精品解析：河南省商丘市柘城县2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试卷

2025年春八年级期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式一定是二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在函数 中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如下表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 23 ■ ■ 由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）． A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、中位数 D. 中位数、方差 4. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 5. 已知一次函数（a， b是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 6. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形是菱形，已知点C的坐标为，则直线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 8. 已知的平均数为2． 方差为1，则的平均数、方差分别是（ ） A. 4， 9 B. 2，3 C. 3，2 D. 9，4 9. 如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（ ） A B. C. D. 10. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若是一次函数，则m=______________． 12. 如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加________（写出一个合适的条件即可） 13. 两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为_____． 14. 如图，在中，．于点，．是斜边的中点，则______． 15. 如图，在平行四边形中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为______，最小值为__________ 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，点M，N分别在，上，连接，． （1）给出以下条件： ①；②； ③． 请你从中选取两个条件证明． （2）在（1）中你所选条件的前提下，添加，则四边形是平行四边形吗？试加以证明． 18. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 19. 如图，已知一次函数的图像经过两点，与正比例函数的图像交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）在该一次函数图像上是否存在点P，使得如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP，延长线段AP交BC于点E；以点C为圆心，BE长为半径作弧交BC的延长线于点F、连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若∠BAF=90°，AB=6，AF=8，求DF． 21. 某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 22. 如图，点M， N分别在正方形的边，上，，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：； （2）若， ，求长． 23. 综合与实践： 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点 ），再将纸片还原． （1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时，______，当点E与点A重合时，______； ②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形； （2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春八年级期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二． 【详解】解：A．，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意； B．，根据一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意； C．无意义，故此选项不合题意； D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键． 2. 在函数 中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义的知识，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可． 【详解】函数中，被开方数必须满足非负条件， 即： 解得：， 因此，自变量的取值范围是， 故选：D． 3. 某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如下表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 23 ■ ■ 由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）． A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、中位数 D. 中位数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，“啦啦操”兴趣小组共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位学生年龄的平均数，而12岁的学生有5人，13岁的学生有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位的两个学生都是13岁，因此中位数是13岁，不受14岁、15岁人数的影响；因为13岁的学生有23人，而12岁的学生有5人，14岁、15岁的学生共有22人，因此众数是13岁． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的知识，正确掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 4. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】设两条直角边分别为a，b，根据题意得到，据此求出，则问题得解． 【详解】解：设两条直角边分别为a，b， 根据题意有：， 即有， ∴， ∵， ∴， ∵两条直角边分别为a，b，， ∴直角三角形的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识，明确题意得到是解答本题的关键． 5. 已知一次函数（a， b是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数图像的性质， 根据表格中x与y的对应值，选取两组数据代入一次函数解析式求出a和b的值，进而分析各选项的正确性． 【详解】解：当时，；当时，代入 ， 解得， 所以一次函数解析式为． 因为，，图象经过第一、二、三象限，所以A正确； 因为，函数值y随x的增大而增大，所以B不正确； 因为方程的解为，所以C正确； 因为不等式的解集为，所以D正确． 故选：B． 6. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形是菱形，已知点C的坐标为，则直线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，勾股定理． 先由勾股定理求出的长，得出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可． 【详解】∵点C的坐标为， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的函数解析式， 把，代入，得 ， ∴， ∴． 故选C． 7. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：D． 8. 已知的平均数为2． 方差为1，则的平均数、方差分别是（ ） A. 4， 9 B. 2，3 C. 3，2 D. 9，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，方差， 先分别求出原数据平均数，方差，再根据变化可得答案． 【详解】解：根据题意，得 ， ， ∴ ； ． 所以这组新数据的平均数为4，方差为9． 故选：A． 9. 如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作于点M，延长交于点N，先根据题意求出长，再求出的长即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作于点M，延长交于点N， 令，则， 解得， ∴点D的坐标为， ∵点B为线段的中点， ， 是等边三角形， ， 又∵， ∴， ∴， 将代入， 得， 即， ∴， 即点C平移的距离为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的性质解答． 10. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，， 即：， 当时，， 即：， ∴， ∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大， ∴， 综上所述，A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，一次函数性质，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若是一次函数，则m=______________． 【答案】﹣1. 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可得自变量的次数为1，且系数不为零可得关于m的方程，然后求解即可. 【详解】解：∵是一次函数， ∴m2=1，且m﹣1≠0， 解得m=﹣1. 故答案为﹣1. 【点睛】本题考查一次函数的定义. 一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征： （1）k是常数，k≠0 ；（2）自变量x的次数是1；（3）常数项b可以为任意实数． 12. 如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加________（写出一个合适的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，，即易证，得出，由此可证明四边形ABCD为平行四边形．由角平分线的性质可知，即得出，从而证明，即平行四边形ABCD为菱形．故在四边形ABCD为菱形的基础上，添加条件使其为正方形即可． 【详解】∵， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∵AC平分∠BAD， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD为菱形． ∴再添加或等，即可证明菱形ABCD为正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，平行四边形、菱形、正方形的判定．掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 13. 两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为_____． 【答案】7． 【解析】 【详解】试题分析：∵组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，∴，解得：，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为1，4，6，7，8，8，8，一共7个数，第四个数是7，则这组数据的中位数是7；故答案为7． 考点：中位数；算术平均数． 14. 如图，在中，．于点，．是斜边的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查斜边上中线，等边对等角，根据角的倍数和和差关系求出的度数，进而求出的度数，斜边上的中线，得到，得到，再根据角的和差关系，进行计算即可． 【详解】解：∵，，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为______，最小值为__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M； 则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先化简各项，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，点M，N分别在，上，连接，． （1）给出以下条件： ①；②； ③． 请你从中选取两个条件证明． （2）在（1）中你所选条件的前提下，添加，则四边形是平行四边形吗？试加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的判定； （1）分别选择两个条件再根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）证明，结合证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：若选①和②，证明如下： 在和中， ， ∴； 若选①和③，证明如下： 在和中， ， ∴； 若选②和③，证明如下： 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， 若选①和②，证明如下： 由（1）可知， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 若选①和③，证明如下： ∵，， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 若选②和③，证明如下： 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 18. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）79，79，27； （2）乙，见解析； （3）42人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解； （2）结合平均数，方差代表的数据信息说明； （3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数． 【小问1详解】 解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数，众数； 乙班数据方差 【小问2详解】 乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好． 【小问3详解】 获奖人数：（人）． 答：两个班获奖人数为42人． 【点睛】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键． 19. 如图，已知一次函数的图像经过两点，与正比例函数的图像交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）在该一次函数图像上是否存在点P，使得如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得点C的坐标，再求得的面积，进而得到，然后根据三角形的面积公式可得，最后分点P的横坐标为8和两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为， ∵一次函数的图像过点， ∴解得， ∴一次函数表达式为：． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 联立，解得， ∴点， ∴， ∴ ∴，即， ∴． 当点P的横坐标为8时，； 当点P的横坐标为时，． 综上，在该一次函数图像上存在点P，使得点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP，延长线段AP交BC于点E；以点C为圆心，BE长为半径作弧交BC的延长线于点F、连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若∠BAF=90°，AB=6，AF=8，求DF． 【答案】（1）见解析 （2）DF=4.8 【解析】 【分析】（1）由作法可知CF＝BE，得EF＝BC，再根据四边形ABCD是平行四边形，可知，AD＝EF，可得四边形AEFD是平行四边形，最后由作法可知AE⊥BC，可证四边形AEFD是矩形； （2）先根据勾股定理求出BF=10，再等积法求出AE，根据矩形性质，即可求出AE的长． 【小问1详解】 解：由作法可知CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC， 即EF＝BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AD＝BC， ∴，AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 由作法可知AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形． 【小问2详解】 ∵∠BAF=90°，AB=6，AF=8， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵四边形AEFD是矩形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是证明四边形AEFD是平行四边形． 21. 某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）A类图书36元/本，B类图书45元/本 （2）①；②当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程和不等式组，建立函数关系式是求解本题的关键． （1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解． （2）①根据用4500元全部购进两类图书可求出函数关系式． ②先求w与x的函数关系式，再根据函数性质求最值． 【小问1详解】 解：设A类图书每本a元，B类图书每本b元，由题意得： ， 解：． 答：A类图书36元/本，B类图书45元/本． 【小问2详解】 解：①∵用4500元全部购进两类图书， ∴， ∴， ②由题意得： ， ∵，， ∴． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，（元）， （本）． ∴当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元． 22. 如图，点M， N分别在正方形的边，上，，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理； （1）证明，即可得到； （2）由勾股定理求出，再证明，得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 23. 综合与实践： 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点 ），再将纸片还原． （1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时，______，当点E与点A重合时，______； ②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形； （2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；；②见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形． （2）如图④中，连接 ．可证，于是，设 ，则 ，中，运用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，当点P与点A重合时，； 当点E与点A重合时，； 故答案：； ②证明：由折叠可知，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 存在，理由如下： 如图④中，连接 ． ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设 ，则 , 则 ∵， ∴ ∴， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$