐标的情况，即可求得点M的坐标情况． 【小问1详解】 解：设直线的解析式是， 将代入解析式得： 根据题意得：， 解得：， ∴直线的解析式是：； 【小问2详解】 解：在中，令，解得：， ， ； 设的解析式是，则，解得：， ∴直线的解析式是：， ∵的面积是的面积的， ∴的面积是3， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为， ∵动点M在线段和线段上运动， ∴点M的横坐标为， 在中，当时，，则M的坐标是； 在中，时，，则M的坐标是. 综上所述：M的坐标是：或． 16. 我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四边形．解决下列问题． （1）四边形的形状是_______，理由是_______． （2）若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂，，则橡皮筋会不会断裂？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）菱形；四条边相等的四边形是菱形； （2） 不会断裂，理由如下： 设扭动后对角线的交点为，如下图： ，， 为等边三角形， ， ∵四边形是菱形是菱形 ，， ， ∴， ， 不会断裂． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质． （1）根据正方形的性质可得，则可根据四条边相等的四边形是菱形证明四边形是菱形； （2）设扭动后对角线的交点为，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断． 【小问1详解】 解；∵原来的框架是正方形， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， 故答案为：菱形；四条边相等的四边形是菱形； 【小问2详解】 略 17. 如图1，在四边形中，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连结． 根据所学知识判断小丽和小明的作法是否正确，并选择一个说明理由． 【答案】 小丽和小明的作法都正确， 小丽作法，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵由题意知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 小明作法，理由如下： 连结AE，BD， 由题意，知， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，尺规作图，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 小丽作法中可得出，再结合，先证四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角，可证是矩形； 小明作法中可得出，进而通过证明，得到，后续证明同上即可． 【详解】略 18. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图： 分析数据： 平均数 中位数 众数 甲组 80 80 乙组 83 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：______，_______，_______． （2）已知该校八年级有1000人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少人？ （3）根据以上数据，你认为两组中哪组的学生对网络安全知识知识掌握的更好？并说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）83，， （2） （3）乙组学生对网络安全知识掌握得更好，理由如下： 甲组的平均数为，中位数为，众数为80； 乙组的平均数为，中位数为，众数为70． 从平均数来看，乙组的平均数等于甲组的平均数， 但是乙组的中位数85大于甲组80， 所以可以认为乙组学生对网络安全知识掌握得更好． 【解析】 【分析】本题主要涉及统计中的平均数、中位数、众数概念，以及用样本估计总体的方法．熟练掌握计算公式是解决本题的关键． （1）要根据平均数、中位数、众数的定义来求解a、b、c的值． （2）先计算样本中网络安全意识非常强的学生所占比例，再用该比例乘以八年级总人数来估计人数． （3）通过比较两组数据的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪组学生对知识掌握得更好． 【小问1详解】 解：八年级抽取20名学生分成甲、乙两组，每组10人， 根据图一可知甲组的平均数为， 乙组的中位数， 由统计图可知乙组成绩中，众数为70， 故； 故答案为：； 【小问2详解】 解：八年级抽取的20名学生中， 网络安全意识非常强的人数为人． 那么网络安全意识非常强的学生在样本中的比例为， 因为该校八年级有人， 所以估计八年级网络安全意识非常强的人数为人． 【小问3详解】 略 19. 某地区的甲乙两地相距，一辆货车从甲地出发匀速开往乙地，货车出发后，一辆小汽车从乙地出发匀速开往甲地，两车同时到达各自的目的地．已两车行驶的路程之和与货车行驶的时间之间的函数关系如图所示． （1）货车的速度是_______，_______，_______． （2）当时，求关于的函数解析式． （3）当两车相距时，直接写出的值． 【答案】（1）40；480；180 （2） （3）小时或小时 【解析】 【分析】（1）根据前2个小时，货车在行驶，汽车没动，结合函数图象即可求解货车的速度，然后根据行驶时间与速度求出总路程，即a的值，再求出汽车行驶时间和行驶速度，从而可求出货车行驶3小时，两车行驶的路程之和b的值； （2）设函数解析式为，根据（1）中求出的a和b的值进行求解即可得到答案； （3）分两种情况进行讨论，相遇前和相遇后距离进行求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，前2个小时，只有货车在运动， 货车的速度为， 货车一共行驶了6小时， 甲乙的距离为， ， 两车同时到达目的地， 汽车的行驶时间为， 汽车的速度为， 当货车行驶3小时，两车行驶的路程之和为， 故答案为：40；480；180； 【小问2详解】 设当时，关于的函数解析式为， 由（1）可知，当时，；当时，， 即，， 将两点坐标代入函数解析式，得， 解得， 关于的函数解析式为； 【小问3详解】 当两车相遇前相距时， ， ， ； 当两车相遇后相距时， ， ， ， 两车相距时，货车行驶时间为小时或小时． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识． 20. 如图，在四边形中，，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也停止运动．设运动时间为． （1）________；_________；________．（用含t的代数式表示） （2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）；；当时，则，当时，则， （2）当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【小问1详解】 解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； 【小问2详解】 解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 21. 近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服x套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲系列汉服，若汉服店保持这两个系列汉服的售价不变，请直接写出使汉服店利润最大的进货方案． 【答案】（1） （2）至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 （3）汉服店应购进甲系列汉服套、乙系列汉服套，获利最大 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可； （3）根据题意首先列出此时与的函数关系式，其中，据此进一步化简，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元； 【小问3详解】 由题意得，，其中， 化简得，， ∵，则： ∴，随的增大而增大， ∴当时，有最大值， 则汉服店应购进甲系列汉服套、乙系列汉服套，获利最大． 22. 【综合与实践】 问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现： （1）在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点都是格点，则边长分别是_____，_____，_____，_____；四边形的面积为_____． 实践探究： （2）在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，并求出矩形的面积． 继续探究： （3）若中有两边的长分别为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的（顶点都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 【答案】（1），，，，18； （2）如图2：矩形即为所求； 矩形的面积为26； （3）如图：即为所求， 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、矩形的定义、平行四边形的定义、四边形的面积等知识点，灵活运用切割法是解题的关键． （1）根据勾股定理即可求得，然后根据图形运用割补法即可解答； （2）先运用勾股定理以及矩形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答； （3）先运用勾股定理以及平行四边形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答． 【详解】解：（1），，， 四边形的面积为：． 故答案为：，，，，18． （2）矩形的面积为：． （3）∵中有两边的长分别为， ∴中有两边的长分别为， 如图：即为所求，的面积为：； 如图：即为所求，的面积为：． 综上，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $