精品解析：河南省安阳市文峰区2024-2025学年下学期质量监测八年级数学试卷

河南省安阳市文峰区2024-2025学年下学期质量监测八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则等于（ ） A B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. C. 2，3，4 D. 4. 如图，正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A B. C. D. 5. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ） A. 5 B. C. 25 D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 7. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 86分 B. 85.5分 C. 84.5分 D. 84分 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD，作图痕迹，则下列结果说法错误的是（ ） A. 四边形BHDG是菱形 B. C. 若，则 D. DG平分 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 12. 将正比例函数图象向上平移1个单位，所得直线解析式为______． 13. 如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是__________． 14. 在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点分别为的中点，则的最小值是______． 15. 在菱形中，，，点分别是的中点，动点从出发，沿着顺时针方向运动到点，当为直角三角形时，的长度为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在五四青年节来临之际，某校团委开展了主题演讲比赛，比赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有______人，B等级的学生有______人，并补全条形图； （2）本次演讲成绩中位数落在______等级，扇形图中D组对应扇形的圆心角为______度； （3）若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩不低于90分的学生共有多少名？ 18. 八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若直线上的点在第二象限，且，求点的坐标． 20. 如图，在中，，，D是AC的中点，过点D作交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. 在甲骨文邮局，推出了一系列以安阳历史文化为主题的精致文创产品．小明购买2个青铜器盲盒和3个妇好鸮尊摆件，共花费210元；小刚购买3个青铜器盲盒和1个妇好鸮尊摆件，共花费140元． （1）求青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件的单价各是多少元． （2）一位外地游客计划购买青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件共10个，且青铜器盲盒的数量不超过妇好鸮尊摆件数量的一半．请设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最少费用． 22. 学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标点，画出该函数的图象； （4）根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 23. 在正方形中，点E在直线上，过点E作交直线于点F，以、为边构造矩形． （1）提出问题：当点E在延长线上时，如图①，求证：矩形是正方形； 小明的解题思路如下，请补充完整： 作交的延长线于点，交于点，则______，易证可得______，进而可知矩形是正方形； （2）类比探究：当点E在线段上时，如图②；试写出线段、与之间的数量关系，并证明； （3）拓展延伸：过点E作直线，垂足为N，若，则 ______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省安阳市文峰区2024-2025学年下学期质量监测八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B.该选项是最简二次根式，故符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键．根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质，即可求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 3. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. C. 2，3，4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项是否满足条件即可． 【详解】解：A：，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形； B：，，而，不满足，不能组成直角三角形； C：，而，不满足，不能组成直角三角形； D：，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 故选：D． 4. 如图，正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握关系是解题的关键．根据正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，得，于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解． 【详解】解：由正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，且点横坐标为，得， 于是得到点， ∴方程组的解为， 故选：B． 5. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ） A. 5 B. C. 25 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型，根据题意求出小正方形的边长再计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的长直角边为9，短直角边为4， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断．根据菱形的判定方法对②进行判断；根据矩形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断． 【详解】解：A. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A说法不正确； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B说法不正确； C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C说法不正确； D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形,说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题真假的判断以及平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项． 7. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 86分 B. 85.5分 C. 84.5分 D. 84分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算．根据各部分的得分和对应的比例，计算加权平均数即可得出最终成绩． 【详解】解：确定权重总和：比例为，总权重为， 计算各部分加权分数：笔试：分， 面试：分， 技能操作：分， 求总成绩：将各部分加权分数相加， 分． 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 9. 如图，矩形ABCD，作图痕迹，则下列结果说法错误的是（ ） A. 四边形BHDG是菱形 B. C. 若，则 D. DG平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图痕迹，EG垂直平分BD，BF平分∠ABD，证明△OHD≌△OGB，推出HD=BG，可证明四边形BHDG为菱形，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断各选项． 【详解】解：根据作图痕迹，EG垂直平分BD， ∴BO=OD，BH=HD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠ADB=∠CBD，∠OHD=∠OGB， ∴△OHD≌△OGB， ∴HD=BG， ∴四边形BHDG为平行四边形， ∵BH=HD， ∴平行四边形BHDG为菱形，故选项A正确； 根据作图痕迹，BF平分∠ABD， ∴∠ABH=∠HBD， ∵BH=HD， ∴∠HDB=∠HBD， ∴∠ABH=∠HDB=∠HBD， ∵四边形ABCD为矩形，∠A=90°， ∴∠ABH+∠HDB+∠HBD=90°， ∴∠ABH=30°，故选项B正确； 在Rt△BDA中，∠ADB=30°，DB=6， ∴AB=3， 在Rt△BHA中，∠ABH=30°， ∴AH=， ∵四边形ABCD为矩形，四边形BHDG为菱形， ∴CG=AH=，故选项C错误； ∵四边形ABCD为矩形，四边形BHDG为菱形， ∴∠ABD=∠CDB，∠HBD=∠GDB， ∴∠ABH=∠CDG=∠GDB =∠HDB=∠HBD， ∴DG平分∠CDB，故选项D正确； 故答案为：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，慢跑40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：，解得：． 故答案为：． 12. 将正比例函数图象向上平移1个单位，所得直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为． 故答案为：． 13. 如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 14. 在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点分别为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，垂线段最短，勾股定理等，连接，可得是的中位线，即得，可知当时，取最小值，此时的值最小，利用的面积求出垂线段的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，取最小值，此时的值最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 15. 在菱形中，，，点分别是的中点，动点从出发，沿着顺时针方向运动到点，当为直角三角形时，的长度为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可求出的度数，根据为直角三角形分类讨论，根据含角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：动点从出发，沿着顺时针方向运动到点，当为直角三角形时， ①如图所示，是直角三角形，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，且，则有， ∴，， ∵， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ②如图所示，是直角三角形，，连接，过点作于， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，； 综上所示，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的化简，完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，然后根据二次根式加减法法则计算即可． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算，再计算加法即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在五四青年节来临之际，某校团委开展了主题演讲比赛，比赛的成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有______人，B等级的学生有______人，并补全条形图； （2）本次演讲成绩的中位数落在______等级，扇形图中D组对应扇形的圆心角为______度； （3）若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩不低于90分的学生共有多少名？ 【答案】（1）20，5 （2）C，72 （3）估计成绩不低于90分的学生约有40名 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）A等级的人数除以所占的比例求出样本容量，进而求出B等级的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据中位数的确定方法，求出中位数所在等级，360度乘以D组所占的比例，求出圆心角的度数； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：被抽取的学生共有（人）； B等级的学生有（人）； 补全条形统计图： 故答案为：20，5； 【小问2详解】 解：∵， ∴第10个和第11个数据均落C等级， ∴中位数落在C等级， ； 故答案为：C，72； 【小问3详解】 解： （名）； 答：估计成绩不低于90分的学生约有40名． 18. 八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若直线上的点在第二象限，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设，根据三角形面积公式得到，解方程即可． 小问1详解】 解：设直线的解析式为， 点，点， ，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， ， ， ， 解得， 点C在第二象限， ， ∴， 点C的坐标为． 20. 如图，在中，，，D是AC的中点，过点D作交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质： （1）先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，再利用等积法求解即可． 【小问1详解】 ∵D是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∵， 即， ∴． 21. 在甲骨文邮局，推出了一系列以安阳历史文化为主题的精致文创产品．小明购买2个青铜器盲盒和3个妇好鸮尊摆件，共花费210元；小刚购买3个青铜器盲盒和1个妇好鸮尊摆件，共花费140元． （1）求青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件的单价各是多少元． （2）一位外地游客计划购买青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件共10个，且青铜器盲盒的数量不超过妇好鸮尊摆件数量的一半．请设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1）青铜器盲盒的单价为30元，妇好鸮尊摆件的单价为50元 （2）购买青铜器盲盒3个，购买妇好鸮尊摆件7个，总费用最少，为440元 【解析】 【分析】题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数与实际问题等知识．解决本题关键是认真审题，根据题意确定数量关系，并应用数量关系确定所用数学知识解决问题． （1）设青铜器盲盒的单价为a元，妇好鸮尊摆件的单价为b元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买青铜器盲盒个，则购买妇好鸮尊摆件个，总费用为y元，根据题意可得取值范围，列出关于y的函数，根据一次函数性质即可设计购买方案． 【小问1详解】 解：设青铜器盲盒的单价为a元，妇好鸮尊摆件的单价为b元． 根据题意得解得， 答：青铜器盲盒的单价为30元，妇好鸮尊摆件的单价为50元． 【小问2详解】 解：设购买青铜器盲盒个，则购买妇好鸮尊摆件个，总费用为y元． ， 解得， 又为整数， 的整数， ， 随x的增大而减小， 当时，， 此时， 答：购买青铜器盲盒3个，购买妇好鸮尊摆件7个，总费用最少，为440元． 22. 学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】（1）x为任意实数 （2）1， （3）见解析 （4）①；②2；③ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数； （2）把分别代入解析式可得m，n的值； （3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可； （4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答． 【小问1详解】 解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； 【小问3详解】 解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； 【小问4详解】 解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 23. 在正方形中，点E在直线上，过点E作交直线于点F，以、为边构造矩形． （1）提出问题：当点E在延长线上时，如图①，求证：矩形是正方形； 小明的解题思路如下，请补充完整： 作交的延长线于点，交于点，则______，易证可得______，进而可知矩形是正方形； （2）类比探究：当点E在线段上时，如图②；试写出线段、与之间的数量关系，并证明； （3）拓展延伸：过点E作直线，垂足为N，若，则 ______． 【答案】（1）； （2），证明见解析 （3）6或10 【解析】 【分析】（1）作延长线于P，于Q．利用证，得出，即可证明矩形正方形； （2）作于P，于Q，则，根据正方形性质得到，推出四边形是矩形，根据，得到，推出，推出矩形是正方形，得到，根据四边形是矩形，得到，推出，结合，推出，得到，推出矩形是正方形；根据正方形性质得到，，，推出，推出．得到，根据，即可得到； （3）先证得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，可得，，，然后分当点E在线段CA延长线上时和当点E在线段AC上时，两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，作延长线于P，于Q． 则，， 又∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：；理由如下： 如图，作于P，于Q． 则， ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵正方形和正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴、为等腰直角三角形， ∴，，， 如图，当点在线段延长线上时，结合（1）中作图，，， ∴，， ∴， 此时； 如图，当点在线段上时，结合（2）中作图，，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形、全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握知识点、作图推理证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $