精品解析：山东省威海市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两所学校从个研学基地中各自选择个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有个相同的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 若函数存在极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 设随机事件，，，，则（ ） A. 若与独立，且，，则 B. 若与互斥，且，，则 C. 若，则与独立 D. 若，则与互斥 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为_______. 13. 甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为_______. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表： 科学类 人文类 艺体类 课程门数 3 3 4 每门课程学分 3 2 1 学校要求学生从这门课程中选修门，假设学生选修每门课程的机会均等. （1）记事件为“学生甲选修的门课程中有且仅有门是科学类课程”，事件为“学生甲选修的门课程的总学分为分”，试判断与是否独立； （2）设学生甲选修的门课程的总学分为，求的分布列和数学期望. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 17. 近年来，为响应节能减排号召，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，以纯电动汽车为主力的新能源汽车逐渐成为中国汽车的新名片.据统计，2017年至2023年全国新能源汽车保有量（百万辆）如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 保有量 1.9 2.8 4.1 4.4 5.7 10.6 12.5 并计算得，，. （1）根据上表数据，求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，预测2028年全国新能源汽车保有量； （3）根据往年的汽车销售数据可知今年汽车保有量的增量为百万辆，设新能源汽车保有量的年增量的估计值与今年汽车保有量的增量的比为，用作为今年购车的客户购买新能源汽车概率的估计值.记某汽车销售公司今年位客户中，恰有位购买新能源汽车的概率为，求为何值时，有最大值. 附：，. 18. 设函数. （1）若直线是曲线的切线，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，记函数，若，证明：. 19. 信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画一些随机事件的不确定程度.设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵. （1）若随机变量的分布列如下表所示.求的值； （2）若，求的最大值及对应的，的值； （3）若，随机变量所有可能的取值为，，试判断与的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交并补的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以或， 因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：B. 3. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 4. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由均值、方差的性质即可求解. 【详解】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以. 故选：A. 5. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】, 因为， 所以, 所以 故选：C. 6. 甲、乙两所学校从个研学基地中各自选择个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有个相同的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合的知识求得正确答案. 【详解】依题意，这两所学校选择的研学基地中恰好有个相同的选法有种. 故选：C 7. 若函数存在极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后，对进行分类讨论，分、、以及四种情况讨论即可求解. 【详解】， ， 当时，二次函数开口向上，且， 此时，即恒成立， 所以在上单调递增，此时不存在极大值，故不满足题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故符合题意； 当时，或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，判断函数的对称性及单调性，再比较大小即可. 【详解】函数定义域为，，则函数的图象关于直线对称， 而函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式得到和，即可求出结果. 【详解】因为， 由，得到，当且仅当时取等号， 即，所以，得到， 所以，故选A错误，选项B正确， 又由，得到，当且仅当时取等号， 即，整理得到，解得， 所以选项C正确，选项D错误， 故选：BC. 11. 设随机事件，，，，则（ ） A. 若与独立，且，，则 B. 若与互斥，且，，则 C. 若，则与独立 D. 若，则与互斥 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义计算即可判断. 【详解】对于A，因为,所以 若与独立,则与也相互独立， 所以 , 所以 , 故A正确; 对于B，若A与B互斥,则全体样本空间， 所以 故 错误; 对于C，, 因为, 所以, 即 即 所以和相互独立， 所以和也相互独立，故C正确; 对于D， , 因为, 所以 当时， , 即, 此时未必互斥，故D错误. 答案为：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据赋值法和二项式系数的定义可以求得n，再根据二项式的通项即可求得结果. 【详解】在的展开式中，令得展开式各项系数和为，又二项式系和为， 各项系数和与二项式系之比为32，即，∴， 在的展开式中，通项公式为 令，求得，∴的系数为， 故答案为：． 13. 甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为_______. 【答案】##0.104 【解析】 【分析】设甲获胜为事件,求出甲获胜的概率，次投篮甲至少获胜次的概率为，利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设甲获胜为事件,则， 则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 故答案为：. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，分离，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】函数的定义域是， 令，得， 令， 令， 令解得， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，， 当时，， 所以，所以， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. ，当时，，， 所以，要使有两个解，则需. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的零点，可以考虑分离参数法，然后结合导数来进行求解.在利用导数研究函数的性质时，要是一次求导无法解决，可以考虑利用多次求导来进行求解.求解过程中要注意原函数和导函数之间的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表： 科学类 人文类 艺体类 课程门数 3 3 4 每门课程学分 3 2 1 学校要求学生从这门课程中选修门，假设学生选修每门课程的机会均等. （1）记事件为“学生甲选修的门课程中有且仅有门是科学类课程”，事件为“学生甲选修的门课程的总学分为分”，试判断与是否独立； （2）设学生甲选修的门课程的总学分为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）与不独立 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式计算出，从而由独立乘法公式验算即可； （2）的取值范围是，算出对应的概率即可得分布列，进而得数学期望. 【小问1详解】 由题意知，， ， ， 因为，所以与不独立. 【小问2详解】 的取值范围是， ，， ，，， 从而的分布列为 . 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用换元法与导数可求得集合，进而可求； （2）（i）由已知可得，所以，利用可得，可求解；（ii），由题意可得有两个实数，满足，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意知，， 解得， 所以， 当时，， 设，则，，令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 可得， 所以. 【小问2详解】 （i）因为，所以，可得， 因为且， 可得， 所以，解得. （ii）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 而， 所以由的图象可知，有且只有两个实数，满足， 可得或，解得或， 所以方程有两个解， 即中元素的个数为. 17. 近年来，为响应节能减排号召，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，以纯电动汽车为主力的新能源汽车逐渐成为中国汽车的新名片.据统计，2017年至2023年全国新能源汽车保有量（百万辆）如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 保有量 1.9 2.8 4.1 4.4 5.7 10.6 12.5 并计算得，，. （1）根据上表数据，求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，预测2028年全国新能源汽车保有量； （3）根据往年的汽车销售数据可知今年汽车保有量的增量为百万辆，设新能源汽车保有量的年增量的估计值与今年汽车保有量的增量的比为，用作为今年购车的客户购买新能源汽车概率的估计值.记某汽车销售公司今年位客户中，恰有位购买新能源汽车的概率为，求为何值时，有最大值. 附：，. 【答案】（1） （2）百万辆 （3） 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式计算可求回归直线方程； （2）利用（1）可求2028年全国新能源汽车保有量的预测值； （3）求得，进而计算可求最大值. 【小问1详解】 法一：由题意知，，，， 可得， 所以， 因此所求回归直线方程为. 法二：由题意知，，，， 可得， 所以，因此所求回归直线方程为. 【小问2详解】 在回归直线方程中令，得， 因此预测2028年全国新能源汽车保有量为百万辆. 【小问3详解】 由题意知，， ，， 法一：由二项式系数的性质可得当时，最大，即有最大值. 法二： 当时，，可得，即， 当时，，可得，即， 可得当时，有最大值. 18. 设函数. （1）若直线是曲线的切线，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，记函数，若，证明：. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）证明：由题意知，， 令， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得， 所以在上单调递减， 因为， 所以，中至少有一个大于（否则若，有，这与矛盾）， 不妨设，， 所以， 所以， 令 ， 因为，所以，即，又， 所以，即， 可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）设出切点，根据题意得出关于的方程组，解之即可得解； （2）求导，对进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系即可得解； （3）求导发现在上单调递减，不妨设，，分析得知，只需证明即可. 【小问1详解】 设切点为，， 所以切线方程为， 因为直线是曲线的切线， 所以，即， 化简切线方程得， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 ， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于证明即可，其中，由此即可顺利得证. 19. 信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画一些随机事件的不确定程度.设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵. （1）若随机变量的分布列如下表所示.求的值； （2）若，求的最大值及对应的，的值； （3）若，随机变量所有可能的取值为，，试判断与的大小关系. 【答案】（1） （2）时，的最大值为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求得的值，结合的定义即可求解； （2）由题意得，构造函数，利用导数求得最值即可； （3）按照定义写出表达式，分析得出，、，两式相加即可得证. 【小问1详解】 因为，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意知，， 所以， 令， ， 令，可得，所以，解得， 所以在上单调递增， 令，可得，所以，解得， 所以在上单调递减， 因此当时，取得最大值， 即当时，的最大值为. 【小问3详解】 . ， 因为，所以， 所以， 同理因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于写出的表达式，进而构造适当的函数，利用导数即可顺利求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $