精品解析：山东省威海市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由得，，所以， ∵， ∴. 故选：C. 2. 设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据极值点定义或举例判断“”和“是函数的极值点”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“为函数的极值点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布性质结合数学期望及方差性质计算判断各个选项. 【详解】因为随机变量，则，A选项错误；C选项错误； ，B选项正确； ，D选项错误； 故选：B. 4. 用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，再根据函数解析式及对数的运算法则即可求解． 【详解】由，则， 所以． 故选：B． 6. 已知随机事件A，B满足，，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】应用条件概率及全概率公式计算求解. 【详解】随机事件A，B满足，， 则 又， 则  . 故选：C. 7. 已知是定义在上的偶函数，且，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由得到的周期为4，再结合可得，，代入计算即可. 【详解】∵是偶函数，∴ 因为. 所以则. 令得，，即，∴ ，所以4为函数的一个周期. 所以 故选：B. 8. 有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出从这8个小球中任取4个的情况共有种，又4个小球上的数字之和为10的情况有：①1，1，4，4；②1，2，3，4；③2，2，3，3，进而即可求得其概率． 【详解】从这8个小球中任取4个的情况共有种， 又满足4个小球上的数字之和为10的情况有： ①4个小球上的数字分别是：1，1，4，4，即有1种情况； ②4个小球上的数字分别是：1，2，3，4，即有种情况； ③4个小球上的数字分别是：2，2，3，3，即有1种情况， 即取出的小球上的数字之和为10的情况有种， 所以取出的小球上的数字之和为10的概率为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某位同学10次考试的物理成绩与数学成绩如下表所示： 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关，计算可得，，回归直线方程为，则（ ） A. y与x正相关 B. C. 相关系数 D. 若该同学第11次考试的数学成绩为80，物理成绩为83，则以这11次成绩重新计算，得到的回归直线方程不变 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合回归直线方程一一判断即可． 【详解】对于选项A，在中，，则y与x正相关，故选项A正确； 对于选项B，由，，则样本中心点为，代入得，解得，故选项B错误； 对于选项C，根据选项A可得相关系数，故选项C正确； 对于选项D，新增数据点为，该点恰好是原样本中心，且新增点不影响协方差和方差的计算(新增点的和均为0)，所以新的回归直线方程不变，故选项D正确． 故选：ACD． 10. 对于每个实数x，设取，两个函数值中的最大值，则（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递减 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数新定义计算判断各个选项. 【详解】设取，两个函数值中的最大值， 则，，所以，A选项错误； 当，，所以， 所以，所以，B选项正确； 因为，所以在上不是单调递减，C选项错误； 因为，所以，所以当时的最小值为，D选项正确； 故选：BD. 11. 已知函数，的导函数为，则（ ） A. 存在，使得 B. 对于定义域内的任意，都有 C. 函数的图象关于原点对称 D. 方程有4个实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据函数式，通过计算得可判断B正确； 对于B，利用导数得函数的单调性结合函数的对称性求得可判断A不正确； 对于C，先求得，再求导，得，经验证得到，可判断C正确； 对于D，令，由，确定，方程的只有一个根且由在上的单调性得，再由方程有4个不相等的实数根.得到方程有4个不相等的实数根，判断D正确. 【详解】对于B，由得，，故B正确； 对于A，，定义域为. 当时，，， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增. 由B知，的图象关于对称， 所以在上单调递增，在上单调递减. .故A不正确； 对于C，， 当时，， 当时，，， 所以， 当时，， 当时，， 所以是奇函数，图象关于原点对称.故C正确； 对于D，由A知，的图象关于对称， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且. 令，则，由，得,， 根据的对称性和单调性知，方程，只有一个实数根且 由在上单调递增，，所以 而方程有4个不相等的实数根. 所以方程有4个不相等的实数根.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式中和的系数，然后由多项式乘法得结论． 【详解】展开式的通项公式为，所以所求的系数为. 故答案为：. 14. 若对任意，，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】依题意分和两种情况讨论．当时，构造，，求导，根据其单调性分析即可；当时，构造，根据其单调性分析可将题意中的恒成立问题转化为在上恒成立问题，进而分析即可得出答案． 【详解】依题意可得在上恒成立，（*） 当时，令， 则， 则在上单调递增， 所以，故（*）成立； 当时，即， 令，， 因函数与在上单调递增，故在上单调递增， 又，且， 则（*）成立，等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，（**） 令，，则， 若时，，此时在上单调递增， 所以，故（**）成立，即（*）成立； 若时，令，解得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以， 又，此时在上单调递减， 所以，所以，故（**）不成立，即（*）不成立． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； （2）为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）企业员工对AI工具的使用情况与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论； （2）应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 零假设为：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关. 根据列联表数据计算得： . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过. 故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关. 【小问2详解】 由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名. 则X可能的取值集合为， 因此，， ，， 所以. 16. 已知函数，. （1）当时，解关于的方程； （2）若对，，使得，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解； （2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解. 【小问1详解】 当时，， 令，则即，， 解得或，即或， 解得或. 【小问2详解】 设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以， 因为，所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，， 当时，， 所以. 17. 已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. （1）求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； （2）设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； （3）已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列. （3）利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 设事件D表示“3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉”， 则. 【小问2详解】 依题意，随机变量X的取值集合为， 设事件A表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件B表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件C表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 则，，， 因此，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 【小问3详解】 设事件E表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 事件F表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 由（2）知，，， 所以已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉， 该品牌手机是甲的概率为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当，时，求曲线过点的切线方程； （3）若存在三个不同的零点，且，证明：. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）或. （3）证明：法一：若存在三个不同的零点， 则可设， 整理得， 所以. 因为，所以， 所以，可得. 法二：若存在三个不同的零点， 因为，可设，，， 则，，， 化简可得，， 两式相减可得， 所以， 所以，可得. 法三：若存在三个不同的零点， 则，，， 两两相减可得，， 因为，所以，， 两式相减可得， 所以， 因为，所以. 所以，可得. 【解析】 【分析】（1）分类讨论计算导数正负得出函数单调性； （2）先求出导函数，计算得出函数的切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （3）法一：设及零点再化简计算证明等式；法二：设零点得出，再化简证明；法三：设零点得出，再化简证明； 【小问1详解】 ， ①当时，， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 当，时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为 又因为经过点， 所以， 即，整理得， 解得或， 所以过点的切线方程为或. 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性得出导函数，再构造函数得出函数的最小值即可求参； （2）（i）法一：根据函数的零点个数得出函数单调性即可求参；法二：构造得出函数的单调性即可计算求参；（ii）法一：根据已知零点构造函数得出导函数，再结合函数的单调性即可求解；法二：构造函数得出导函数，再结合函数的单调性即可求解； 【小问1详解】 若在上单调递减， 则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，因为在上单调递增，所以的最小值为， 所以. 【小问2详解】 （i）法一：， 令，则，判别式，且两根之积为， 故该方程有唯一正根，设为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又当时，； 当时，； 若有两个不同的零点，则， 所以， 又因为，所以， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 所以，所以. （ii）不妨设，因为，可得， 因为，，所以， 令，则， 令， 则， 当时，，所以在上单调递增，又， 所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 对于，， 当时，，所以在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 法二：（i）若有两个不同的零点，，则有两个不等的正根， 即有两个不等的正根， 令，，则， 当时，故，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当时，；当时，；所以. （ii）不妨设，由（i）知，则， 令， 则， 当时，，可得在上单调递增， 又，所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 由（i）知在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 4. 用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件A，B满足，，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 7. 已知是定义在上的偶函数，且，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 8 D. 10 8. 有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某位同学10次考试的物理成绩与数学成绩如下表所示： 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关，计算可得，，回归直线方程为，则（ ） A. y与x正相关 B. C. 相关系数 D. 若该同学第11次考试的数学成绩为80，物理成绩为83，则以这11次成绩重新计算，得到的回归直线方程不变 10. 对于每个实数x，设取，两个函数值中的最大值，则（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递减 D. 的最小值为 11. 已知函数，的导函数为，则（ ） A. 存在，使得 B. 对于定义域内的任意，都有 C. 函数的图象关于原点对称 D. 方程有4个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 13. 的展开式中的系数为_____. 14. 若对任意，，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； （2）为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数，. （1）当时，解关于的方程； （2）若对，，使得，求的取值范围. 17. 已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. （1）求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； （2）设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； （3）已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当，时，求曲线过点的切线方程； （3）若存在三个不同的零点，且，证明：. 19. 已知函数. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $