精品解析：福建省福州市连江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期八年级期末适应性测试 数学试卷 （全卷共6页；满分：150分；完卷时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 2. 将直线向下平移1个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的对角线，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 5. 方程经过配方后，得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 某班7位同学代表班级参加学校举办的“健康、绿色、环保”知识竞赛（满分100分，每题5分），参赛同学成绩如下表所示，这些同学成绩的众数和中位数分别为（ ） 成绩（分） 85 90 95 100 人数 1 2 3 1 A. 90，90 B. 95，95 C. 90，95 D. 95，90 7. 下列命题是判断一个四边形是平行四边形的语句，其中错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边相等另一组对边平行 8. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 随着国内旅游旺季的到来，某旅游景点3月份共接待游客4.5万人次，3月份至5月份游客人次月平均增长率为，则5月份比4月份多接待了游客（ ）万人次． A. B. C. D. 10. 我们知道，在平面直角坐标系中，直线上的点可以表示为，已知点，则点与原点的距离最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请在答题卡的相应位置作答） 11. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次．经统计，他们的平均成绩相同，方差分别，，，则甲、乙、丙三人中成绩最稳定的是_____________．（填甲，乙或丙） 12. 如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为_____________． 13. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集是_________________． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 15. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 16. 已知四边形是正方形，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，交于点，若，，则的长是_____________． 三．解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 19. 已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 20. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为100米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将在矩形停车场沿着边和修建宽度相同的充电桩区域，剩余停车场的面积为，求充电桩区域的宽度是多少？ 21. 某校在八年级学生中随机抽取了若干名学生参加“周末体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的平均每周末体育运动时间的调查统计图表． 频数分布表 组别 运动时间 频数 6 8 4 合计 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 ；扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角是 ； （2）求被调查的所有学生每周末体育运动时间的平均数． 22. 根据下表素材，完成表中的两个任务． 背景 某学校计划组织学生外出参加课外实践活动 素材1 准备租用8辆客车送295名师生前往实践基地 素材2 现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 600 乙 35 450 问题解决 任务1 确定关系 设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． （1）请求出与之间的函数表达式，并直接写出的取值范围； 任务2 拟定方案 （2）据资金预算，本次租车总费用不超过4600元，要保证全体师生都有座位，应选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 23. 如图，已知矩形，点是中点，连接． （1）尺规作图：求作与关于直线对称的，点是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，，延长交于，当恰为中点时，试判断的形状，并证明你的结论． 24. 在直角坐标系中，直线经过，两点，直线过定点． （1）求直线的解析式； （2）点在直线上，点在直线上，对于任意的实数，存在的值，使的值是常数，求这个常数值； （3）点在直线上，过点作交直线于点，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 25. 如图1，在中，，是边上的中线，是的外角，平分，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，分别交，于，两点． ①如图2，若，试探究，之间的数量关系； ②如图3，若，点在上，，连接，线段平分的周长，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期八年级期末适应性测试 数学试卷 （全卷共6页；满分：150分；完卷时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、∵32+42=9+16=25；52=25， ∴32+42=52， 则此选项线段长能组成直角三角形； B、∵42+52=16+25=41；62=36， ∴42+52≠62， 则此选项线段长不能组成直角三角形； C、∵52+62=25+36=61；72=49， ∴52+62≠72， 则此选项线段长不能组成直角三角形； D、∵62+72=36+49=85；82=64， ∴62+72≠82， 则此选项线段长不能组成直角三角形. 故选：A． 2. 将直线向下平移1个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移时的值不变，只有的值发生变化，而值变化的规律是“上加下减”． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知， 直线向下平移1个单位，得到直线是：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减，二次根式的乘法运算法则，即可求解， 本题考查了，二次根式的加减，二次根式的乘法，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、2与不是同类二次根式，故不可以合并，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意；， 故选：D． 4. 菱形的对角线，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积对角线乘积的一半是解题的关键．由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴菱形的面积为， 故选：A． 5. 方程经过配方后，得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法将原式进行整理，即可求解， 本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解本题的关键． 【详解】解： 故选：C． 6. 某班7位同学代表班级参加学校举办的“健康、绿色、环保”知识竞赛（满分100分，每题5分），参赛同学成绩如下表所示，这些同学成绩的众数和中位数分别为（ ） 成绩（分） 85 90 95 100 人数 1 2 3 1 A. 90，90 B. 95，95 C. 90，95 D. 95，90 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，解题的关键是：熟练掌握相关定义．根据众数的定义，即可求解；将该组数据从大到小依次排列，根据中位数定义，即可求解， 【详解】解：在这组数据中，95分的有3人，人数最多，故众数为95， 7个数据从小到大依次排列为：85，90，90，95，95，95，100，处于中间位置的数为第4个数，是95，故中位数为95， 故选：B． 7. 下列命题是判断一个四边形是平行四边形的语句，其中错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边相等另一组对边平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确，不合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确，不合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，不合题意； D、一组对边相等另一组对边平行有可能是等腰梯形，故错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 8. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的函数值随的增大而减小，可以得到，再根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．解答本题的关键是判断出的正负且熟练掌握一次函数的性质． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而减小 , 该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 9. 随着国内旅游旺季的到来，某旅游景点3月份共接待游客4.5万人次，3月份至5月份游客人次月平均增长率为，则5月份比4月份多接待了游客（ ）万人次． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算．设3月份至5月份游客人次月平均增长率为，根据题意列出代数式即可求解． 【详解】解：根据题意，得4月份接待游客万人次，5月份接待游客万人次， ∴5月份比4月份多接待了游客万人次， 故选：D． 10. 我们知道，在平面直角坐标系中，直线上的点可以表示为，已知点，则点与原点的距离最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得到点是直线上的点，得出，，根据勾股定理求出，根据点到直线距离垂线段最短，得出当时，最短，根据三角形面积公式，即可求解， 本题考查了，直线与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关知识点． 【详解】解：∵， ∴点是直线上的点， 设直线与轴、轴分别交于点、， 当时，，则，， 当时，，解得：，则，， 在中， ， 当时，最短， ，即：， 解得：， 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请在答题卡的相应位置作答） 11. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次．经统计，他们的平均成绩相同，方差分别，，，则甲、乙、丙三人中成绩最稳定的是_____________．（填甲，乙或丙） 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙丙丁的方差可作出判断． 【详解】解：∵他们的平均成绩相同，方差分别，，，， ∴甲、乙、丙三人中成绩最稳定的是丙， 故答案为：丙． 12. 如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，含的直角三角形的性质等知识，过A作于G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用平行线的距离求解即可． 【详解】解：过A作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴直线，之间的距离为2， 故答案为：2． 13. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的交点坐标可得答案． 【详解】解：当时，函数的图象在x轴上方， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 15. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据数轴得出，根据平方及算术平方根化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查数轴上的数的大小，平方及算术平方根的求法，二次根式的化简等，理解题意，熟练掌握平方及算术平方根的化简方法是解题关键． 16. 已知四边形是正方形，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，交于点，若，，则的长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，证明，得出，，利用三线合一的性质可得出，利用线段垂直平分线的性质得出，在中，利用勾股定理求出，进而求出，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 三．解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，二次根式的加减法则计算即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质．熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 19. 已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，关于y轴对称点的坐标特征等知识，解题的关键是： （1）设，把，代入求解即可； （2）利用轴对称性求出对称点的坐标，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：设， 把，代入，得， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：点关于轴的对称点为， ∵在的图象上， ∴． 20. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为100米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将在矩形停车场沿着边和修建宽度相同的充电桩区域，剩余停车场的面积为，求充电桩区域的宽度是多少？ 【答案】充电桩区域的宽度是米 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用，设和减少的长度为米，根据题意列出方程求解即可， 理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 【详解】解：设和减少的长度为米， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：充电桩区域的宽度是米． 21. 某校在八年级学生中随机抽取了若干名学生参加“周末体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的平均每周末体育运动时间的调查统计图表． 频数分布表 组别 运动时间 频数 6 8 4 合计 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 ；扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角是 ； （2）求被调查的所有学生每周末体育运动时间的平均数． 【答案】（1）12，96 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图．解题的关键是： （1）用A组的频数除以所占百分比求出总数，用总数减去A、C、D的频数即可求出m，用乘以C组所占百分比即可求解； （2）利用组中值乘以对应的频数，求出总和再除以30即可． 【小问1详解】 解：总数为， ∴， 扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角是， 故答案为：12，96； 【小问2详解】 解：， ∴被调查的所有学生每周末体育运动时间的平均数小时． 22. 根据下表素材，完成表中的两个任务． 背景 某学校计划组织学生外出参加课外实践活动 素材1 准备租用8辆客车送295名师生前往实践基地 素材2 现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 600 乙 35 450 问题解决 任务1 确定关系 设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． （1）请求出与之间的函数表达式，并直接写出的取值范围； 任务2 拟定方案 （2）据资金预算，本次租车总费用不超过4600元，要保证全体师生都有座位，应选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】（1），的整数；（2）租甲车2辆，租乙车6辆，最低费用是3900元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据租车总费用=租甲车的费用+租乙车的费用，列出函数关系式，根据租两种车的总载客数不低于295求出自变量的取值范围即可； （2）利用租车总费用不超过4600元，求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， ， 解得， 又x为整数， ∴自变量x的取值范围为的整数； （2）根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当整数时，y有最小值，最小值为， 此时租车方案为：租甲车2辆，租乙车6辆． 故最省钱租车方案是：租甲车2辆，租乙车6辆，最低费用是3900元． 23. 如图，已知矩形，点是中点，连接． （1）尺规作图：求作与关于直线对称的，点是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，，延长交于，当恰为中点时，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质知识，解题的关键是： （1）以C为圆心，为半径画弧，以E为圆心，为半径画弧，两弧相交于F，连接，即可； （2）先判断，利用等边对等角得出，利用余角的性质得出，利用等角对等边得出，利用等边对等角得出，利用三角形内角和定理得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：是直角三角形， 理由：如图， ∵矩形， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵、关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． 24. 在直角坐标系中，直线经过，两点，直线过定点． （1）求直线的解析式； （2）点在直线上，点在直线上，对于任意的实数，存在的值，使的值是常数，求这个常数值； （3）点在直线上，过点作交直线于点，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）用t表示出，，然后求出，令，即可求出的值； （3）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求的解析式，的解析式，联立方程组，求出点E的坐标，然后分①以、为对角线时，②以、为对角线时，③以、为对角线时，三种情况讨论，利用平行四边形的性质求出m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在直线上，点在直线上， ∴，， ∴ ， ∴当，即时，， ∴当时，使的值是常数3； 【小问3详解】 解：直线， ∵， ∴当即时，， ∴直线经过定点C的坐标为， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ①以、为对角线时， 则， 解得， ∴，两点重合，平行四边形存在，故舍去 ②以、为对角线时， 则， 解得， ∴， 代入，得， 解得； ③以、为对角线时， 则， 解得， ∴， 代入，得， 解得； 综上，k的值为或或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 25. 如图1，在中，，是边上的中线，是的外角，平分，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，分别交，于，两点． ①如图2，若，试探究，之间的数量关系； ②如图3，若，点在上，，连接，线段平分的周长，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，，结合可求出，则可证，然后根据矩形判定即可得证； （2）①利用平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等可证出，设，在中，利用勾股定理求出，即可求解； ②证明，得出，，设，则，根据线段平分的周长，求出，过H作于K，证明四边形是矩形，得出，，，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，是边上的中线， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴ 在中，， ∴； ②∵， ∴， 又， ∴， ∴，， 设，则， ∵线段平分的周长， ∴， ∴ ∴，， 过H作于K， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，二次根式的运算等知识，利用运用以上知识解题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $