《2.3实数（一）》导学案暑假预习手册18-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册18-《2.3实数（一）》 ( 一．预习 目标 1.理解无理数的概念，能准确判断一个数是否为无理数。 2.认识常见的无理数形式，拓宽对数字类型的认知。 3.通过预习，初步感受无理数与有理数的区别和联系 ，体会数系扩充的必要性。 ) ( 一、 预习内容 （一） 无理数的定义： 【 想一想 】 ： （ 1 ） . 有理数是如何分类的？ （ 2 ） . 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率 ，0.020020002 … ； 又 如 ， 中的 a ， b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？ 【 探索无理数的表示 】 看图，判断下面 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长 a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于 2 ?说说你的理由. 边长 a 面积 s 1<a<2 1< s <4 1.4<a<1.5 1.96<s<2.25 1.41<a<1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a<1.415 1.999 396<s<2.002225 1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449 归纳总结: a 是介于 1 和 2 之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则 a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是 无限不循环小数. 1. 无理数的定义 ： 无限不循环小数叫作无理数。 像 0.585885888588885… ，1.41421356 … ， － 2.2360679 … 等 这些数的小数位数 都是无限的， 并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 2. 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式； 3. “ 无限不循环小数 ” 与 “ 无限循环小数 ” 的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2） 区别 ①  定义不同 ： 限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如 ，小数部分3无限重复； ，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率 π = 3.1415926535 … ，它的小数位没有重复的数字出现 。 ) ( ② 能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数 ，设x = ，则 9x=3. x= . = 。 对于混循环小数 ，设x = ，则 ， ； 无限不循环小数不能化成分数，它是无理数的一种表现形式，而分数是有理数 。 3. 无理数的 分类 （ 二 ） 无理数的识别： 1. 判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。 2. 初中常见的无理数有三种类型： （ 1 ）. 含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数； （ 2 ）. 化简后含 π 的式子； （ 3 ）. 不循环的无限小数。 掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。 （三） 无理数的大小比较 1. 平方法 ： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。 若a > 0，b > 0，a > b ， 则 > 。 例：比较 和2 ，平方后分别为5和8，因5 < 8，故 < 2 。 2.夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。 先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较 和3.2，因3 2 =9 < 10 < 3.2 2 =10.24，故 < 3.2 （三） 证明2是无理数 我们可以用反证法证明 是无理数: 假设2不是无理数，那么 是有理数，所以 可以写成 (m,n是正整数，且没有大于1的公约数)，即 = .根据平方根的意义，( ) 2 =2,即2n 2 =m 2 .由于上式左边2n 2 是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数、设m=2p(p是正整数), 把m=2p代入2n 2 =m 2 ,得2n 2 =4p 2 ,即n 2 =2p 2 .因此n也是偶数.于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾.因此 √ 2=是不可能的，也就是说 不是有理数，它是无理数. 【小结】 ) ( 三．经典例题 例 1．下列 各 数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【 答案】 C 【解析】 A． 是整数，属于有理数，不符合题意；B. 是有限小数，属于有理数，不符合题意；C. 是无理数，符合题意；D. 是整数，属于有理数，不符合题意；故选：C． 例2 .比较 与3.2的大小，正确的是（ ） A. > 3.2 B. < 3.2 C. = 3.2 D. 无法确定 答案：A 【 解析 】 ：3.2 ² =10.24，而 ≈ 3.162，故 < 3.2不成立；实际 ≈ 3.162，故正确答案为A。 例3 .若 是无理数，则a的取值可能是（ ） A. 16 B. 25 C. 30 D. 36 【 答案 】 ：C 【 解析 】 ： =4， =5， =6，均为有理数 . 无法开尽，是无理数。 例4 ．证明： 是无理数. 【解析】 用反证法证明．假设 是有理数，则 （m、n为互质的整数），得到 ，两边平方可得 ，得到 为有理数，与已知 为无理数矛盾，即可得到结论．假设 是有理数，则 （m、n为互质的整数）， 所以 ，两边平方得 ， ．（ 均为有理数）． 因为有理数对四则运算是封闭的，所以 为有理数，与已知 为无理数矛盾， 所以 是无理数． 例5 ．阅读下列材料： 设： ，①则 .② 由 ，得 ，即 . 所以 . 根据上述提供的方法.把 和 化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 解：设 ①则 ，② 由 ，得 ，即 . 所以 . 由已知，得 ， 所以 . ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 ．下列各数是无理数的是（      ） A． B． C． D． 【 答案】 B 【解析】 A． 是有限小数，属于有理数，故A选项不符合题意；B． 是无理数，故B选项符合题意；C． 是分数，属于有理数，故C选项不符合题意；D． ，属于有理数，故D选项不符合题意；故选：B． 2 .估算 的整数部分是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【 答案 】 ：B 【 解析 】 ：4 ² =16，5 ² =25， 介于4和5之间，整数部分为4。 3 .下列数中，立方根为无理数的是（ ） A. 64 B. 8 C. 9 D. 27 【 答案 】 ：C 【 解析 】 ： =4， =2， =3，均为有理数； 无法开尽，是无理数。 4 ．下列说法中 无限小数是无理数； 无理数是无限小数； 无理数的平方一定是无理数； 实数与数轴上的点是一一对应的，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【 答案】 B 【 解析 】 ①无限不循环小数是无理数；错误；②无理数是无限小数，正确；③无理数的平方不一定是无理数；错误；④实数与数轴上的点是一一对应的，正确．故选B． 5 ．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 【 答案】 B 【解析】A. 面积为 2 的正方形的边长为 ，是无理数 ，正确; B. 无限不循环小数是无理数,错误;C. 无理数可以用数轴上的点来表示,正确; D. 半径为 1 的圆的周长是2π，是无理数，正确.故选B. 6 ．下列说法正确的有（ ） （1）有理数包括整数、分数和零；（2）不带根号的数都是有理数；（3）带根号的数都是无理数；（4）无理数都是无限小数；（5）无限小数都是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【 答案】 A 【 解析 】 整数包含0，故错误；Π不带根号，但是是无理数，错误；例如 能开方开的尽的是有理数，错误；无理数都是无限不循环小数，都属于无限小数，正确； 无理数都是无限不循环小数，不是全部的无限小数，错误；总共1个正确，故选A （ 二）填空题 7 ．请写出一个绝对值大于1小于3的无理数______． 【 答案】 （答案不唯一） 【 解析】 为无理数，且 ， 故答案为： （答案不唯一）． ) ( 8 ．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2， ， ， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                 …}； （2）负数集合：{                 …}； （3）整数集合：{                 …}； （4）无理数集合：{                …}． 【 答案】 （1）正数集合：｛8， ，， ，…｝； （2）负数集合：｛－2．5，－2 ，－0．525225222…，…｝； （3）整数集合：｛0，8，－2 …｝； （4）无理数集合：{ ，－0．5252252225…，…}． 【解析】正数包括正有理数和正无理数，负数包括负有理数和负无理数，整数包括正整数、负整数和0，无理数是无限不循环小数.由此即可解决问题. 9 ． 阅读下列材料：“为什么 不是有理数”，完成问题． 证明：设 不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数 ， ， 使得 ，于是 ，两边平方，得______________ ∴ 含有因数5，设 ，∴____________ ∴______________，∴ 含有因数5，∴____________ 这样 ， 有公因数5，不互质，这与假设 ， 互质矛盾．这个矛盾说明， 不能写成分数的形式， 所以 不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ① ；② ；③ 含有因数5；④ 【 答案】 ④②①③ 【解析】 证明：设 不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数 ， ，使得 ，于是 ，两边平方，得 ∴ 含有因数5，设 ，∴ ∴ ，∴ 含有因数5，∴ 含有因数5这样 ， 有公因数5，不互质，这与假设 ， 互质矛盾．这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，所以 不是有理数而是无理数．故答案为：④②①③． （ 三）解答题 阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣ 1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3， ∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣ 2）． 请解答： （ 1 ） 的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ． （2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b ﹣ 的值； （3）已知：10+ ＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x ﹣ y的相反数． 解：（1） ∵ 4＜ ＜5， ∴ 的整数部分是4，小数部分是 ，故答案为：4， ﹣ 4； （2） ∵ 2＜ ＜3， ∴ a＝ ﹣ 2， ∵ 3＜ ＜4， ∴ b＝3， ∴ a+b ﹣ ＝ ﹣ 2+3 ﹣ ＝1； （3） ∵ 1＜3＜4， ∴ 1＜ ＜2， ∴ 11＜10+ ＜12， ∵ 10+ ＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴ x＝11，y＝10+ ﹣ 11＝ ﹣ 1， ∴ x ﹣ y＝11 ﹣ （ ﹣ 1）＝12 ﹣ ， ∴ x ﹣ y的相反数是 ﹣ 12+ ； ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 ．给出下列各数： 其中无理数有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【 答案】 B 【解析】 是分数，属于有理数； ＝2，0， ， ＝﹣3，是整数，属于有理数．无理数有：π， 共2个．故选：B． 2 ．下列说法正确的是（      ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③ 是精确到千位．④ 一定比a大．⑤ 是有理数， 是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【 答案】 A 【解析】 ①正整数，负整数和0统称整数，原说法错误；②平方等于9的数是 ，原说法错误；③ 是精确到千位，正确；④ 一定比a大，正确；⑤ 与 都是有理数，原说法错误；正确的有：③④，故选：A． 3 .   若实数a在数轴上对应的点位于 和 之间，则a可能是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【 答案 】 ：C 【 解析 】 ： ≈ 1.732， ≈ 2.236，a需介于1.732和2.236之间，只有2.5符合。 4、 下列说法正确的是（　　） A．带根号的数都是无理数 B． 是分数，即不是无理数 C．无限小数是无理数 D．无理数是无限小数 【 答案】D 【 解析 】 ： A、如 =4是有理数不是无理数，故A选项错误；B、 不是分数，是无理数，故B选项错误；C、无限不循环小数是无理数，故C选项错误；D、无理数都是无限小数，故D选项正确；故选：D． 5、下列各数中，不是无理数的是（　　） A. B． C．2 π D．0.151151115 … （两个5之间依次多1个1） 【答案】B 【解析】：A、是无理数； B、是分数，不是无理数； C、是无理数；D、是无理数． 故选B． 6、下列说法中正确的是（　　） A．无限不循环小数是无理数 B．一个无理数的平方一定是有理数 C．无理数包括正无理数、负无理数和零 D．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数 【答案】A 【解析】：A、正确，故选项正确；B、 π 2 是无理数，故选项错误；C、0不是无理数，是有理数，故选项错误；D、 和- 都是无理数，这两个数的和，积，商都是有理数，故选项错误．故选A． 7、若a是一个无理数，则1-a是（　　） A．正数 B． 负数 C．无理数 D．有理数 【 答案 】 ：C 【 解析 】 ∵ a是一个无理数，1是有理数， ∴ 1-a还是无理数，故选C． ) ( 8. 已知43 2 =1 849,44 2 =1 936,45 2 =2 025,46 2 =2 116.若n为整数且n< <n+1,则n的值为(　　) A.43　　　　B.44　　　　C.45　　　　D.46 【 答案 】 ：C 【 解析 】 ∵ 2025 <202 6 <2 116 , ∴4 5 < <4 6 , ∴n=4 5 .故选 C . 9.实数 +1在数轴上的对应点可能是(　　) A.A点　　　　B.B点　　　　C.C点　　　　D.D点 【 答案】 D　 【 解析】 ∵1<2<4,∴1< <2,∴2< +1<3,∴实数 +1在数轴上的对应点可能是点D. 10.下列无理数中,与3最接近的是(　　) A. 　　　B. 　　C.　 　　D. 【 答案】 C　 【 解析】 ∵( ) 2 =6,( ) 2 =7,( ) 2 =10,( ) 2 =11,3 2 =9,∴与3最接近的是 .故选C. 二．填空题 1 1 . 比较大小： _______ ; _______ ． 【答案】 ＞ ＜ 【解析】 故答案为 1 2 . 绝对值小于 的整数有______个． 【答案】7 【解析】设这个数为x,则 < ∴- <x< .∴绝对值小于 的所有整数有0，±1，±2，±3. 1 3 . 用两个无理数列一个算式,使得它们和为有理数__ ___________________________ ． 【答案】 【解析】 都是无理数，它们的和为0，是有理数.故答案为 14. 观察下列各式： 则 =_______ 【答案】 【解析】 故答案为 15. 大于0且小于π的整数是________________ 【 答案】 1、2、3 【解析】 大于0且小于π的整数是1、2、3 16. 满足 ＜x ＜ 的整数x是_______ 【 答案】 -4 【 解析】 满足 ＜x ＜ 的整数x是-4. 1 7 ． 在实数﹣3，0，π，﹣ ， 中，最大的一个数是 　 　 ． 【答案】 【解析】根据正数大于 ， 大于负数，两个负实数绝对值大的反而小， ) ( 可得： ， 在实数 ， ， ， ， 中，最大的一个数是 ．故答案为： ． 1 8 . 如果 是 的整数部分， 是 的小数部分， =________． 【答案】 【解析】根据估算，可知 的整数部分为a=3，小数部分为 -3.所以a-b=3-（ -3）=6- .故答案为6- . 19 ． 若无理数 满足： ，请写出两个这样的 ： 　 ． 【答案】 或 （答案不唯一） 【解析】 ， ＜ ＜ 或 故答案为： 或 20 ． 已知 三个数，a为8- ，b为7- ，c为6- ，则这三个数的大小关系是（　　） 【 答案】 【解析】a-b=8- -（7- ）=1-（ - ）∵ - <1，∴a-b>0，即a>b， b-c=7- -（6- ）=1-（ - ）,∵ - <1，∴b-c>0，即b>c.∴c<b<a. 三．解答题（60分） 21 . 把下列各数分别填在相应的括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，0.1010010001 整数{ }；分数{ }； 正数{ }；负数{ }； 有理数{ }；无理数{ } 【答案】整数集合{－3,0， ， ，…}；分数集合 ； 正数集合{ ， ， ， ，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次增加一个0)，…}；负数集合 ； 有理数集合 ； 无理数集合 2 2 ．有六个数：0.142 7，(-0.5) 3 ，3.141 6， ，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值. 解 ： 由题意得无理数有2个,所以x=2；整数有0个,所以y=0,非负数有4个,所以z=4,所以x+y+z=2+0+4=6. 23 ．阅读下列材料，解决相关任务： 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式： （约率）和 （密率），同 ) ( 时期 数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （即有 ，其中a、b、c、d为正整数），则 是x的更为精确的近似值． 例如：已知 ，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为： ；由于 ，再由 ，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数． 任务： (1)请判断：约率 是（      ） A．无限不循环小数      B．有限小数      C． 整数      D．有理数 (2)已知 ，请使用两次“调日法”，求 的近似分数． 【 答案】 (1)D (2) 【解析】 根据“调日法”的定义，第一次结果为： ，近似值大于 ，所以 ，根据第二次“调日法”进行计算即可． （1）分数是有理数，故选D． （2）∵ ，∴首次利用“调日法”后得 的一个更为精确的近似分数为： ，∵ 且 ，∴ ，∴再次使用“调日法”得到 的更为精确的近似分数为： ． 24 、阅读下面的文字： 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，而 ，于是可用 来表示 的小数部分 . 请解答下列问题： (1) 的整数部分是 ________ ，小数部分是 __________. (2) 如果 的小数部分为 a ， 的整数部分为 b ，求 的值 . 解： (1) 因为 ，所以 ，故 的整数部分是 4 ，小数部分是 . 故答案为 4 ， . (2) 因为 ，所以 . 因为 的小数部分为 a ，所以 . 因为 ，所以 . 因为 的整数部分为 b ，所以 ， 故 . 2 5、数学课上，老师出了一道题：比较 与 的大小 . 小华的方法是： 因为 ，所以 _____2 ，所以 _____ （填 “ > ” 或 “ < ” ）； 小英的方法是： ) ( ，因为 ，所以 ____0 ，所以 ____0 ，所以 _____ （填 “ > ” 或 “ < ” ） . （ 1 ）根据上述材料填空； （ 2 ）请从小华和小英的方法中选择一种比较 与 的大小 . 解：（ 1 ） ， ， ； ， ， . ， ， 故答案是： > ， > ， > ， > ， > ；（ 2 ） ， ， . 26 .如图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y的值为 　　　　 ;  (2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)当输出的y值是 时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 解 ： (1)当x=16时, =4,不是无理数, =2,不是无理数,2取算术平方根为 ,是无理数,故输出y的值为 . (2)当x=0或x=1时,始终输不出y值.因为0和1的算术平方根分别是0和1,是有理数,会进行无限循环,所以输不出y值. (3)x的值不唯一.如x=3或x=9. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册18-《2.3实数（一）》 ( 一．预习 目标 1.理解无理数的概念，能准确判断一个数是否为无理数。 2.认识常见的无理数形式，拓宽对数字类型的认知。 3.通过预习，初步感受无理数与有理数的区别和联系 ，体会数系扩充的必要性。 ) ( 一、 预习内容 （一） 无理数的定义： 【 想一想 】 ： （ 1 ） . 有理数是如何分类的？ （ 2 ） . 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率 ，0.020020002 … ； 又 如 ， 中的 a ， b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？ 【 探索无理数的表示 】 看图，判断下面 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长 a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于 2 ?说说你的理由. 边长 a 面积 s 1<a<2 1< s <4 1.4<a<1.5 1.96<s<2.25 1.41<a<1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a<1.415 1.999 396<s<2.002225 1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449 归纳总结: a 是介于 1 和 2 之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则 a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是 无限不循环小数. 1. 无理数的定义 ： 无限不循环小数叫作无理数。 像 0.585885888588885… ，1.41421356 … ， － 2.2360679 … 等 这些数的小数位数 都是无限的， 并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 2. 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式； 3. “ 无限不循环小数 ” 与 “ 无限循环小数 ” 的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2） 区别 ①  定义不同 ： 限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如 ，小数部分3无限重复； ，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率 π = 3.1415926535 … ，它的小数位没有重复的数字出现 。 ) ( ② 能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数 ，设x = ，则 9x=3. x= . = 。 对于混循环小数 ，设x = ，则 ， ； 无限不循环小数不能化成分数，它是无理数的一种表现形式，而分数是有理数 。 3. 无理数的 分类 （ 二 ） 无理数的识别： 1. 判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。 2. 初中常见的无理数有三种类型： （ 1 ）. 含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数； （ 2 ）. 化简后含 π 的式子； （ 3 ）. 不循环的无限小数。 掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。 （三） 无理数的大小比较 1. 平方法 ： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。 若a > 0，b > 0，a > b ， 则 > 。 例：比较 和2 ，平方后分别为5和8，因5 < 8，故 < 2 。 2.夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。 先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较 和3.2，因3 2 =9 < 10 < 3.2 2 =10.24，故 < 3.2 （三） 证明2是无理数 我们可以用反证法证明 是无理数: 假设2不是无理数，那么 是有理数，所以 可以写成 (m,n是正整数，且没有大于1的公约数)，即 = .根据平方根的意义，( ) 2 =2,即2n 2 =m 2 .由于上式左边2n 2 是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数、设m=2p(p是正整数), 把m=2p代入2n 2 =m 2 ,得2n 2 =4p 2 ,即n 2 =2p 2 .因此n也是偶数.于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾.因此 √ 2=是不可能的，也就是说 不是有理数，它是无理数. 【小结】 ) ( 三．经典例题 例 1．下列 各 数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 例2 .比较 与3.2的大小，正确的是（ ） A. > 3.2 B. < 3.2 C. = 3.2 D. 无法确定 例3. 若 是无理数，则a的取值可能是（ ） A. 16 B. 25 C. 30 D. 36 例4 ．证明： 是无理数. 例5 ．阅读下列材料： 设： ，①则 .② 由 ，得 ，即 . 所以 . 根据上述提供的方法.把 和 化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 ．下列各数是无理数的是（      ） A． B． C． D． 2 .估算 的整数部分是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3 .下列数中，立方根为无理数的是（ ） A. 64 B. 8 C. 9 D. 27 4 ．下列说法中 无限小数是无理数； 无理数是无限小数； 无理数的平方一定是无理数； 实数与数轴上的点是一一对应的，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5 ．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 6 ．下列说法正确的有（ ） （1）有理数包括整数、分数和零；（2）不带根号的数都是有理数；（3）带根号的数都是无理数；（4）无理数都是无限小数；（5）无限小数都是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 （ 二）填空题 7 ．请写出一个绝对值大于1小于3的无理数______． 8 ．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2， ， ， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （ 1） 正数集合：{        …}； （2）负数集合：{        …}； （3）整数集合：{        …}； （4）无理数集合：{       …}． 9 ． 阅读下列材料：“为什么 不是有理数”，完成问题． 证明：设 不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数 ， ， 使得 ，于是 ，两边平方，得______________ ∴ 含有因数5，设 ，∴____________ ∴______________，∴ 含有因数5，∴____________ 这样 ， 有公因数5，不互质，这与假设 ， 互质矛盾．这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，所以 不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ① ；② ；③ 含有因数5；④ ) ( （ 三）解答题 阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣ 1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3， ∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣ 2）． 请解答： （ 1 ） 的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ． （2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b ﹣ 的值； （3）已知：10+ ＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x ﹣ y的相反数． ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 ．给出下列各数： 其中无理数有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 2 ．下列说法正确的是（      ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③ 是精确到千位．④ 一定比a大．⑤ 是有理数， 是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3 .   若实数a在数轴上对应的点位于 和 之间，则a可能是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 4、 下列说法正确的是（　　） A．带根号的数都是无理数 B． 是分数，即不是无理数 C．无限小数是无理数 D．无理数是无限小数 5、下列各数中，不是无理数的是（　　） A. B． C．2 π D．0.151151115 … （两个5之间依次多1个1） 6、下列说法中正确的是（　　） A．无限不循环小数是无理数 B．一个无理数的平方一定是有理数 C．无理数包括正无理数、负无理数和零 D．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数 7、若a是一个无理数，则1-a是（　　） A．正数 B． 负数 C．无理数 D．有理数 8. 已知43 2 =1 849,44 2 =1 936,45 2 =2 025,46 2 =2 116.若n为整数且n< <n+1,则n的值为(　　) A.43　　　　B.44　　　　C.45　　　　D.46 ) ( 9.实数 +1在数轴上的对应点可能是(　　) A.A点　　　　B.B点　　　　C.C点　　　　D.D点 10.下列无理数中,与3最接近的是(　　) A. 　　　B. 　　C.　 　　D. 二．填空题 1 1 . 比较大小： _______ ; _______ ． 1 2 . 绝对值小于 的整数有______个． 1 3 . 用两个无理数列一个算式,使得它们和为有理数__ ___________________________ ． 14. 观察下列各式： 则 =_______ 15. 大于0且小于π的整数是________________ 16. 满足 ＜x ＜ 的整数x是_______ 1 7 ． 在实数﹣3，0，π，﹣ ， 中，最大的一个数是 　 　 ． 1 8 . 如果 是 的整数部分， 是 的小数部分， =________． 19 ． 若无理数 满足： ，请写出两个这样的 ： 　 ． 20 ． 已知 三个数，a为8- ，b为7- ，c为6- ，则这三个数的大小关系是（　　） 三．解答题（60分） 21 . 把下列各数分别填在相应的括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，0.1010010001 整数{ }； 分数{ }； 正数{ }； 负数{ }； 有理数{ }； 无理数{ } 2 2 ．有六个数：0.142 7，(-0.5) 3 ，3.141 6， ，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值. ) ( 23 ．阅读下列材料，解决相关任务： 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式： （约率）和 （密率），同 时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （即有 ，其中a、b、c、d为正整数），则 是x的更为精确的近似值． 例如：已知 ，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为： ；由于 ，再由 ，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数． 任务： (1)请判断：约率 是（      ） A．无限不循环小数      B．有限小数      C． 整数      D．有理数 (2)已知 ，请使用两次“调日法”，求 的近似分数． 24 、阅读下面的文字： 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，而 ，于是可用 来表示 的小数部分 . 请解答下列问题： (1) 的整数部分是 ________ ，小数部分是 __________. (2) 如果 的小数部分为 a ， 的整数部分为 b ，求 的值 . ) ( 2 5、数学课上，老师出了一道题：比较 与 的大小 . 小华的方法是： 因为 ，所以 _____2 ，所以 _____ （填 “ > ” 或 “ < ” ）； 小英的方法是： ，因为 ，所以 ____0 ，所以 ____0 ，所以 _____ （填 “ > ” 或 “ < ” ） . （ 1 ）根据上述材料填空； （ 2 ）请从小华和小英的方法中选择一种比较 与 的大小 . 26 .如图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y的值为 　　　　 ;  (2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)当输出的y值是 时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$