精品解析：福建省福清市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024—2025学年第二学期高二年级期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，为的导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ） A. B. C. 24 D. 12 3. 已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（ ） A. B. C. D. 5. 若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ） A. 60 B. 108 C. 132 D. 144 8. 已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为1 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数和为64 B. 所有项的系数之和为1 C. 第三项的二项式系数最大 D. 系数最大值为240 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为函数的极小值点，则______. 13. 若，则 ______. 14. 现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________. ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列问题的排列数： （1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； （2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； （3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）已知函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值. 17. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知函数， （1）若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； （2）当时，证明：对于任意的实数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高二年级期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，为的导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式求出函数的导函数，再将代入导函数中，从而求得的值. 【详解】对求导可得： ， 将代入导函数中，可得：. 综上，. 故选：C. 2. 3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ） A. B. C. 24 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计算原理可得答案. 【详解】不同的报名方法种数有. 故选：A. 3. 已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由得，则，即直线的斜率为， 根据直线倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：D 4. 导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性即可. 【详解】由图可知：当时，；当时，. 所以可知函数在单调递增，在单调递减， 所以函数的极大值点为. 故选：A 5. 若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60求得实数a的值． 【详解】展开式的通项公式为， 令，求得，可得它的常数项为，. 故选：A. 6. 一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，利用导数求解即可. 【详解】解：由题意可知此容器为长方体，底面为正方形，边长为，高为， 所以， 则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值. 故选：B. 7. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ） A. 60 B. 108 C. 132 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据插空法先排奇数，再排偶数去除0在首位的情况计算即可. 【详解】先排3个奇数，有种排法， 排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有种排法， 但此时0放在首位的情况有种，故满足条件的排法有. 故选：B 8. 已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数不小于0建立不等式并分离参数求出最大值即可. 【详解】函数是增函数，由，得， 由，求导得， 由函数在上单调递增，得，， 而，则， 所以实数的最小值为. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复合函数的导数、导数值的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可. 【详解】对于A，利用复合函数的求导法则，由，所以A错误； 对于B，因为，当时，，所以B正确； 由在上的平均变化率为，所以C正确； 因为，当时，，所以D错误. 故选：BC. 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数和为64 B. 所有项的系数之和为1 C. 第三项的二项式系数最大 D. 系数最大值为240 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理的性质逐一判断即可. 【详解】对A，二项式系数和为，正确； 对B，令，，所以所有项的系数之和为1，正确； 对C，二项式系数最大的是第四项，错误； 对D，通项公式为， 所以，，，， ，，,， 所以系数最大值为240，正确. 故选：ABD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当，可得，结合A，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；求解，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为， 令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 所以有三个零点，故A正确； 对于B，由A可知，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C，因为， ， 因为无解， 所以不存在，使得为曲线的对称轴，故C错误； 对于D，因为， ， 当函数关于点中心对称时， 则有点， 即， 所以，解得， 所以当时，函数的图象关于中心对称，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：函数关于对称，则有；函数关于中心对称，则有. 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为函数的极小值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性可知结果. 【详解】，令，则；令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，所以. 故答案为： 13. 若，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，然后求出其的2次项系数和3次项系数，从而可出. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以. 故答案为： 14. 现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________. ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解①，根据分组分配问题即可求解②③④. 【详解】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故①错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故②正确； 先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故③错误； 对④，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是，故④正确. 故答案为：②④. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列问题的排列数： （1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； （2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； （3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 【答案】（1）720(种) （2）1440(种) （3）1440(种) 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法进行排列计算可得结果； （2）利用插空法先排男生，再将女生插空排列计算可得结果； （3）根据特殊元素排法将两端排上男生再进行全排列即可得结果. 【小问1详解】 根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列， 共有(种)不同的安排方法. 【小问2详解】 根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上， 共有(种)不同的排列方法. 【小问3详解】 先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上， 共有(种)不同的排列方法. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）已知函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值. 【答案】（1）和. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解导数小于0的不等式即可. （2）由（1）求出函数在上的单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R， 求导得，由，得或 . 所以函数的单调递减区间是和. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上的最小值为，解得， 而，，， 所以函数在上的最大值为. 17. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）应用赋值法，令即求值； （2）先令求得，结合（1）结果作差，即可求值； （3）问题化为求的系数和，再应用赋值法求值； （4）对已知等式两边求导，再应用赋值法求值. 【小问1详解】 令，得①． 【小问2详解】 令，得②， 由①②，得， . 【小问3详解】 相当于求展开式的系数和，令，得． 【小问4详解】 ， 两边分别求导，得， 令，得． 18. 已知函数， （1）若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值； （2）对于分类讨论，构造函数结合导数判断函数单调性，求得参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， 得，由，解得. 【小问2详解】 由题意得，在上恒成立. ①当时，不等式可化为， 令，则， 当时， . 所以函数在上单调递增. 所以在处取得最小值 ， 故实数的取值范围. ②当 时，由得， 此时，不符合题意. 综上，的取值范围为 . 19. 已知函数，其中. （1）当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； （2）当时，证明：对于任意的实数，都有. 【答案】（1）当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. （2）证明：要证，即， 因为，故只需证明， 不妨设，即证， 两边同时除以并化简，即证， 令，则，设， ，令，则在上恒成立， 得在上单调递增， 故，故在上单调递增. 所以，从而命题得证. 【解析】 【分析】（1）求出导函数及函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可；将方程解的个数转化为与交点的个数，根据函数的单调性及零点作出函数示意图，数形结合即可求解； （2）将所证不等式等价转化为证明，令，，设，多次求导研究其单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，，则， 当时；当时， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 方程解的个数，转化为与交点的个数， 由于在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，解得.且时，；时，， 所以，当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $