精品解析：福建省福州市连江县2024-2025学年八年级下学期 期末考试数学试卷

2024-2025学年第二学期八年级期末适应性测试 数学试卷 （全卷共8页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效! 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 2. 在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 将函数的图象经过（ ）可得到的图象． A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 4. 学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如右表所示，学校最终决定购买蓝色校服，其参考的统计量是（ ） 颜色 黑色 白色 蓝色 学生人数 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 甲、乙二人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙两人跑的路程不相等 B. 甲、乙同时到达终点 C. 甲的速度比乙的速度快米/秒 D. 甲、乙不是同时出发的 6. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得；当时，如图，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则与最接近的整数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 在平行四边形中，对角线，交于点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形是菱形 C. 四边形是矩形 D. 四边形是正方形 9. 《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则________． 12. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的函数表达式：_____． 13. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人 次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______去参加比赛． 14. 已知直线y=kx+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程kx+b=0的解是x=______. 15. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，，若图中阴影部分的面积为，，则与之间的距离为________． 16. 在平行四边形中，，，于点，点，分别是，的中点，连接，将沿直线对折得到，其中点与点是对称点，连接，则线段的长是________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 19. 已知一次函数的图象过点，且与轴，轴分别交于点，，求，两点的坐标． 20. “赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 21. 已知一次函数． （1）若该函数图象随的增大而减小，且与轴交于正半轴，求的取值范围； （2）该函数图象必过一定点(记作点)，求点与原点的距离． 22. 某县举办首届“机器人编程挑战赛”，每个学校派出10名学生参赛，比赛规则如下：各校的每位选手由系统随机分配编程任务，系统根据任务完成的精度和速度获得分的系统评分，最终以10名学生的平均成绩作为该学校的成绩．以下是甲、乙两所学校参赛成绩的数据统计图表： iii甲、乙学校学生成绩统计表 学校 中位数 众数 甲 乙 10 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表格中________，________；________； （2）请算出甲、乙两校的最终成绩，并从平均数和中位数的角度分析哪个学校成绩好； （3）县教育局准备挑选5名选手参加市“机器人编程挑战团体赛”，为了便于管理，决定从甲、乙两所学校中挑选一所学校的选手参赛，请你分析，应选哪所学校? 23. 如图，为等边三角形，将沿，剪开分成①②③三块，其中点，分别为，的中点，点是边上任意一动点（不与，重合）． （1）当点是中点时，求证：四边形是菱形； （2）的边长为，若将②，③分别绕点，旋转恰好能与①拼成平行四边形，当点在什么位置时，所得的平行四边形的周长最小，并求出此时的周长． 24. “观形以立见，析数以穷理”．在数学学习的过程中，我们常常借助“形”直观地捕捉问题的关键特征，形成初步判断；再凭借严谨的逻辑推理，用“数”进行精准验证． 【问题情境】如图1，某县为推进垃圾分类，计划在一条长的主干道旁新建一座智能垃圾分类回收站T．主干道两侧有M，N两个大型社区，分别通过支路连接到主干道的C，D两点，我们把沿公路A，B两点之间的路程记作（即），其中，，． 【问题解决】T应建在主干道旁何处时，使T沿公路分别到M，N两个社区的路程之和最小．设A，T之间的路程为，T沿公路分别到M，N两个社区的路程之和为． 【探究一】（1）当T的建在A，C之间（含端点，即），通过取点测量，得到右表x与y的几组对应值，请根据表中的数据，求出y关于x的函数解析式及y的最小值； 【探究二】（2）当T建在C，D之间（不含端点，即），小明同学用以下方法探究y的函数解析式及y的最小值： ① ； ∴T建在C，D之间的任一处时，路程之和y都为； ①请补全上面小明探究过程所缺的内容；（填代数式） ②当T建在D，B之间（含端点，即）时，求出y关于x的函数解析式及y的最小值； ③根据以上探究一、二的过程，请回答：在A，B主干道之间，T最终应该建在何处时y最小？最小值是多少？ 【拓展探究】（3）如图2，新建商圈Q与主干道的连接点为E，其中，．基于商圈大量的垃圾处理需求，要求T建在主干道旁且不小于，设A，T之间的路程为，T沿公路分别到M，N，Q三个社区的路程之和为，求z关于x的函数解析式，探究T应该修建在何处时，才能使得z最小？最小值是多少？ 25. 如图，在正方形中，点在的延长线，连接，， （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，，，于点，，，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长交于点． ①求证：点为线段的中点； ②试探究线段，与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期末适应性测试 数学试卷 （全卷共8页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效! 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意； B、菱形是轴对称图形，不符合题意； C、正方形是轴对称图形，不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 2. 在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，理解性质定理是关键．根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 3. 将函数的图象经过（ ）可得到的图象． A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．掌握函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：A．函数的图象经过“向左平移个单位长度”可得到的图象，故此选项不符合题意； B．函数的图象经过“向右平移个单位长度”可得到的图象，故此选项不符合题意； C．函数的图象经过“向上平移个单位长度”可得到的图象，故此选项符合题意； D．函数的图象经过“向下平移个单位长度”可得到的图象，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如右表所示，学校最终决定购买蓝色校服，其参考的统计量是（ ） 颜色 黑色 白色 蓝色 学生人数 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，颜色属于分类数据，无法计算平均数、中位数或方差，因此应选择众数，理解众数的定义是解题的关键． 【详解】解：由统计表可知，喜欢蓝色校服的学生人数最多，远超过黑色和白色，又因为颜色属于分类数据，无法计算平均数、中位数或方差，所以学校参考的统计量是众数， 答选：． 5. 甲、乙二人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙两人跑的路程不相等 B. 甲、乙同时到达终点 C. 甲的速度比乙的速度快米/秒 D. 甲、乙不是同时出发的 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得二者同时出发，且路程都为100米，其中甲比乙先到达终点，再根据速度等于路程除以时间分别计算出两人的速度即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二者同时出发，且路程都为100米，其中甲比乙先到达终点， 甲的速度为，乙的速度为， ∴甲的速度比乙的速度快米/秒， 故选：C． 6. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得；当时，如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，由已知可得是等边三角形，即得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 已知，则与最接近的整数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方差公式，掌握估算无理数的大小方法，平方差公式是解题的关键．先根据二次根式的混合运算计算，得出，然后估算的近似值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴2.828介于整数2和3之间， ∵，， ∵， ∴2.828更接近3，即m最接近的整数是3． 故选：C． 8. 在平行四边形中，对角线，交于点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形是菱形 C. 四边形是矩形 D. 四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形判定定理，平行四边形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平行四边形的性质，结合勾股定理的逆定理分析对角线的关系，进而判断四边形的具体形状即可． 【详解】解：如图， 是平行四边形， ，． ， ，即， 四边形是菱形； 故选：B． 9. 《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：A． 10. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键．由不等式解集确定a的符号及的关系，再代入各选项验证是否满足函数解析式． 【详解】解：移项得， 不等式的解集为， ，且， 解得，即， 函数， ，其中． 验证选项： ：代入得，与矛盾，排除； ：代入得，与矛盾，排除； ：代入得，与矛盾，排除； ：代入得，满足，且，符合条件； 故选：D． 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的函数表达式：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数图象经过第一、三象限，可知比例系数，由此可解． 【详解】解：∵正比例函数（k为常数，且）的图象经过第一、三象限， ∴， ∴函数表达式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握正比例函数的系数时，图象经过第一、三象限，时，图象经过第二、四象限． 13. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人 次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______去参加比赛． 【答案】丁 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛， 故答案为：丁． 14. 已知直线y=kx+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程kx+b=0的解是x=______. 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：∵直线y=kx+b与x轴的交点坐标是(2,0)， ∴关于x的方程kx+b=0的解是x=2. 故答案为2. 点睛：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 15. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，，若图中阴影部分的面积为，，则与之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，点到直线的距离，设之间的距离为，进而证明可得，，进而根据阴影部分的面积为，得出平行四边形的面积为，根据，得出，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； ∵ ∴平行四边形的面积为， 设之间的距离为， 与之间的距离为 故答案为：． 16. 在平行四边形中，，，于点，点，分别是，的中点，连接，将沿直线对折得到，其中点与点是对称点，连接，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，勾股定理解直角三角形，连接，，设交于点，证明四边形是平行四边形，进而证明得出，即可证明在上，进而根据勾股定理以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据中位线的性质得出，设，在，中，根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接，，设交于点， ∵在平行四边形中点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠，是的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴ ∴在上， ∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， 则， 设，则， 在中，， 在中， ∴， 即 解得： ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．先算乘除法和零次幂，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【解析】 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 19. 已知一次函数的图象过点，且与轴，轴分别交于点，，求，两点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，先将点代入解析式求得，再分别令，即可求解． 【详解】解：将点代入得 解得： ∴一次函数解析式为： 当时，，当时，， ∴ 20. “赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 21. 已知一次函数． （1）若该函数图象随的增大而减小，且与轴交于正半轴，求的取值范围； （2）该函数图象必过一定点(记作点)，求点与原点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，勾股定理； （1）由题意得到关于的不等式组，求解即可； （2）解析式变形为，即可得到定点为，即可求得的长度． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与轴交于正半轴，并且随的增大而减小， ， 解得：； 【小问2详解】 ， 当时，， 该函数的图象恒过一定点， 点与原点的距离为：． 22. 某县举办首届“机器人编程挑战赛”，每个学校派出10名学生参赛，比赛规则如下：各校的每位选手由系统随机分配编程任务，系统根据任务完成的精度和速度获得分的系统评分，最终以10名学生的平均成绩作为该学校的成绩．以下是甲、乙两所学校参赛成绩的数据统计图表： iii甲、乙学校学生成绩统计表 学校 中位数 众数 甲 乙 10 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表格中________，________；________； （2）请算出甲、乙两校的最终成绩，并从平均数和中位数的角度分析哪个学校成绩好； （3）县教育局准备挑选5名选手参加市“机器人编程挑战团体赛”，为了便于管理，决定从甲、乙两所学校中挑选一所学校的选手参赛，请你分析，应选哪所学校? 【答案】（1），， （2）分，分，从中位数的角度分析甲学校成绩好 （3）选甲学校 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，折线统计图，平均数、中位数、众数以及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和意义． （1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）计算出甲、乙学校的平均数，再根据平均数和中位数的意义求解即可； （3）根据方差的定义求出甲、乙学校选手成绩的方差，再根据方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：甲校分人数为（人），分人数为（人），分人数为（人），分人数为（人）， 所以其中位数，众数， 乙校名学生的成绩为、、、、、、、、、， 所以其成绩的中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 因为甲、乙校10名学生的平均成绩相等，而甲校成绩的中位数大于乙校， 所以甲校高分人数多于乙校， 所以甲学校成绩好； 【小问3详解】 ∴甲学校选手成绩更加稳定， ∴应选甲学校． 23. 如图，为等边三角形，将沿，剪开分成①②③三块，其中点，分别为，的中点，点是边上任意一动点（不与，重合）． （1）当点是中点时，求证：四边形是菱形； （2）的边长为，若将②，③分别绕点，旋转恰好能与①拼成平行四边形，当点在什么位置时，所得的平行四边形的周长最小，并求出此时的周长． 【答案】（1）见解析 （2）当时， 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得出，可得四边形是平行四边形，根据中位线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，即可得证； （2）根据旋转的性质可得：，，，，证明四边形为平行四边形，得出四边形周长，进而求得时，此时最小，根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点，分别为，的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 由旋转的性质可得：，，，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形周长 当时，此时最小，为直角三角形， 又∵， ∴， ∴ 的最小值为 ∴四边形周长的最小值为， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. “观形以立见，析数以穷理”．在数学学习的过程中，我们常常借助“形”直观地捕捉问题的关键特征，形成初步判断；再凭借严谨的逻辑推理，用“数”进行精准验证． 【问题情境】如图1，某县为推进垃圾分类，计划在一条长的主干道旁新建一座智能垃圾分类回收站T．主干道两侧有M，N两个大型社区，分别通过支路连接到主干道的C，D两点，我们把沿公路A，B两点之间的路程记作（即），其中，，． 【问题解决】T应建在主干道旁何处时，使T沿公路分别到M，N两个社区的路程之和最小．设A，T之间的路程为，T沿公路分别到M，N两个社区的路程之和为． 【探究一】（1）当T的建在A，C之间（含端点，即），通过取点测量，得到右表x与y的几组对应值，请根据表中的数据，求出y关于x的函数解析式及y的最小值； 【探究二】（2）当T建在C，D之间（不含端点，即），小明同学用以下方法探究y的函数解析式及y的最小值： ① ； ∴T建在C，D之间的任一处时，路程之和y都为； ①请补全上面小明探究过程所缺的内容；（填代数式） ②当T建在D，B之间（含端点，即）时，求出y关于x的函数解析式及y的最小值； ③根据以上探究一、二的过程，请回答：在A，B主干道之间，T最终应该建在何处时y最小？最小值是多少？ 【拓展探究】（3）如图2，新建商圈Q与主干道的连接点为E，其中，．基于商圈大量的垃圾处理需求，要求T建在主干道旁且不小于，设A，T之间的路程为，T沿公路分别到M，N，Q三个社区的路程之和为，求z关于x的函数解析式，探究T应该修建在何处时，才能使得z最小？最小值是多少？ 【答案】（1），最小值为7.5；（2）①②，最小值为7.5③y最小值为7.5，T建在，之间（含端点）y最小；（3）建在主干道旁，且处，最小，最小值为13 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，通过分区间讨论函数关系，利用一次函数性质求解最值，充分体现了分类讨论和数形结合思想． （1）根据表格数据判断函数类型为一次函数，利用待定系数法求解函数解析式，再根据函数增减性求最小值． （2）①根据线段关系补全式子；②分区间讨论函数解析式并求最小值；③综合前面结果得出结论． （3）由题意得出，根据题意求出z的函数解析式，结合一次函数性质求得z的最小值． 【详解】解：（1）根据表格数据，设，把，代入得， ， 所以， 经检验，其他数据也符合该解析式； 因为，随增大而减小，所以当时，； （2）① 故答案为：； ②由①可得， 当时， ，随增大而增大，所以当时，； ③综上，，y最小值为7.5，建在，之间（含端点）y最小； （3）∵T建在主干道旁，且不小于， ∴， 此时，， ∵，随增大而增大， ∴当时， ∴建在主干道旁，且处，最小，最小值为13． 25. 如图，在正方形中，点在的延长线，连接，， （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，，，于点，，，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长交于点． ①求证：点为线段的中点； ②试探究线段，与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线，，分别交，，，于点，，，． （2）①证明得出，根据垂直平分线的性质可得，则，进而证明得出，等量代换，即可得证； ②过点作交于点，连接，，先证明是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，进而得出，根据得出，进而根据，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ①如图，连接， ∵四边形是正方形，是对角线 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵垂直平分，在上 ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点为线段的中点； ②如图，过点作交于点，连接， 由①可得， ∴ ∵分别为的中点 ∴，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点，是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $